復(fù)變函數(shù)

第2講1§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根2乘積與商設(shè)有兩個(gè)復(fù)數(shù)

z1=r1(cosq1+isinq1),z2=r2(cosq2+isinq2),

z1z2=r1r2(cosq1+isinq1)(cosq2+isinq2)

=r1r2[(cosq1cosq2-sinq1sinq2)

+i(sinq1cosq2+cosq1sinq2)]

=r1r2[cos(q1+q2)+isin(q1+q2)]

于是 |z1z2|=|z1||z2| (1.3.1)

Arg(z1z2)=Argz1+Argz2, (1.3.2)

3定理1兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積,兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們幅角的和.4等式

Arg(z1z2)=Argz1+Argz2, (1.3.2)

的意思是等式的兩邊都是無限集合,兩邊的集合相等,即每給定等式左邊的一個(gè)數(shù),就有等式右邊的一個(gè)數(shù)與之對應(yīng),反之亦然.

例如,設(shè)z1=-1,z2=i,則z1z2=-i,則5z1z2相當(dāng)于將z1的模擴(kuò)大|z2|倍并旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度Argz2q2q2z2q1z1z1z21Oxy6如果用指數(shù)形式表示復(fù)數(shù):由此逐步可證,如果7按照商的定義,當(dāng)z10時(shí),有定理二兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商,兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角之差.8如果用指數(shù)形式表示復(fù)數(shù):定理二可簡明地表示為9例1已知正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)為z1=1與z2=2+i,求它的另一個(gè)頂點(diǎn).

[解]如圖所示,將表示z2-z1的向量繞z1旋轉(zhuǎn)p/3(或-p/3)就得到另一個(gè)向量,它的終點(diǎn)即為所求的頂點(diǎn)z3(或z3’).Oxyz1=1z2=2+iz3z3’10根據(jù)復(fù)數(shù)乘法,有112.冪與根n個(gè)相同復(fù)數(shù)z的乘積稱為z的n次冪,

記作zn則根據(jù)(1.3.4),對任意正整數(shù)n,我們有

zn=rn(cosnq+isinnq). (1.3.7)如|z|=1,則(棣莫弗(DeMoivre)公式).(cosq+isinq)n=cosnq+isinnq. (1.3.8)12設(shè)z為己知,方程wn=z的根w稱為z的n次根,如n為正整數(shù),則一個(gè)復(fù)數(shù)的n次根不止有一個(gè),而是有n個(gè),這是很麻煩的事情.例如在幾何上,z1/n的n個(gè)值就是以原點(diǎn)為中心,r1/n為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)13在z已知時(shí)求方程wn=z的根w,令

z=r(cosq+isinq),w=r(cosj+isinj),

則

rn(cosnj+isinnj)=r(cosq+isinq)

于是

rn=r,cosnj=cosq,sinnj=sinq

后兩式成立的充要條件為

nj=q+2kp,(k=0,1,2,).

由此14其中,r1/n是算術(shù)根,所以當(dāng)k=0,1,2,…,n-1時(shí),得到n個(gè)相異的根,而當(dāng)k以其它整數(shù)值代入時(shí),這些根又重復(fù)出現(xiàn).15例2求[解]因?yàn)樗?6即17四個(gè)根是內(nèi)接于中心在原點(diǎn)半徑為21/8的圓的正方形的四個(gè)頂點(diǎn).1+iw0w1w2w3Oxy18§4區(qū)域191.區(qū)域的概念平面上以z0為中心,d(任意的正數(shù))為半徑的圓: |z-z0|<d內(nèi)部的點(diǎn)的集合稱為z0的鄰域,而稱由不等式0<|z-z0|<d所確定的點(diǎn)集為z0的去心鄰域.dz020包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)且滿足|z|>M的所有點(diǎn)的集合,其中實(shí)數(shù)M>0,稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域.

即它是圓|z|=M的外部且包含無窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身.不包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)本身的僅滿足|z|>M的所有點(diǎn)稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域,也記作M<|z|<.M0|z|>M21設(shè)G為一平面點(diǎn)集,z0為G中任意一點(diǎn).如果存在z0的一個(gè)鄰域,該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G,則稱z0為G的內(nèi)點(diǎn).

如果G內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn),則稱G為

開集22平面點(diǎn)集D稱為一個(gè)區(qū)域,如果它滿足下列兩個(gè)條件:

1)D是一個(gè)開集;

2)D是連通的,就是說D中任何兩點(diǎn)都可以用完全屬于D的一條折線連接起來.區(qū)域z2z1不連通23設(shè)D為復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)區(qū)域,如果點(diǎn)P不屬于D,但在P的任意小的鄰域內(nèi)總包含有D中的點(diǎn),這樣的點(diǎn)P稱為D的邊界點(diǎn).D的所有邊界點(diǎn)組成D的邊界.區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的.C3C2zg1g2C124區(qū)域D與它的邊界一起構(gòu)成閉區(qū)域或閉域,記作D.

如果一個(gè)區(qū)域可以被包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓里面,即存在正數(shù)M,使區(qū)域D的每個(gè)點(diǎn)z都滿足|z|<M,則稱D為有界的,否則稱為

無界的.xyDO25滿足不等式r1<|z-z0|<r2的所有點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)區(qū)域,而且是有界的,區(qū)域的邊界由兩個(gè)圓周

|z-z0|=r1和|z-z0|=r2構(gòu)成,稱為圓環(huán)域.如果在圓環(huán)域內(nèi)去掉一個(gè)(或幾個(gè))點(diǎn),它仍然構(gòu)成區(qū)域,只是區(qū)域的邊界由兩個(gè)圓周和一個(gè)(或幾個(gè))孤立的點(diǎn)所構(gòu)成z0r2r126無界區(qū)域的例子xyxyxy上半平面:Imz>0角形域:0<argz<jjab帶形域:a<Imz<b272.單連通域與多連通域

平面曲線在數(shù)學(xué)上,經(jīng)常用參數(shù)方程來表示各種平面曲線.如果x(t)和y(t)是兩個(gè)連續(xù)的實(shí)變函數(shù),則方程組

x=x(t),y=y(t),(atb)

代表一條平面曲線,稱為連續(xù)曲線.如果令

z(t)=x(t)+iy(t)

則此曲線可用一個(gè)方程

z=z(t) (atb)

來代表.這就是平面曲線的復(fù)數(shù)表示式.28如果在區(qū)間atb上x'(t)和y'(t)都是連續(xù)的,且對于t的每一個(gè)值,有

[x'(t)]2+[y'(t)]20

這曲線稱為光滑的,由幾段依次相接的光滑曲線所組成的曲線,稱為按段光滑曲線.連續(xù)不連續(xù)光滑不光滑29設(shè)C:z=z(t)(atb)為一條連續(xù)曲線,z(a)與z(b)分別為C的起點(diǎn)與終點(diǎn).對于滿足a<t1<b,at2b的t1與t2,當(dāng)t1t2而有z(t1)=z(t2)時(shí),點(diǎn)z(t1)稱為曲線C的重點(diǎn).沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線C,稱為簡單曲線或若爾當(dāng)(Jardan)曲線.如果簡單曲線C的起點(diǎn)與終點(diǎn)閉合,即z(a)=z(b),則曲線C稱為簡單閉曲線.z(a)=z(b)簡單,閉z(a)z(b)簡單,不閉z(a)=z(b)不簡單,閉不簡單,不閉z(a)z(b)30任意一條簡單閉曲線C把整個(gè)復(fù)平面唯一地分成三個(gè)互不相交的點(diǎn)集,其中除去C外,一個(gè)是有界區(qū)域,稱為C的內(nèi)部,另一個(gè)是無界區(qū)域,稱