第五節(jié)混料設(shè)計(jì)一、混料設(shè)計(jì)的概念與特點(diǎn)在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)研究中，時(shí)常會(huì)遇到配方配比問(wèn)題。比如，將若干種成分(ingredient)按百分比混合在一起形成混料，混料的某種特性或綜合性能只與混料成分的百分比有關(guān)，而與混料的總量無(wú)關(guān)。這種情況一般采用混料試驗(yàn)(experimentwithmixtures)，即在各種混料成分的變化范圍受到一定約束條件限制的情況下，通過(guò)試驗(yàn)探索各成分的百分比與試驗(yàn)研究指標(biāo)之間的關(guān)系。在混料試驗(yàn)中，組成混料的各種成分至少應(yīng)有三種，它們就是混料試驗(yàn)中的試驗(yàn)因素?；炝铣煞忠卜Q為混料分量(component)?；炝显囼?yàn)設(shè)計(jì)(designofexperimentswithmixtures)是在Scheffe（1958）提出單純形格子設(shè)計(jì)以來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法。所謂混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)，就是合理地設(shè)計(jì)混料試驗(yàn)，通過(guò)各混料成分不同百分比的一些組合試驗(yàn)，獲得試驗(yàn)指標(biāo)與各混料成分百分比之間的線性或非線性的回歸方程的設(shè)計(jì)方法，簡(jiǎn)稱混料設(shè)計(jì)(designwithmixtures)?；炝显O(shè)計(jì)的特點(diǎn)

第一，混料設(shè)計(jì)是一種回歸設(shè)計(jì)，因?yàn)榛炝显囼?yàn)一般都要求獲得試驗(yàn)指標(biāo)與各混料成分百分比之間的回歸方程。

混料設(shè)計(jì)就受到這一約束條件的限制。因此，混料設(shè)計(jì)是回歸設(shè)計(jì)中的一類(lèi)特殊情況，是受到特殊條件約束的回歸設(shè)計(jì)。在混料試驗(yàn)中，試驗(yàn)因素都是無(wú)量綱的，它們滿足約束條件(4—68)。

第二，由于混料設(shè)計(jì)受到上述約束條件的限制，因此混料設(shè)計(jì)的回歸方程比一般回歸設(shè)計(jì)的回歸方程更加簡(jiǎn)單。任何一個(gè)混料試驗(yàn)的設(shè)計(jì)，總是與混料成分的個(gè)數(shù)p和回歸方程的次數(shù)d（d≤p）有關(guān)的。因此，我們用｛p,d｝來(lái)表示一個(gè)混料設(shè)計(jì)。在{3，2}混料設(shè)計(jì)中，其回歸方程為它是由一般的三元二次回歸設(shè)計(jì)的回歸方程在混料約束條件(4—68)下得到的更加簡(jiǎn)化的形式。令則(4—71)式變?yōu)閷i'、bij'仍然寫(xiě)成bi、bij即得到{3，2}混料設(shè)計(jì)的回歸方程(4—69)。

一般情況下，混料設(shè)計(jì)的回歸方程常采用Scheffe形式。d=1時(shí)，回歸方程為d=2時(shí)，回歸方程為d=3時(shí)，不完全式回歸方程為d=3時(shí)，完全式回歸方程為

｛p,d｝混料設(shè)計(jì)的Scheffe式回歸方程中需要估計(jì)的回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)，比一般的p元d次回歸設(shè)計(jì)的回歸方程少。例如，{p，2}混料設(shè)計(jì)比p元二次回歸設(shè)計(jì)減少了p+1個(gè)回歸系數(shù)，要獲得{p，2}混料設(shè)計(jì)的回歸方程，至少可以少做p+1次試驗(yàn)，即至少可以少p+1個(gè)觀測(cè)值。

第三，如上所述，與一般的回歸設(shè)計(jì)相比，混料設(shè)計(jì)可以減少試驗(yàn)的次數(shù)，使回歸方程的計(jì)算簡(jiǎn)捷，分析容易，也便于尋求最佳的混料條件。目前，混料設(shè)計(jì)的方法已有多種，除了前面提到的單純形格子設(shè)計(jì)外，尚有單純形重心設(shè)計(jì)、有下界約束的混料設(shè)計(jì)、軸設(shè)計(jì)、凸多面體設(shè)計(jì)、多項(xiàng)式—例數(shù)設(shè)計(jì)、Cox混料設(shè)計(jì)、混料均勻設(shè)計(jì)等。本書(shū)只介紹單純形格子設(shè)計(jì)和單純形重心設(shè)計(jì)兩種常用的設(shè)計(jì)方法。二、單純形格子設(shè)計(jì)與統(tǒng)計(jì)分析

（一）設(shè)計(jì)方法

單純形格子設(shè)計(jì)(simplexlatticedesign)又叫單純形點(diǎn)陣設(shè)計(jì)。它是混料設(shè)計(jì)中最先出現(xiàn)的、最基本的一種設(shè)計(jì)方法。其特點(diǎn)是，試驗(yàn)點(diǎn)可以取在正規(guī)單純形的格子點(diǎn)上，它可以保證試驗(yàn)點(diǎn)分布均勻，而且計(jì)算簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確。單純形格子設(shè)計(jì)的試驗(yàn)次數(shù)，正好等于所采用的d次完全式回歸方程中需要估計(jì)的回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)，所以它是飽和設(shè)計(jì)。

在｛p,d｝混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，各混料成分構(gòu)成了試驗(yàn)的p維因子空間。由于受到混料約束條件(4—68)的限制，因此各成分的變化范圍可用高是1的p維正單形表示。所謂正單形，就是頂點(diǎn)數(shù)與因子空間維數(shù)相等的正凸圖形，如3維空間的正三角形、4維空間的正四面體等。正單形的頂點(diǎn)代表單一成分組成的混料，棱上的點(diǎn)代表兩種成分組成的混料，面上的點(diǎn)代表多于兩種而少于p種成分組成的混料，而正單形內(nèi)的點(diǎn)則代表全部p種成分組成的混料。

對(duì)于｛p,d｝混料設(shè)計(jì)，其p維正單形的p個(gè)頂點(diǎn)可分別表示為D1(1,0,0,…,0)，D2(0,1,0,…,0)，…，Dp

(0,0,0,…,1)。假設(shè)M(x1,x2,…,xp)為正單形的內(nèi)點(diǎn)，定義x1為M點(diǎn)到D2D3…Dp面的距離，x2為M點(diǎn)到D1D3…Dp面的距離，…，xp為M點(diǎn)到面D1D2…Dp-1的距離。

顯然x1+x2+x3=1｛p,d｝混料設(shè)計(jì)就是在p維正單形上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)，從而估計(jì)試驗(yàn)指標(biāo)與各混料成分百分比之間的回歸方程。1、{p，1}單純形格子設(shè)計(jì)p維正單形在p-1維上就是所謂的單純形。如前所述，由3種成分構(gòu)成的3維正單形在2維（平面）上是一個(gè)正三角形；而由4種成分構(gòu)成的4維正單形在3維（立體空間）上是一個(gè)正四面體。但通常在混料設(shè)計(jì)中，并沒(méi)有嚴(yán)格區(qū)分正單形和單純形的概念。2、{p，2}單純形格子設(shè)計(jì)

這種設(shè)計(jì)除了選取p維正單形的頂點(diǎn)作為試驗(yàn)點(diǎn)外，還選取棱上的點(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)，其設(shè)計(jì)編碼如表4—57所示，共有Cp+12個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)。3、{p，3}單純形格子設(shè)計(jì)

該設(shè)計(jì)的試驗(yàn)點(diǎn)包括p維正單形的p個(gè)頂點(diǎn)，一個(gè)因子為1/3、另一因子為2/3、其余因子為0的p(p-1)個(gè)棱上點(diǎn)，以及三個(gè)因子為1/3、其余因子為0的Cp3個(gè)面上點(diǎn)，其設(shè)計(jì)編碼如表4—58所示，共有Cp+23個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)。單純形格子設(shè)計(jì)的兩個(gè)特點(diǎn)

第一，單純形格子設(shè)計(jì)的水平組合數(shù)恰好等于回歸方程中需要估計(jì)的回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)。試驗(yàn)點(diǎn)對(duì)稱地排列在正單形上，構(gòu)成正單形的一個(gè)格子，稱為｛p,d｝格子；例如，{3，2}單純形格子設(shè)計(jì)共有6個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，在正單形上的位置見(jiàn)圖4—7，其設(shè)計(jì)編碼見(jiàn)表4—59?！纠?·15】編制一個(gè){3，2}單純形格子設(shè)計(jì)的試驗(yàn)方案。

第一步，明確試驗(yàn)研究的目的，根據(jù)試驗(yàn)?zāi)康拇_定混料的各種成分（即試驗(yàn)因素）。本例中混料成分的個(gè)數(shù)p=3。第二步，按照專(zhuān)業(yè)知識(shí)的要求，根據(jù)各混料成分所占百分比的范圍，確定出試驗(yàn)研究范圍內(nèi)各成分百分比的最小值。用Z1、Z2、Z3表示混料中3種成分的百分比，用a1、a2、a3表示3種成分百分比的最小值。

第四步，確定各成分的實(shí)際百分比Zi與編碼值xi之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。其轉(zhuǎn)換公式為：將a1=0.2，a2=0.4，a3=0.2代入，可得Z1=0.2x1+0.2，Z2=0.2x2+0.4，Z3=0.2x3+0.2。第五步，根據(jù)上式計(jì)算各試驗(yàn)點(diǎn)各成分的實(shí)際百分比，形成{3，2}單純形格子設(shè)計(jì)的試驗(yàn)方案，見(jiàn)表4—59。（二）統(tǒng)計(jì)分析

單純形格子設(shè)計(jì)統(tǒng)計(jì)分析的主要內(nèi)容是由試驗(yàn)結(jié)果估計(jì)回歸方程中的回歸系數(shù)，從而得到混料的某種特性或綜合性能與混料成分百分比的關(guān)系。

在單純形格子設(shè)計(jì)中，回歸方程的回歸系數(shù)都可以表示成相應(yīng)格子點(diǎn)的響應(yīng)值(responsevalue)的簡(jiǎn)單線性組合。每一個(gè)回歸系數(shù)的值只取決于按一定規(guī)律對(duì)應(yīng)的一些格子點(diǎn)上的響應(yīng)值，而與其他格子點(diǎn)上的響應(yīng)值無(wú)關(guān)。比如，一次項(xiàng)的回歸系數(shù)只由表示單一成分的正單形頂點(diǎn)的響應(yīng)值決定，二次項(xiàng)的回歸系數(shù)只受表示兩種成分的正單形棱上點(diǎn)的響應(yīng)值影響。所以，單純形格子設(shè)計(jì)回歸系數(shù)的計(jì)算非常簡(jiǎn)單。單純形格子設(shè)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果的符號(hào)表示

yi表示xi的編碼值為1，其余成分的編碼值為0的試驗(yàn)點(diǎn)的試驗(yàn)結(jié)果，i=1，2，…，p；

yij表示xi、xj的編碼值為1/2，其余成分的編碼值為0的試驗(yàn)點(diǎn)的試驗(yàn)結(jié)果，i，j=1，2，…，p；i≠j；

yiij表示xi的編碼值為2/3，xj的編碼值為1/3，其余成分的編碼值為0的試驗(yàn)點(diǎn)的試驗(yàn)結(jié)果，i，j=1，2，…，p；i≠j；

yijj表示xi的編碼值為1/3，xj的編碼值為2/3，其余成分的編碼值為0的試驗(yàn)點(diǎn)的試驗(yàn)結(jié)果，i，j=1，2，…，p；i≠j；xijk表示xi、xj和xk的編碼值為1/3，其余成分的編碼值為0的試驗(yàn)點(diǎn)的試驗(yàn)結(jié)果，i，j，k=1，2，…，p；i≠j，k；j≠k；……1、{p，1}單純形格子設(shè)計(jì)回歸系數(shù)的計(jì)算

在{p，1}單純形格子設(shè)計(jì)中，每一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)只有一個(gè)成分的編碼值為1，其余都為0。將第i號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)各成分編碼值及其相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果值代入回歸方程(4—73)，即可得到回歸系數(shù)2、{p，2}單純形格子設(shè)計(jì)回歸系數(shù)的計(jì)算

在{p，2}單純形格子設(shè)計(jì)中，1—p號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)與{p，1}設(shè)計(jì)完全相同，所以將第i號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)各成分編碼值及其相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果值代入回歸方程(4—74)，即可得到回歸系數(shù)

p+1—Cp+12號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)，其成分編碼值只有xi、xj為1/2，其余都為0。將每一號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)各成分編碼值及其相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果值代入回歸方程(4—74)，得到將(4—81)式代入上式，即可得到回歸系數(shù)3、{p，3}單純形格子設(shè)計(jì)回歸系數(shù)的計(jì)算在{p，3}單純形格子設(shè)計(jì)中，1—p號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)與{p，1}設(shè)計(jì)完全相同，所以將第i號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)各成分編碼值及其相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果值代入回歸方程(4—76)，即可得到回歸系數(shù)

p+1—p2

號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)分兩種情況，一是xi的編碼值為2/3，xj的編碼值為1/3，其余為0的試驗(yàn)點(diǎn)，將這些試驗(yàn)點(diǎn)各成分編碼值及其相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果值yiij代入回歸方程(4—76)，得到二是xi的編碼值為1/3，xj的編碼值為2/3，其余為0的試驗(yàn)點(diǎn)，將這些試驗(yàn)點(diǎn)各成分編碼值及其相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果值yijj代入回歸方程(4—76)，得到將(4—84)式和(4—85)式相加，整理后再將(4—83)式代入，從而得到將(4—84)式和(4—85)式相減，整理后再將(4—83)式代入，從而得到

p2+1—C3p+2號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)，其成分編碼值只有xi、xj、xk為1/3，其余都為0。將每一號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)各成分編碼值及其相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果值yijk代入回歸方程(4—76)，得到將(4—83)式和(4—86)式代入(4—88)式，從而得到【例4·16】按照【例4·15】編制的試驗(yàn)方案進(jìn)行試驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)表4—59的最后一列。進(jìn)行分析。

根據(jù)(4—81)式，得b1=y1=14.6，b2=y2=14.9，b3=y3=10.8。根據(jù)(4—82)式，得：

b12=4y12-2(y1+y2)=4×14.8-2×(14.6+14.9)=0.2b13=4y13-2(y1+y3)=4×13.8-2×(14.6+10.8)=4.4b23=4y23-2(y2+y3)=4×13.0-2×(14.9+10.8)=0.6于是得到用各成分編碼因素表示的回歸方程：

在實(shí)際工作中，通常需要用各混料成分的實(shí)際因素表示回歸方程。為此，由(4—79)式得：將a1=0.2，a2=0.4，a3=0.2代入上式，得：將其代入上述回歸方程，并加以整理，得到需要注意的是，單純形格子設(shè)計(jì)回歸方程中回歸系數(shù)的估計(jì)只能先用設(shè)計(jì)編碼因素進(jìn)行估計(jì)，得到用編碼因素表示的回歸方程，然后再轉(zhuǎn)化成用實(shí)際因素表示的回歸方程；而不能直接將實(shí)際因素和試驗(yàn)結(jié)果代入回歸模型估計(jì)回歸系數(shù)。

從表4—57—表4—59可以看出，在｛p,d｝單純形格子設(shè)計(jì)的混料試驗(yàn)中，絕大多數(shù)試驗(yàn)點(diǎn)混料的成分中都有一個(gè)或幾個(gè)成分為零。但在實(shí)際工作中，不等于零的成分是大多數(shù)，而且一般情況下也不容許大多數(shù)成分為零，否則就失去了進(jìn)行混料試驗(yàn)的意義。因此，【例4·15】和【例4·16】實(shí)質(zhì)上屬于有下界約束的混料設(shè)計(jì)，各混料成分的取值有最小值的限制。這就避免了混料中部分成分為零的問(wèn)題。（三）控制點(diǎn)檢驗(yàn)

通過(guò)混料試驗(yàn)的結(jié)果分析，可以得到相應(yīng)的回歸方程。該回歸方程是否能夠描述所研究的整個(gè)混料系統(tǒng)，尚需進(jìn)行檢驗(yàn)。由于混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)不具有正交性，回歸方程的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)比較復(fù)雜，因而在混料試驗(yàn)的結(jié)果分析中常采用控制點(diǎn)檢驗(yàn)(referencepointtest)。所謂控制點(diǎn)檢驗(yàn)，就是在正單形內(nèi)選擇少量的試驗(yàn)點(diǎn)（稱為控制點(diǎn)）進(jìn)行驗(yàn)證性試驗(yàn)，用這些試驗(yàn)結(jié)果來(lái)對(duì)回歸方程的適合程度進(jìn)行檢驗(yàn)，推斷回歸方程是否可以使用。如果驗(yàn)證性試驗(yàn)結(jié)果與回歸方程預(yù)測(cè)結(jié)果差異不大，說(shuō)明所得的回歸方程是適合的，可以交付使用。否則，就要修改模型，補(bǔ)做一些試驗(yàn)，用更高次的回歸模型去描述混料系統(tǒng)?？刂泣c(diǎn)選擇的原則是，數(shù)量要盡可能少，而且各點(diǎn)在正單形內(nèi)應(yīng)盡量分布均勻，具有較強(qiáng)的代表性。

假設(shè)選擇m個(gè)控制點(diǎn)，各控制點(diǎn)試驗(yàn)結(jié)果的指標(biāo)值為yi(i=1，2，…，m)，由回歸方程預(yù)測(cè)各控制點(diǎn)的指標(biāo)值為(i=1，2，…，m)。檢驗(yàn)回歸方程的適合程度可以使用以下兩種方法之一。1、允許誤差比較法

當(dāng)可以根據(jù)專(zhuān)業(yè)知識(shí)確定一個(gè)允許誤差δ時(shí)，使用允許誤差比較法。若所有控制點(diǎn)試驗(yàn)指標(biāo)值yi與預(yù)測(cè)指標(biāo)值之差的絕對(duì)值都滿足(4—91)則認(rèn)為回歸方程是適合的，能夠較好地描述混料系統(tǒng)。如果有一個(gè)或多個(gè)△yi>δ，就認(rèn)為回歸方程不適合，不能用來(lái)描述混料系統(tǒng)，因而不能交付使用。2、方差比較法當(dāng)可以根據(jù)專(zhuān)業(yè)知識(shí)確定試驗(yàn)的誤差方差σ2時(shí)，使用方差比較法。若試驗(yàn)誤差方差的估計(jì)值(4—92)則認(rèn)為回歸方程是適合的，可以交付使用。否則，回歸方程是不適合的，不能交付使用。三、單純形重心設(shè)計(jì)與統(tǒng)計(jì)分析

在｛p,d｝單純形格子設(shè)計(jì)中，試驗(yàn)點(diǎn)各成分的編碼值與回歸方程的次數(shù)d有關(guān)，為1/d的整數(shù)倍。當(dāng)d≥3時(shí)，在某些混料設(shè)計(jì)中部分試驗(yàn)點(diǎn)的非零成分的取值不相等，這些不相等的成分對(duì)試驗(yàn)結(jié)果所起的作用不同，也直接對(duì)回歸方程的估計(jì)產(chǎn)生不同程度的影響。為了改進(jìn)這一缺陷，Scheffe提出了單純形重心設(shè)計(jì)(simplexbarycenterdesign)。（一）設(shè)計(jì)方法

在p維正單形中，單個(gè)頂點(diǎn)的重心就是頂點(diǎn)本身，稱為單頂點(diǎn)重心。連接任意兩個(gè)頂點(diǎn)形成一條棱邊，棱邊的中點(diǎn)為其重心，稱為兩頂點(diǎn)重心；任意三個(gè)頂點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，該正三角形的中心為其重心，稱為三頂點(diǎn)重心。依此類(lèi)推，p頂點(diǎn)重心就是該正單形的重心。因此，在p維正單形中，i頂點(diǎn)重心共有Cpi個(gè)。所謂單純形重心設(shè)計(jì)，就是在p維正單形中只選取i(i=1，2，…，p)頂點(diǎn)重心作為試驗(yàn)點(diǎn)的混料試驗(yàn)設(shè)計(jì)。對(duì)于單純形重心設(shè)計(jì)，其試驗(yàn)次數(shù)為試驗(yàn)點(diǎn)的組成如下：以(1，0，0，…，0)為代表的Cp1個(gè)單頂點(diǎn)重心；以(1/2，1/2，0，0，…，0)為代表的Cp2個(gè)兩頂點(diǎn)重心；以(1/3，1/3，1/3，0，0，…，0)為代表的Cp3個(gè)三頂點(diǎn)重心；……以(1/d，1/d，…，1/d，0，0，…，0)為代表的Cpd個(gè)d頂點(diǎn)重心。

表4-60—表4-63列出了{(lán)2，2}、{3，3}、{4，4}和{5，5}單純形重心設(shè)計(jì)編碼表。對(duì)于｛p,d｝單純形重心設(shè)計(jì)的編碼表，可在｛p,p｝單純形重心設(shè)計(jì)編碼表中取前M()號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)構(gòu)成。

單純形重心設(shè)計(jì)的回歸方程為：(4—93)其需要估計(jì)的回歸系數(shù)共有個(gè)，與試驗(yàn)次數(shù)M相等。因此，單純形重心設(shè)計(jì)也是飽和設(shè)計(jì)。這是該設(shè)計(jì)的一個(gè)顯著特點(diǎn)。單純形重心設(shè)計(jì)的第二個(gè)顯著特點(diǎn)是，所有試驗(yàn)點(diǎn)的成分與回歸方程的次數(shù)d無(wú)關(guān)，并且每一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)中非零成分的取值相等，這就消除了由于非零成分取值不等而對(duì)回歸系數(shù)的估計(jì)產(chǎn)生的不同影響。（二）統(tǒng)計(jì)分析

與單純形格子設(shè)計(jì)一樣，單純形重心設(shè)計(jì)回歸方程中回歸系數(shù)的計(jì)算也很簡(jiǎn)便。將以(1，0，0，…，0)為代表的Cp1個(gè)單頂點(diǎn)重心試驗(yàn)點(diǎn)各成分編碼值及其相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果值代入回歸方程(4—93)，即可得到單一成分的回歸系數(shù)

將以(1/2，1/2，0，0，…，0)為代表的Cp2個(gè)兩頂點(diǎn)重心試驗(yàn)點(diǎn)各成分編碼值及其相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果值yij以及(4—94)式代入回歸方程(4—93)，即可得到兩個(gè)成分的回歸系數(shù)

將以(1/3，1/3，1/3，0，0，…，0)為代表的Cp3個(gè)三頂點(diǎn)重心試驗(yàn)點(diǎn)各成分編碼值及其相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果值以及(4—94)式、(4—95)式代入回歸方程(4—93)，即可得到三個(gè)成分的回歸系數(shù)將以(1/d，1/d，…，1/d，0，0，…，0)為代表的Cpd個(gè)d頂點(diǎn)重心試驗(yàn)點(diǎn)各成分編碼值及其相應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果值yi1i2…id以及前面計(jì)算出的所有回歸系數(shù)代入回歸方程(4—93)，即可得到d個(gè)成分的回歸系數(shù)(4—97)對(duì)于｛p,d｝單純形重心設(shè)計(jì)，其回歸方程(4—93)中各回歸系數(shù)的計(jì)算公式可歸納為q=1，2，…，d

sq為p個(gè)成分中取q個(gè)的所有集合yt(sq)為集合sq中取t個(gè)的所有組合（共Cqt個(gè)）的試驗(yàn)結(jié)果指標(biāo)值的總和

例如，對(duì)于{4，3}單純形重心設(shè)計(jì)，其回歸方程為此時(shí)，q=1，2，3。假設(shè)q=2，則集合sq為{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}和{3，4}。當(dāng)sq為{2，3}，t=1時(shí)，yt(sq)為y2+y3；t=2時(shí)，yt(sq)為y23。所以回歸方程(4—99)的回歸系數(shù)計(jì)算如下：當(dāng)q=1時(shí)，bi=1×[(-1)1-1×11-1×yi]=yi(i=1,2,3,4)當(dāng)q=2時(shí)，

bij=2×[(-1)2-1×12-1×(yi+yj)+(-1)2-2×22-1×yij]=4yij-2(yi+yj)(i,j=1,2,3,4;i<j)當(dāng)q=3時(shí)，

bijk=3×[(-1)3-1×13-1×(yi+yj+yk)+(-1)3-2×23-1×(yij+yik+yjk)+(-1)3-3×33-1×yijk]=3(yi+yj+yk)-12(yij+yik+yjk)+27yijk(i，j，k=

1，2，3，4；i<j<k)【例4·17】

在某配合飼料生產(chǎn)中，有Z1、Z2、Z3、Z4四種預(yù)混料，假定它們的用量最小值分別為a1=0.30，a2=0.16，a3=0.04，a4=0.20。試安排{4，3}單純形重心設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案。

在{4，4}單純形重心設(shè)計(jì)編碼表（表4-62）中，選擇前C41+C42+C43=14號(hào)試驗(yàn)點(diǎn)構(gòu)成{4，3}單純形重心設(shè)計(jì)的試驗(yàn)點(diǎn)，其設(shè)計(jì)編碼見(jiàn)表4-64。由(4—79)式可得各成分實(shí)際因素與編碼因素之間的關(guān)系為：Z1=0.3x1＋0.30Z2=0.3x2＋0.16Z3=0.3x3＋0.04Z4=0.3x4＋0.20將各試驗(yàn)點(diǎn)編碼值代入上式求得實(shí)際值，將編碼值換為實(shí)際值即得到試驗(yàn)方案，見(jiàn)表4—64。【例4·18】按照【例4·17】編制的試驗(yàn)方案進(jìn)行試驗(yàn)，結(jié)果見(jiàn)表4-64的最后一列。試進(jìn)行分析。

由(4—94)式可得單一成分的回歸系數(shù)，如