遍歷過程與馬爾科夫鏈1

內(nèi)容復(fù)習(xí)

嚴(yán)平穩(wěn)過程一．定義1隨機(jī)過程，如果對(duì)任意維分布函數(shù),任意實(shí)數(shù),滿足:

則稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程,或稱狹義平穩(wěn)過程.

2廣義平穩(wěn)過程

(一)廣義平穩(wěn)過程的定義定義2

設(shè)隨機(jī)過程,對(duì)于任意,滿足:(1)存在且有限;(2)是常數(shù);(3)僅依賴于,而與無(wú)關(guān),則稱為廣義平穩(wěn)過程,或稱寬平穩(wěn)過程,簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過程.

3定義

如果隨機(jī)過程,對(duì)任意正整數(shù)

,服從正態(tài)分布則稱為正態(tài)過程.正態(tài)平穩(wěn)過程設(shè)是正態(tài)過程,服從正態(tài)分布,則必存在,即二階矩存在.5二.正態(tài)平穩(wěn)過程定義

如果正態(tài)過程又是(廣義)平穩(wěn)過程,則

稱為正態(tài)平穩(wěn)過程.

定理二：設(shè)是正態(tài)過程.則為嚴(yán)平穩(wěn)過程為廣義平穩(wěn)過程.6例2

設(shè)是正態(tài)平穩(wěn)過程,且令

證明:是平穩(wěn)過程.7

定義6

稱為隨機(jī)過程

對(duì)于參數(shù)的平均值,通常稱為隨機(jī)過程

的時(shí)間均值.顯然是一個(gè)隨機(jī)變量.在任意處,給任意實(shí)數(shù)，過程在和的兩個(gè)狀態(tài)的乘積

在上的平均值,

記為9定義7

稱為隨機(jī)過程的時(shí)間相關(guān)函數(shù).(顯然它是一個(gè)隨機(jī)過程.)對(duì)隨機(jī)過程時(shí)間均值

定義,

10時(shí)間相關(guān)函數(shù)

例1

求隨機(jī)相位正弦波的時(shí)間均

值和時(shí)間相關(guān)函數(shù).(記住這個(gè)例題的結(jié)論,以后要用)11二.各態(tài)遍歷性定義8

設(shè)是一個(gè)平穩(wěn)過程或

{即,

為常

數(shù),且

的均值具有各態(tài)遍歷性;注：(1)如果則稱過程13(2)

如果

則稱過程的自相關(guān)函數(shù)具有各態(tài)遍歷性.(3)均值和自相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)遍歷性的平穩(wěn)過程稱為遍歷過程,或說,該平穩(wěn)過程具有遍歷性.

(三)遍歷過程的例子例1

設(shè)，其中是實(shí)常數(shù),

14不具各態(tài)遍歷性的例子：例2

設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量,且則(1)是平穩(wěn)過程;(2)的均值不具有各態(tài)遍歷性.服從區(qū)間上的均勻分布,的各態(tài)遍歷性.討論

解及例1結(jié)論，由知X(t)具有遍歷性15定理三

(均值各態(tài)遍歷定理)平穩(wěn)過程

的均值具有各態(tài)遍歷性的充要條件是近似計(jì)算提供依據(jù).五：引入遍歷過程的目的,應(yīng)用意義17例1

設(shè)是以為周期的隨機(jī)相位周期

過程,即滿足(是周期函數(shù))其中是在上服從均勻分布的隨機(jī)變量.試證:(1)是平穩(wěn)過程;

(2)是遍歷過程.

181921例2

設(shè)平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)以概率1成立。

證明:對(duì)于任意t,等式是以T為周期的周期函數(shù),

提示：22例3解：23第十三章馬爾可夫鏈馬爾可夫過程是一類特殊的隨機(jī)過程,最初是由俄國(guó)數(shù)學(xué)家馬爾可夫1896年生物學(xué),經(jīng)濟(jì),管理,教育,氣象物理,化學(xué)等等.馬爾可夫鏈?zhǔn)请x散狀態(tài)的馬爾可夫過程,提出和研究的應(yīng)用十分廣泛,其應(yīng)用領(lǐng)域涉及計(jì)算機(jī),通信,自動(dòng).控制,隨機(jī)服務(wù),可靠性,25例：一維隨機(jī)游動(dòng)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在直線上的五個(gè)位置:0,1,2,3,4做隨機(jī)

游動(dòng).當(dāng)它處在位置1或2或3時(shí),以的1/3概率向左移動(dòng)一步而以2/3的概率向右移動(dòng)一步;當(dāng)它到達(dá)位置0時(shí),以概率1返回位置1;當(dāng)它到達(dá)位置4時(shí)以概率1停留在該位置上(稱位置0為反射壁,稱位置4為吸收壁).26

第一節(jié)

馬爾可夫鏈的定義一．定義1

設(shè)隨機(jī)過程的狀態(tài)空間是

有限集或可列集,對(duì)于T內(nèi)任意n+1個(gè)參數(shù)和內(nèi)任意個(gè)狀態(tài)如果條件概率(1)29恒成立,則稱此過程為馬爾可夫鏈.

式(1)稱為馬爾可夫性,或稱無(wú)后效性.注：30系統(tǒng)現(xiàn)時(shí)情況的條件下,系統(tǒng)將來的發(fā)展變化與系統(tǒng)的過去無(wú)關(guān).我們稱之為無(wú)后效性.許多實(shí)際問題都具有這種無(wú)后效性.例如生物基因遺傳從這一代到下一代的轉(zhuǎn)移中僅依賴于這一代而與以往各代無(wú)關(guān).31馬氏性的直觀含義可以解釋如下:將看作為現(xiàn)在時(shí)刻,就是過去時(shí)刻,而則是將來時(shí)刻.于是,(1)式是說,當(dāng)已知二馬爾可夫鏈的分類狀態(tài)空間是離散的(有限集或可列集),參數(shù)集

可為離散或連續(xù)的兩類.三離散參數(shù)馬爾可夫鏈（1）轉(zhuǎn)移概率定義2

在離散參數(shù)馬爾可夫鏈中,條件概率

稱為在

32時(shí)刻(參數(shù))由狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的一步轉(zhuǎn)移概率,簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)移概率.條件概率稱為在時(shí)