第一章經(jīng)濟(jì)應(yīng)用模型2.1邊際及彈性分析一、邊際的概念

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，如果一個(gè)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)

y是另一個(gè)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)

x的函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量x在x0處有一個(gè)單位的改變量時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)y的改變量稱為該函數(shù)所表示的經(jīng)濟(jì)指標(biāo)在x0處的邊際量。

例如：生產(chǎn)要素(自變量)增加一單位，產(chǎn)量(因變量)的增量為2個(gè)單位，因變量改變的2個(gè)單位就是邊際產(chǎn)量.

邊際分析法就是分析自變量變動(dòng)1單位時(shí)，因變量會(huì)變動(dòng)多少的方法.用數(shù)學(xué)方法描述邊際概念

設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo).根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，有當(dāng)

很小時(shí)，有

于是特別地，當(dāng)

時(shí)，有

當(dāng)自變量增加1單位時(shí)，函數(shù)的增量近似地等于其導(dǎo)數(shù)值.定義把函數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為邊際函數(shù)1．邊際成本總成本函數(shù)

（x為產(chǎn)量）的導(dǎo)數(shù)

稱為產(chǎn)量為x單位時(shí)的邊際成本．

邊際成本

表示當(dāng)產(chǎn)量為x時(shí)，再生產(chǎn)1個(gè)單

位產(chǎn)品時(shí)總成本將改變

個(gè)單位．

2．邊際收益總收益函數(shù)

（x為產(chǎn)量）的導(dǎo)數(shù)

稱為產(chǎn)量為x單位時(shí)的邊際收益．邊際收益

表示當(dāng)產(chǎn)量為x時(shí)，再生產(chǎn)1個(gè)單

位產(chǎn)品，總收益將改變

個(gè)單位．

3．邊際利潤(rùn)總利潤(rùn)函數(shù)

（x為產(chǎn)量）的導(dǎo)數(shù)

稱

為產(chǎn)量為x單位時(shí)的邊際利潤(rùn)．邊際利潤(rùn)

表示當(dāng)產(chǎn)量為x時(shí)，再生產(chǎn)1個(gè)單位

產(chǎn)品，總利潤(rùn)將改變

單位．

最大利潤(rùn)原理

當(dāng)邊際收入等于邊際成本且邊際收入的變化率小于邊際成本的變化率時(shí)，利潤(rùn)最大。條件：唯一駐點(diǎn)4．邊際需求需求函數(shù)

（p為價(jià)格）的導(dǎo)數(shù)

稱

為價(jià)格為p單位時(shí)的邊際需求．邊際需求

表示當(dāng)價(jià)格為p時(shí)，價(jià)格再上漲1

個(gè)單位,需求量將改變

個(gè)單位．

5．邊際供給供給函數(shù)

（p為價(jià)格）的導(dǎo)數(shù)

稱

為價(jià)格為p單位時(shí)的邊際需求．邊際需求

表示當(dāng)價(jià)格為p時(shí)，價(jià)格再上漲1

個(gè)單位,需求量將改變

個(gè)單位．

例

設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品的總成本為總收益為

試求：

（1）邊際成本、邊際收入和邊際利潤(rùn)函數(shù).（2）當(dāng)產(chǎn)量為600及700個(gè)單位時(shí)的邊際利潤(rùn),并

說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義.

（3）求利潤(rùn)最大的產(chǎn)量。

解

（1）（2）

（3）令

這時(shí)，有經(jīng)濟(jì)意義：當(dāng)產(chǎn)量為600時(shí)，再增加單位產(chǎn)量會(huì)使利潤(rùn)增加0.3,當(dāng)產(chǎn)量為700時(shí)，再增加單位產(chǎn)量會(huì)使利潤(rùn)減少0.3二、彈性分析1、彈性的概念

設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，函數(shù)

在點(diǎn)x處的

增量為

自變量的增量為

則比

值稱為在點(diǎn)x處自變量x的相對(duì)改變量.稱比值為函數(shù)y的相對(duì)改變量。

兩個(gè)相對(duì)改變量之

比的極限稱為函數(shù)

在點(diǎn)x處的彈性，記作

即

彈性經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)自變量變化1%時(shí)，函數(shù)變化的百

分?jǐn)?shù)為注意

彈性研究的是相對(duì)變化率．因此，彈性沒(méi)有量綱．為函數(shù)在區(qū)間上的弧彈性。

稱2．需求價(jià)格彈性設(shè)需求函數(shù)為（p為價(jià)格），則需求價(jià)格彈性為它表示在價(jià)格為p的水平上，當(dāng)價(jià)格改變1%時(shí)，需求量Ｑ變化的百分?jǐn)?shù)．根據(jù)需求彈性值的大小，需求價(jià)格彈性可以劃分為（1）缺乏彈性：

（2）富有彈性：

（3）單位彈性：價(jià)格變動(dòng)的比率=需求量變動(dòng)的比率。

例如運(yùn)輸業(yè)、煤氣等。需求量變動(dòng)的比率小于價(jià)格變動(dòng)的比率。需求量對(duì)于價(jià)格變動(dòng)反應(yīng)不敏感。例如生活必需品（糧食、蔬菜）,需求曲線陡峭。

需求量變動(dòng)的比率大于價(jià)格變動(dòng)的比率。需求量對(duì)于價(jià)格變動(dòng)反應(yīng)敏感。例如奢侈品，需求曲線較平坦。QPQPPQ（5）完全無(wú)彈性：價(jià)格無(wú)論如何變動(dòng)，需求量都不會(huì)變動(dòng)。（急救藥、火葬場(chǎng)、糖尿病人對(duì)胰島素的需求）PQ（4）完全有彈性：PQ在既定價(jià)格之下，需求量可以任意變動(dòng)（如銀行以固定價(jià)格收購(gòu)黃金）實(shí)例彈性在航空公司中的應(yīng)用

美國(guó)航空公司認(rèn)為，弄清乘客的需求彈性相當(dāng)于每年可帶來(lái)數(shù)十億美元的收益。理想的情況下，航空公司希望向商務(wù)人員要求盡可能高的票價(jià)，而向閑適的游客提供足夠低的票價(jià)以填補(bǔ)飛機(jī)上的空座。這是航空公司為增加總收益，追求利潤(rùn)最大化所希望采取的措施。為此他們要解決如何識(shí)別兩種不同類型的乘客問(wèn)題。航空公司通過(guò)對(duì)不同乘客實(shí)行“價(jià)格歧視”的措施解決了這個(gè)難題。航空公司通常會(huì)對(duì)事先計(jì)劃并希望選擇低價(jià)時(shí)機(jī)的游客提供折扣。同時(shí)，航空公司也許會(huì)要求乘客等到周六晚上以后才能拿到打折的機(jī)票，這一條規(guī)定使得急于回家度周末的商務(wù)人員望而卻步。另外最后的時(shí)刻通常不提供折扣，因?yàn)樯虅?wù)往來(lái)事先并無(wú)計(jì)劃，而是為了處理意外的危機(jī)——這是另外一種缺乏彈性的情況。航空公司已經(jīng)設(shè)計(jì)出極其復(fù)雜的計(jì)算機(jī)程序來(lái)管理機(jī)票的銷售，從而確保缺乏彈性的乘客無(wú)法從折扣中獲益。因此，盡管用有預(yù)算約束的旅客填補(bǔ)空位，他們?nèi)匀挥欣蓤D。3、需求彈性、總收入與價(jià)格之間的關(guān)系總收入的變動(dòng)量近似為總收入函數(shù)為若價(jià)格有微小的變化，則收入函數(shù)的改變量為4、需求的收入彈性設(shè)需求關(guān)于收入函數(shù)為，其中

M表示消費(fèi)者的收入

需求收入彈性的計(jì)算公式為若需求收入彈性，則稱這樣的商品為正常商品，其中若，認(rèn)為是缺乏彈性的，例如生活必需品；若，則為是富有彈性的，例如奢侈品或高檔商品。若需求收入彈性，則認(rèn)為該商品是低檔或劣質(zhì)產(chǎn)品，即吉芬（Giffen）商品。均衡價(jià)格是市場(chǎng)上供需量相等時(shí)的價(jià)格，這時(shí)的供需量叫做均衡商品量。解這個(gè)模型就得到價(jià)格和時(shí)間的關(guān)系。

一般來(lái)說(shuō)價(jià)格P隨時(shí)間t波動(dòng)，，的漲速與過(guò)剩需求成正比，故有數(shù)學(xué)模型2.3均衡價(jià)格若的表達(dá)式是線性的：其通解為從而這說(shuō)明價(jià)格雖是波動(dòng)的，但隨著時(shí)間的推移，最后趨于均衡價(jià)格。則問(wèn)題簡(jiǎn)化為可得供求平衡時(shí)的價(jià)格為

若需求是一個(gè)常數(shù)，供給也是一個(gè)常數(shù)，且供不應(yīng)求：，則其通解為從而此時(shí)即為通貨膨脹。控制通貨膨脹的關(guān)鍵是降低消費(fèi)資金的投放和增加商品的供應(yīng)量。總利潤(rùn)為

如果企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品不脫銷，并認(rèn)為商品需求量即為銷售量，供給量即為生產(chǎn)量。此時(shí)發(fā)生的商品庫(kù)存量為

設(shè)企業(yè)生產(chǎn)和庫(kù)存單位商品的成本分別為q和r.若需求和供給函數(shù)都為線性函數(shù)：，收入函數(shù)和成本函數(shù)分別為由于商品不脫銷，所以

，由此

最優(yōu)價(jià)格問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)L(p）在區(qū)間上的最大值問(wèn)題。L(p)的唯一駐點(diǎn)為不難證明p0是L(p)的最大值，所以當(dāng)，最優(yōu)價(jià)格為，當(dāng)，最優(yōu)價(jià)格為，綜上，最優(yōu)價(jià)格為1、以二元函數(shù)為例說(shuō)明拉格朗日乘子的經(jīng)濟(jì)意義設(shè)是目標(biāo)函數(shù)，是影響目標(biāo)函數(shù)中兩個(gè)因素的約束條件，在此約束條件下，求目標(biāo)函數(shù)的最值問(wèn)題。2.4、拉格朗日乘子的經(jīng)濟(jì)意義拉格朗日函數(shù)為若將C看作變量，解出最優(yōu)解的最值也可視為的函數(shù)

令對(duì)求導(dǎo)

將方程組(1)中前兩式代入(2)式中

隨目標(biāo)函數(shù)、約束條件的經(jīng)濟(jì)意義和度量單位不同而有不同的經(jīng)濟(jì)解釋。拉格朗日乘子是目標(biāo)函數(shù)最值對(duì)約束條件之常數(shù)的變化率或邊際值。

若總成本限定為，兩種原料投入為x、y，為目標(biāo)是使總產(chǎn)量最大，則是在最優(yōu)投入水平時(shí)的邊際產(chǎn)量。多變量多約束下拉格朗日乘子的經(jīng)濟(jì)意義研究有m個(gè)等式約束：函數(shù)的極值問(wèn)題構(gòu)造拉格朗日函數(shù)同樣稱為拉格朗日乘數(shù)拉格朗日乘數(shù)是函數(shù)的條件極值對(duì)約束常數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，即其經(jīng)濟(jì)意義隨目標(biāo)函數(shù)、約束條件的經(jīng)濟(jì)意義和度量單位不同而有不同的解釋。類似于二元函數(shù)，有如下結(jié)論2.7古諾產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)模型

古諾模型是最早的寡頭模型，研究的是在一個(gè)只有兩家成本結(jié)構(gòu)相同的企業(yè)生產(chǎn)完全相同產(chǎn)品的市場(chǎng)中，企業(yè)如何確定自己的產(chǎn)量使利潤(rùn)達(dá)到最大，使市場(chǎng)達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的狀態(tài)或者均衡。古諾模型也擴(kuò)展到對(duì)多個(gè)寡頭廠商行為的研究。1、古諾模型1）、兩個(gè)寡頭廠商生產(chǎn)的產(chǎn)品是同質(zhì)或無(wú)差別的；2）、每個(gè)廠商都根據(jù)對(duì)手的策略采取行動(dòng)，并假定對(duì)手也這樣做，據(jù)此來(lái)做出自己的決策；3）、為方便，假定每個(gè)廠商的邊際成本為常數(shù)，

市場(chǎng)的需求函數(shù)是線性的；4）、兩個(gè)廠商都通過(guò)調(diào)整產(chǎn)量來(lái)實(shí)現(xiàn)各自利潤(rùn)的最大；5）、兩個(gè)廠商不存在任何正式的或非正式的串謀行為。

2、古諾模型中兩個(gè)寡頭行為的假定

參與者集合：i=1,2，

1為廠商A，2為廠商B市場(chǎng)需求函數(shù)：

決策變量：成本函數(shù)：利潤(rùn)函數(shù)：3、建立模型古諾均衡:古諾均衡是指這樣一對(duì)產(chǎn)量的組合，在這個(gè)產(chǎn)量水平上沒(méi)有企業(yè)認(rèn)為可通過(guò)增加或減少產(chǎn)量而提高自己的利潤(rùn)，產(chǎn)出的組合除了古諾均衡外，不可能再達(dá)到均衡。廠商A的均衡產(chǎn)量廠商B的均衡產(chǎn)量廠商A的反應(yīng)函數(shù)廠商B的反應(yīng)函數(shù)

廠商選擇的應(yīng)是均衡產(chǎn)量

均衡點(diǎn)

應(yīng)滿足條件為即古諾均衡產(chǎn)量使兩個(gè)企業(yè)都達(dá)到利潤(rùn)最大化，故古諾均衡點(diǎn)既在企業(yè)A的反應(yīng)函數(shù)曲線上又在企業(yè)B的反應(yīng)函數(shù)曲線上，兩條企業(yè)反應(yīng)函數(shù)曲線的交點(diǎn)就是古諾均衡點(diǎn)。兩企業(yè)的反應(yīng)函數(shù)為

兩企業(yè)的最優(yōu)產(chǎn)量為q2q1均衡點(diǎn)0q2*q1*R1(q2)R2(q1)企業(yè)邊際成本越高，其均衡產(chǎn)量就越小，對(duì)手的邊際成本越高，其均衡產(chǎn)量就越高。市場(chǎng)總產(chǎn)量為：均衡價(jià)格為：企業(yè)2的市場(chǎng)分額：企業(yè)1的市場(chǎng)分額：例1

歐佩克（OPEC,石油輸出國(guó)組織）試圖通過(guò)限制生產(chǎn)水平保持世界石油的高價(jià)格。假設(shè)歐佩克的生產(chǎn)成本為每桶5美元，非歐佩克生產(chǎn)國(guó)的生產(chǎn)成本為每桶10美元，又知道石油市場(chǎng)需求函數(shù)為

用古諾寡頭壟斷方法做均衡分析。分析：設(shè)歐佩克和非歐佩克國(guó)的產(chǎn)量分別為

，雙方的利潤(rùn)函數(shù)分別為

解得反應(yīng)函數(shù)分別為所以石油市場(chǎng)的古諾均衡點(diǎn)為，

令

假定市場(chǎng)上的兩個(gè)寡頭壟斷企業(yè)通過(guò)串謀如同一個(gè)壟斷者一樣行事。串謀屬于合作博弈，其特點(diǎn)是參加博弈的各方在決策過(guò)程中聯(lián)合起來(lái)，先追求共同利益的極大化，然后再分配這個(gè)已經(jīng)極大化了的共同利益。市場(chǎng)需求函數(shù)為：兩個(gè)企業(yè)的成本函數(shù)分別為：在串謀條件下，總利潤(rùn)函數(shù)為：則4、兩個(gè)企業(yè)有串謀的均衡模型令由此求得各自的最優(yōu)產(chǎn)量例2

兩企業(yè)市場(chǎng)需求函數(shù)和成本函數(shù)分別為：若兩企業(yè)串謀，求均衡解，并求兩企業(yè)的最優(yōu)利潤(rùn)?？偫麧?rùn)函數(shù)為解得令設(shè)市場(chǎng)中有n家廠商,qi為廠商i的產(chǎn)量，

為市場(chǎng)總產(chǎn)量。已知市場(chǎng)的需求函數(shù)為p=a-bQ

,為簡(jiǎn)單，假設(shè)各廠商生產(chǎn)沒(méi)有固定成本，且各廠商的邊際成本c都相同。若各廠商同時(shí)選擇產(chǎn)量，則各廠商的利潤(rùn)函數(shù)為5、多家企業(yè)的古諾產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)模型

令各廠商的反應(yīng)函數(shù)為n個(gè)廠商均衡點(diǎn)滿足行業(yè)總產(chǎn)量為市場(chǎng)價(jià)格為每個(gè)企業(yè)的利潤(rùn)為

從上述數(shù)學(xué)結(jié)果來(lái)看，當(dāng)n=1時(shí)，得到的是壟斷結(jié)果；在n=2時(shí)，得到的是雙頭模型的結(jié)果。企業(yè)的均衡產(chǎn)量、市場(chǎng)均衡價(jià)格和每個(gè)企業(yè)的均衡利潤(rùn)都與行業(yè)內(nèi)企業(yè)數(shù)量n有關(guān)系。在古諾均衡中，隨著企業(yè)數(shù)量的無(wú)限增加，每個(gè)企業(yè)的產(chǎn)出水平接近零，而行業(yè)總產(chǎn)量接近競(jìng)爭(zhēng)產(chǎn)出水平。時(shí)企業(yè)均衡產(chǎn)量和市場(chǎng)總產(chǎn)量的變化：

古諾均衡價(jià)格隨著企業(yè)數(shù)量增加的結(jié)果為：

古諾均衡價(jià)格在n=1時(shí)為壟斷價(jià)格水平，隨著行業(yè)中企業(yè)數(shù)量的無(wú)限增加，呈不斷下降的趨勢(shì)，直到逼近企業(yè)單位生產(chǎn)成本即完全競(jìng)爭(zhēng)價(jià)格水平。

這說(shuō)明，當(dāng)企業(yè)個(gè)數(shù)很多時(shí)，市場(chǎng)價(jià)格將趨于企業(yè)的邊際成本，市場(chǎng)產(chǎn)量將會(huì)不斷增加，而價(jià)格將會(huì)下降，從而有助于增加消費(fèi)者的福利。2.10價(jià)格指數(shù)問(wèn)題價(jià)格指數(shù)是消費(fèi)品價(jià)格變化的度量.幾百年來(lái)，經(jīng)濟(jì)學(xué)家們提出了許多種價(jià)格指數(shù).如何評(píng)價(jià)這些價(jià)格指數(shù)的合理性？以１種和２種商品的價(jià)格指數(shù)為例對(duì)一種給定商品，原價(jià)p0,現(xiàn)價(jià)p,價(jià)格變化I=p/p0對(duì)兩種給定商品，原價(jià)p01,p02,現(xiàn)價(jià)p1,p2,價(jià)格變化指標(biāo)沒(méi)有體現(xiàn)“權(quán)”的概念，應(yīng)有價(jià)格綜合指數(shù)

商品名稱計(jì)量單位報(bào)告期基

期銷售量

單價(jià)(元)銷售量

單價(jià)(元)

q1p1q0p0甲米6000.204000.25乙kg6000.365000.40丙件1800.602000.50某企業(yè)三種產(chǎn)品平均日產(chǎn)與價(jià)格價(jià)格綜合指數(shù)

定義為說(shuō)明三種產(chǎn)品價(jià)格綜合下降7.5%，企業(yè)日產(chǎn)值減少36元。問(wèn)題的一般提法設(shè)有n種代表性消費(fèi)品，建立衡量基年和現(xiàn)年價(jià)格變化指標(biāo)?；?基準(zhǔn)年)

價(jià)格指數(shù)記為I(p,q|p0,q0)權(quán)重現(xiàn)年(報(bào)告年)價(jià)格價(jià)格權(quán)重歷年來(lái)諸多學(xué)者都對(duì)指數(shù)計(jì)算做了研究，下面列舉經(jīng)濟(jì)學(xué)家們提出的常用價(jià)格指數(shù)。

基年權(quán)重法現(xiàn)年權(quán)重法

基年現(xiàn)年權(quán)重并用法固定權(quán)重法幾何平均法

冪平均法規(guī)范基年權(quán)向量?jī)缙骄?/p>

規(guī)范現(xiàn)年權(quán)向量?jī)缙骄▎?wèn)題：哪種定義更合理？理想的價(jià)格指數(shù)是什么？1.價(jià)格單調(diào)性：一種商品漲價(jià)，其他不降，則I應(yīng)上升價(jià)格指數(shù)的公理化p,q,p0,q0>0,I(p,q|p0,q0)>02.權(quán)重不變性：所有商品價(jià)格不變，則I應(yīng)不變3.價(jià)格齊次性：所有商品漲價(jià)k倍，則I應(yīng)上升k倍4.I應(yīng)位于單種商品價(jià)格比值的最小、最大值之間5.貨幣單位獨(dú)立性：I應(yīng)與貨幣單位的選取無(wú)關(guān)6.計(jì)量單位獨(dú)立性：I應(yīng)與商品計(jì)量單位的選取無(wú)關(guān)7.兩年的價(jià)格指數(shù)之比與基年選取無(wú)關(guān)8.價(jià)格指數(shù)不因某種商品被淘汰失去意義則價(jià)指數(shù)I2為若豬肉計(jì)量單位換算為公斤基期p0=2×8=16元,銷量q0=10÷2=5公斤

現(xiàn)價(jià)p1=2×10=20元,銷量q1=9÷2=4.5公斤價(jià)格指數(shù)應(yīng)不變對(duì)性質(zhì)6解釋舉例豬肉基期p0=8元,銷量q0=10斤

現(xiàn)價(jià)p1=10元,銷量q1=9斤即I1,I2,I5不滿足公理7艾希霍恩（Eichhorn）給出了如下定理（1973）定理:不存在同時(shí)滿足公理2,3,6,7,8的價(jià)格指數(shù).I6,I7,I8不滿足公理8I3不滿足公理2I4不滿足公理6常見的價(jià)格指數(shù)I1—I8中：

不存在滿足所有公理的價(jià)格指數(shù)，但經(jīng)濟(jì)學(xué)不能沒(méi)有價(jià)格指數(shù)，要選擇綜合性能好的指數(shù)。分析現(xiàn)有I1-I8，應(yīng)剔除哪一個(gè)？

I4與I6需構(gòu)造另外參數(shù)，不方便使用，I5

可由I1和I2

直接得到，I3不滿足公理2，I7、I8

計(jì)算量大且不滿足公理6、7、8.I1,I2滿足除公理7外的所有公理，且計(jì)算簡(jiǎn)單，所以是目前最常用的價(jià)格指數(shù)。目前常用的價(jià)格指數(shù):I1,I2中國(guó)幾種主要價(jià)格指數(shù)簡(jiǎn)介1、商品零售價(jià)格指數(shù)RPI

零售價(jià)格指數(shù)(RetailPriceindex)是反映城鄉(xiāng)商品零售價(jià)格變動(dòng)趨勢(shì)的一種經(jīng)濟(jì)指數(shù)。它的變動(dòng)直接影響到城鄉(xiāng)居民的生活支出和國(guó)家財(cái)政收入，影響居民的購(gòu)買力和市場(chǎng)供需平衡以及消費(fèi)和積累的比例。商品主要包括食品、飲料煙酒、服裝鞋帽、紡織品、中西藥品、化妝品、書報(bào)雜志、文化體育用品、日用品、家用電器、首飾、燃料、建筑裝潢材料、機(jī)電產(chǎn)品等十四個(gè)大類304種必報(bào)產(chǎn)品，各?。▍^(qū)、市）可根據(jù)當(dāng)?shù)貙?shí)際