計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)圖形幾何變換

在計(jì)算機(jī)繪圖中，經(jīng)常根據(jù)需要將已定義的圖形從屏幕的某一位置移動(dòng)到另一位置，或改變圖形的大小或形狀,或利用已有的圖形生成復(fù)雜圖形，這種變換過程稱為幾何變換。利用圖形變換還可以實(shí)現(xiàn)二維圖形和三維圖形之間轉(zhuǎn)換，甚至還可以把靜態(tài)圖形變?yōu)閯?dòng)態(tài)圖形。

圖形幾何變換4.1預(yù)備知識(shí)4.2二維圖形幾何變換4.3二維圖形組合變換圖形幾何變換

一種是圖形不動(dòng)，而坐標(biāo)系變動(dòng)，即變換前與變換后的圖形是針對(duì)不同坐標(biāo)系而言的，稱之為坐標(biāo)模式變換；

另一種是坐標(biāo)系不動(dòng)，而圖形改變，即變換前與變換后的坐標(biāo)值是針對(duì)同一坐標(biāo)系而言的，稱之為圖形模式變換。

圖形變換有兩種不同的變換形式：4.1.1圖形變換形式4.1預(yù)備知識(shí)工程圖形的齊次坐標(biāo)矩陣表示齊次坐標(biāo)：將一個(gè)n維向量用n+1維向量表示。例：平面三角形A齊次坐標(biāo)矩陣表示

123oxy

若圖形A經(jīng)過某種變換后得到圖形B，則有：

B=A·TT稱為變換矩陣，二維：T為3x3矩陣，三維：T為4x4矩陣。A4.1.2齊次坐標(biāo)的引入

齊次坐標(biāo)技術(shù)的引入平移、比例和旋轉(zhuǎn)等變換處理形式不統(tǒng)一，組合變換時(shí)將很難把它們級(jí)聯(lián)在一起。

變換應(yīng)具有統(tǒng)一的表示形式便于變換合成便于軟件實(shí)現(xiàn)4.1.2齊次坐標(biāo)的引入

圖形變換的方法：借助變換矩陣來實(shí)現(xiàn)圖形（可用點(diǎn)集表示）齊次坐標(biāo)矩陣P新齊次坐標(biāo)矩陣P’新圖形P×變換矩陣T表示成表示成4.1.3圖形變換的方法

矩陣乘法：矩陣的乘法不滿足交換率，兩個(gè)矩陣相乘必須滿足的基本條件是前者矩陣的列數(shù)與后者矩陣的行數(shù)應(yīng)相等。4.1.4矩陣乘法

4.2二維圖形基本幾何變換

4.2.1二維基本變換平移變換旋轉(zhuǎn)變換比例變換對(duì)稱變換錯(cuò)切變換（1）平移變換

其中：l為x方向平移量，m為y方向平移量。

平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀。（2）比例變換變換矩陣為：

坐標(biāo)點(diǎn)(x,y,1)變換運(yùn)算：若a=d=1，為恒等變換，變換后的圖形不變；若a=d≠1，>1時(shí)為等比例放大，<1時(shí)為等比例縮??；若a≠d，圖形在x，y兩個(gè)坐標(biāo)方向以不同的比例變換。

相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)圖形的比例變換，相當(dāng)于每一點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)的變換，因此，它不但改變圖形的大小，而且改變圖形的位置。（2）比例變換（3）旋轉(zhuǎn)變換

繞坐標(biāo)原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)

對(duì)字母T進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換（旋轉(zhuǎn)60°)（3）旋轉(zhuǎn)變換

（4）對(duì)稱變換根據(jù)abcd不同的取值情況，可以獲得不同的對(duì)稱變換。①y軸對(duì)稱變換

②x軸對(duì)稱

③對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱

④45°線對(duì)稱

⑤-45°線對(duì)稱

①沿x軸方向關(guān)于y錯(cuò)切變換前和變換后y坐標(biāo)不變，而x坐標(biāo)根據(jù)y坐標(biāo)值呈線性變化。變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系為：△x

錯(cuò)切變換（1）yx（5）錯(cuò)切變換

②沿y軸方向關(guān)于x錯(cuò)切變換前和變換后x坐標(biāo)不變，而y坐標(biāo)根據(jù)x坐標(biāo)值呈線性變化。變換前后點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系為：

錯(cuò)切變換（2）y△y（5）錯(cuò)切變換

二維圖形基本變換矩陣討論：

實(shí)現(xiàn)圖形的比例、對(duì)稱、錯(cuò)切、旋轉(zhuǎn)等基本幾何變換；

實(shí)現(xiàn)圖形平移變換；

實(shí)現(xiàn)圖形透視變換；

實(shí)現(xiàn)圖形全比例變換，s>1等比例縮??；0<s<1等比例放大。

4.2二維圖形基本幾何變換總結(jié)

4.2二維圖形幾何變換

4.3二維圖形的組合變換

基本變換是在特定的約束條件下進(jìn)行的，如比例變換是關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的放大或縮小，旋轉(zhuǎn)變換是指繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)等。有些變換僅用一種基本變換是不能實(shí)現(xiàn)的，必須由兩種或多種基本變換組合才能實(shí)現(xiàn)。這種由多種基本變換組合而成的變換稱為組合變換。齊次坐標(biāo)統(tǒng)一了圖形變換的表示形式，為組合變換提供了基礎(chǔ)。復(fù)合變換矩陣：等于各基本變換矩陣的有序乘積。

例：三角形abc繞任意點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α角，步驟：旋轉(zhuǎn)中心平移到坐標(biāo)原點(diǎn)T平；繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)T轉(zhuǎn)；

旋轉(zhuǎn)中心平移到原來位置T—平。復(fù)合變換矩陣T為：坐標(biāo)點(diǎn)變換：

[X′Y′1]=[XY1]T

1關(guān)于繞任意參照點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α的變換

4.3二維圖形的組合變換2關(guān)于任意參照點(diǎn)的比例變換

變換矩陣：T=T1?T2?T3（平移，比例，-平移）

4.3二維圖形的組合變換3關(guān)于任意軸的對(duì)稱變換

設(shè)任意直線的方程為：Ax+By+C=0，直線在X軸的截距為-C/A，在Y軸上的截距為-C/B，直線與X軸夾角為，對(duì)該直線做對(duì)稱變換。

關(guān)于任意軸的對(duì)稱變換步驟：1)平移直線，使其通過原點(diǎn)（可以沿X向或Y向平移，這里沿X向平移），變換矩陣為：2)繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使直線與某坐標(biāo)軸重合（這里與X軸重合）,變換矩陣為：3)對(duì)X坐標(biāo)軸對(duì)稱變換，其變換矩陣為：4)繞原點(diǎn)放置使直線回到原來與X軸成θ角的位置，變換矩陣為：5)平移直線，使其回到原來的位置，變換矩陣為：

通過上述5個(gè)步驟，即可實(shí)現(xiàn)圖形