第七章線性離散系統(tǒng)的分析與校正7.1離散系統(tǒng)的基本概念7.2信號的采樣與保持

7.3Z變換與Z反變換

7.4離散系統(tǒng)的數學模型

7.5穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差7.6離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析

有關概念A/DD/A數字控制器被控對象測量元件

e*(t)數字計算機r(t)e(t)

u*(t)uh(t)

c(t)_計算機控制系統(tǒng)典型原理圖

2.離散系統(tǒng)：系統(tǒng)中有一處或多處為離散信號的系統(tǒng)稱離散系統(tǒng)。典型的計算機控制系統(tǒng)即為離散系統(tǒng)的一種。其原理圖如下：

1.離散信號：僅定義在離散時間上的信號稱離散信號，離散信號以脈沖或數碼的形式呈現。7.1離散系統(tǒng)的基本概念D/A：數模轉換器，將離散的數字信號轉換為連續(xù)的模擬信號。包括解碼與復現兩過程。A/D：模數轉換器，將連續(xù)的模擬信號轉換為離散的數字信號。包括采樣與量化兩過程。(a)連續(xù)信號t(b)離散信號t(c)離散量化信號t離散控制系統(tǒng)的特點

1.校正裝置效果比連續(xù)式校正裝置好，且由軟件實現的控制規(guī)律易于改變，控制靈活。

2.采樣信號，特別是數字信號的傳遞能有效地抑制噪聲，從而提高系統(tǒng)抗干擾能力。

3.可用一臺計算機分時控制若干個系統(tǒng)，提高設備利用率。

4.可實現復雜控制規(guī)律，且可以在運行中實時改變響應參數。一個典型的采樣控制系統(tǒng)如圖：e是連續(xù)的誤差信號，經采樣開關后，變成一組脈沖序列，脈沖控制器對進行某種運算，產生控制信號脈沖序列，保持器將采樣信號變成模擬信號u

，作用于被控對象模擬信號——在時間上連續(xù)，且在幅值上連續(xù)（導數連續(xù)）的信號。采樣信號——又稱離散信號，按一定的時間間隔對模擬信號進行采樣得到的在時間上離散的一系列脈沖。采樣控制系統(tǒng)和連續(xù)控制系統(tǒng)的區(qū)別：在連續(xù)系統(tǒng)中，各處的信號都是模擬信號；在采樣系統(tǒng)中，一處或數處的信號是采樣信號。采樣系統(tǒng)的個性——采樣過程和采樣信號保持采樣系統(tǒng)和連續(xù)系統(tǒng)的共性——（1）閉環(huán)控制；（2）需分析穩(wěn)定性、暫態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能；（3）需進行校正。7.2信號的采樣和保持采樣定義

按一定的時間間隔對連續(xù)信號采樣，將連續(xù)信號轉換為脈沖序列的過程，稱為采樣過程。采樣開關是用來實現采樣過程的裝置。采樣開關按周期T閉合，T稱為采樣周期。每次閉合時間為，由于在實際中總有，且遠小于中的時間常數，可近似認為。7.2.1采樣過程與采樣定理采樣過程可用圖表示采樣信號是和的乘積，其中載波信號決定采樣時刻，它是周期為T的單位脈沖序列，采樣信號在nT(n=0,1,2…)時刻的值由決定。7.2.1采樣過程與采樣定理e*(t)=e(t)δT(t),7.2.1采樣過程與采樣定理e(t)te*(t)te(t)e*(t)S采樣過程

數學描述：把連續(xù)信號變換為脈沖序列的裝置稱為采樣器，又叫采樣開關。采樣過程可用下圖表示。為理想單位脈沖序列單位脈沖序列采樣信號為采樣信號的拉氏變換采樣過程的數學表達式例

e(t)=eat,試寫出e*(t)表達式。物理意義：可看成是單位理想脈沖串T

(t)

被輸入信號e(t)進行調制的過程，如下圖所示在圖中，T(t)為載波信號；e(t)為調制信號；e*(t)為理想輸出脈沖序列

設計控制系統(tǒng)必須嚴格遵守的一條準則。

1.問題的提出連續(xù)信號e(t)經過采樣后，只能給出采樣點上的數值，不能知道各采樣時刻之間的數值。從時域上看，采樣過程損失了e(t)所含的信息。采樣定理(a)連續(xù)信號t(b)離散信號t

怎樣才能使采樣信號e*(t)大體上反映e(t)的變化規(guī)律呢？2.定性分析

如果連續(xù)信號e(t)變化緩慢（最大角頻率max較低〕，而采樣角頻率s比較高（即采樣周期T=2/s較小〕，則e*(t)基本上能反映e(t)的變化規(guī)律(a)連續(xù)信號t(b)離散信號t頻譜圖：信號抽樣T(t)T(ω)其中采樣定理給出了選擇采樣周期T的依據。3.采樣定理（香農定理）如果采樣器的輸入信號最高角頻率為ωmax，則只有當采樣頻率ωs≥2ωmax,才可能從采樣信號中無失真地恢復出連續(xù)信號。7.2.2信號復現及零階保持器信號復現

將數字信號轉換復原成連續(xù)信號的過程稱信號復現。該裝置稱為保持器或復現濾波器。eh(t)e*(t)e*(t)t

零階保持器eh(t)t

零階保持器零階保持器是最簡單也是工程中使用最廣泛的保持器。零階保持器的輸入輸出特性可用下圖描述。零階保持器零階保持器是一種按恒值規(guī)律外推的保持器，它將前一采樣時刻的值，保持到下一個采樣時刻，即零階保持器的傳遞函數根據零階保持器的單位脈沖響應，推出其傳遞函數。零階保持器的單位脈沖響應是一個矩形，寬度為T，高為1，它可表示成以下二個單位階躍信號的迭加。單位脈沖響應的拉氏變換就是零階保持器的傳遞函數。7.3Z變換與Z反變換P2537.3.1

Z變換

1.Z變換的定義

令z=eTs

,則=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+…

e*(t)=e(t)δT(t),其中為理想單位脈沖序列。則：e(t)te*(t)te(t)e*(t)S

2.Z變換方法

(1)級數求和法將Z變換的定義式展開：

E(z)=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+…+e(nT)z-n+…(2)部分分式法對于常用函數Z變換的級數形式，都可以寫出其閉合形式。

①先求出已知連續(xù)時間函數e(t)的拉氏變換E(s)；②將E(s)展開成部分分式之和的形式；③求拉氏反變換，再求Z變換E(z)。

即為Z變換的定義式。稱E(z)為e*(t)的Z變換,記作Z[e*(t)]=E(z),或Z[e(t)]=E(z)(3）查表級數求和法典型信號的Z變換

（3）

單位理想脈沖序列e(t)=δT(t)

（1）單位脈沖函數

e(t)=δ(t)（2）單位階躍函數

e(t)=1(t)教材例題7-5教材例題7-6(4)單位斜坡信號

e(t)=t，則對比(2)中結果，有兩端對z求導數，得兩邊同乘(-Tz)，得單位斜坡信號的z變換(5)指數函數

e(t)=e-at(a為實常數〕，則

這是一個公比為(e-aTz-1)的等比級數，當|e-aTz-1

|<1時，級數收斂,則可寫成閉合形式所以利用(*)、(**)式，有(6)正弦信號

e(t)=sint

,因為教材例題7-7部分分式法(適用于拉氏變換簡單的函數p255)由拉氏變化求出簡單的時域函數，其相應的Z變換是已知的例求解的Z變換。進行部分分式展開，有再取拉氏反變換參照(2)和(5),得3.

Z變換的性質

（1）

線性定理若E1(z)=Z[e1(t)]，E2(z)=Z[e2(t)]，a為常數，則

Z[e1(t)+e2(t)]=E1(z)+E2(z)，Z[ae(t)]=aE(z)

例

已知e(t)=1(t-T),求Z變換E(z)。

（2）

實數位移定理若

E(z)=Z[e(t)]，則

Z[e(t-kT)]=z-kE(z),Z[e(t+kT)]=解：(3)

復數位移定理

已知e

(t)的z變換為E(z)，則有Z[e(t)]=E(ze

±at)

例7-9

已知e(t)=te-at,求Z變換E(z)。解：已知單位斜坡信號的z變換為根據復數位移定理，有

若e

(t)的z變換為E(z)，函數序列e(nT)為有限值(n=0,1,2,…)，且極限存在，則設x(nT)和y(nT)為兩個采樣函數，其離散卷積定義為x(nT)y(nT)=，則卷積定理為：Z[x(nT)y(nT)]=X(z)Y(z)(4)終值定理（5）卷積定理

從Z域函數E(z)求時域函數e*(t)，叫做Z反變換。記作Z-1[E(z)]=e*(t)。

例

已知z變換函數，試求其z反變換。1.部分分式展開法（查表法：p256表7-2）部分分式展開法是將E(z)展成若干分式和的形式，對每部分分式查Z變換表找出相應的e*(t)。因Z變換表中Z變換函數分子普遍有因子Z，所以應將E(z)/z展開成部分分式。4.Z反變換P260

解：首先將E(z)/z展開成部分分式所以

e(nT)=(-1+2n)10

e*(t)=e(0)(t)+e(T)(t-T)+e(2T)(t-2T)+…

=0+10(t-T)+30(t-2T)+70(t-3T)+…

例7-11

已知z變換函數試求其z反變換。教材例題

解：因為所以e*(t)=e(0)(t)+e(T)(t-T)+e(2T)(t-2T)+…=0+(1-e-aT)(t-T)+(1-e-2aT)(t-2T)+(1-e-3aT)(t-3T)+…查表得e(t)=1(t)-e-at

則e(nT)=1-e-anT2.冪級數法（綜合除法\長除法)p261由Z變換的定義而則c0,c1,c2,…就是脈沖序列e*(t)各采樣點的值e(nT),所以返回本節(jié)見262頁例題7-123.反演積分法(留數法)略三種z反變換法的比較部分分式法通過Z變換表7-2可方便地求得,留數計算法可以直接求出序列，因而容易求。這兩種方法有一個共同的特點，都需要知道的全部極點,這意味著要求解高階代數方程，這是一件困難的事，因此在應用上有一定的局限性，一般不宜用于高階采樣系統(tǒng)。而長除法卻沒有這種限制，通用性好。它的缺點是計算起來麻煩，而且往往得不到閉合的表示形式。

講習題7.4離散系統(tǒng)的數學模型

P2647.4.1線性常系數差分方程及其解法工程中常用迭代法和Z變換法來求解差分方程：1.迭代法

根據給定差分方程和輸出序列的初值，則可以利用遞推關系，一步一步算出輸出序列。（如Ｐ265例題7-14）式中：k—第k個采樣周期；n—系統(tǒng)的階次。

一般n階線性定常離散系統(tǒng)的輸出和輸入之間的關系，可用n階常系數差分方程描述。2.Z變換法

用Z變換法解差分方程的實質，是對差分方程兩端取Z變換，并利用Z變換的位移性質，得到以z為變量的代數方程，然后對代數方程的解C(z)取Z反變換即求得輸出序列。（如Ｐ265例題7-15）7.4.3脈沖傳遞函數P266一、基本概念定義：線性離散系統(tǒng)中，在零初始條件下，系統(tǒng)輸出采樣信號的Z變換與輸入采樣信號Z變換之比，稱為系統(tǒng)的脈沖傳遞函數。采樣脈沖函數的物理意義采樣系統(tǒng)的脈沖傳遞函數是系統(tǒng)單位脈沖響應經采樣后的采樣信號的Z變換。采樣脈沖函數G(Z)傳遞函數G(S)單位脈沖響應g(t)開環(huán)脈沖傳遞函數P2691.串聯環(huán)節(jié)P271將采樣開關分隔的二個線性環(huán)節(jié)串聯，脈沖傳遞函數是兩個串聯環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數之積。結論可推廣到n個環(huán)節(jié)串聯，各相鄰環(huán)節(jié)之間都有采樣開關隔開的情況。開環(huán)脈沖傳遞函數P2691.串聯環(huán)節(jié)P271無采樣開關隔開的兩個線性環(huán)節(jié)串聯，脈沖傳遞函數是兩個環(huán)節(jié)經采樣后的單位脈沖響應和的乘積的Z變換。結論可推廣到n個環(huán)節(jié)直接串聯的情況。A串聯環(huán)節(jié)之間有采樣開關隔開將采樣開關分隔的二個線性環(huán)節(jié)串聯，脈沖傳遞函數是兩個串聯環(huán)節(jié)脈沖傳遞函數之積。結論可推廣到n個環(huán)節(jié)串聯，各相鄰環(huán)節(jié)之間都有采樣開關隔開的情況。開環(huán)脈沖傳遞函數P2691.串聯環(huán)節(jié)P271b、兩個串聯環(huán)節(jié)之間無采樣開關隔開無采樣開關隔開的兩個線性環(huán)節(jié)串聯，脈沖傳遞函數是兩個環(huán)節(jié)經采樣后的單位脈沖響應和的乘積的Z變換。結論可推廣到n個環(huán)節(jié)直接串聯的情況。由例：2.有零階保持器的情況3.連續(xù)信號進入連續(xù)環(huán)節(jié)Gp(s)Gp/s閉環(huán)脈沖傳遞函數G(s)H(s)（7-23）閉環(huán)脈沖傳遞函數G2(s)G1(s)H(s)（7-24）閉環(huán)脈沖傳遞函數G(s)H(s)（7-25）P293習題1.S域的虛軸映射成Z域的圓周；左半S平面映射在圓周內，右半S平面映射在圓周外。7.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差一、S域到Z域的映射二、離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件1.時域中：特征方程的根滿足│ai│<1(了解即可〕2.

Z域中：特征方程1+HG(Z)=0的模│Zi│<1(牢固掌握)7.5.1穩(wěn)定性判據z=eTs三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據P282雙線性變換與勞斯判據⑴雙線性變換⑵勞斯判據例

設系統(tǒng)的結構圖如下圖所示，采樣周期T=1s。設K=10,試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求系統(tǒng)的臨界放大系數。

C(s)R(s)

—零階保持器

解：⑴由圖得

由此得系統(tǒng)特征方程為

z2+2.31z+3=0求解得一對共軛復根

1=-1.156＋j1.292=-1.156-j1.29分布在單位圓外，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。z=eTs=es查表7-2[12]e=2.71828e-1=0.368求得系統(tǒng)特征方程為⑵由系統(tǒng)開環(huán)脈沖傳遞函數得到系統(tǒng)的臨界放大系數為:

Kc=2.4列勞氏表計算

w22.736-0.104K0.632K

w11.264-0.528K0

w00.632K

為使系統(tǒng)穩(wěn)定，須有進行w變換得

(2.736-0.104K)w2+(1.264-0.528K)w+0.632K=0T=1

一、采樣系統(tǒng)的類型設采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖函數為G(z)，當G(z)具有0個，1個，2個z＝1的極點時，系統(tǒng)分別為0型，I型，II型系統(tǒng)。二、應用終值定理求給定穩(wěn)態(tài)誤差終值設采樣系統(tǒng)是單位負反饋系統(tǒng)，則給定誤差脈沖傳遞函數為：

7.5.2穩(wěn)態(tài)誤差的計算P284

1.終值定理法

7.5.2穩(wěn)態(tài)誤差的計算P284

2.誤差系數法