隨機數學第9講更新過程教師:陳萍prob123@1則稱{N(t),t0}為更新過程。2.4.1更新過程的定義

顯然,更新過程是一個計數過程.在更新過程中,我們將事件發(fā)生一次叫作一次更新,從而定義中Tn就是第n-1次和第n次更新相距的時間,τn是第n次更新發(fā)生的時刻.N(t)就是t時刻之前發(fā)生的總的更新次數.定義2.4.1設為獨立同分布的非負隨機變量序列，分布函數為F(x),且F(0)<1。令τ0=0，記2更新過程的基本結論：

過程的統(tǒng)計特性可由序列的共同分布完全刻畫；N(t)是關于t的單調遞增階梯函數，對于固定的t，N(t)為取非負整數值的隨機變量；的分布函數為

,即在有限時間內不可能進行無窮次更新.N(t)的概率分布為3例2.4.1設更新過程的更新間距服從參數為m,λ的Gamma分布，即的概率密度函數為

求解備查：1）的特征函數為分布函數為：4令,稱為過程{N(t),t0}的更新函數。定理2.4.1

對,若F(t)<1,則有2.4.2更新函數

定理2.4.2更新過程{N(t),t0}可由其更新函數M(t)唯一確定.……證…證引理更新函數是自變量的單調遞增，有界且右連續(xù)函數.…證略

5例2.4.2設更新過程{N(t),t0}具有更新函數,求更新間距T的分布.解:設T的概率密度為f(t),則故更新間距T服從指數分布,{N(t),t0}為Poison過程.--[4]拉氏變換簡表62.4.3更新過程的極限性質定理2.4.3推論定理2.4.4設{N(t),t0}為更新過程，{Tn,n1}共同的分布函數為F(x)，Tn的期望為μ，方差為2，則yR，證明參見”S.M.Ross，隨機過程，中國統(tǒng)計出版社”,定理某收音機使用一節(jié)電池供電，當電池失效時，立即換一節(jié)同型號的新電池.如果電池的壽命為均勻分布在30小時到60小時內的隨機變量，問長時間工作情況下該收音機更換電池的速率為多少？解設N(t)表示在t時間內失效的電池數,則由推論,在長時間工作情況下，電池的更新速率為

而

故電池的更新速率為1/45.EX8(2.4.1)2.4.4更新方程定義2.4.2設已知函數a(t)及分布函數F(t),若未知函數A(t),滿足如下積分方程:則稱(2.4.1)式為更新方程.定理2.4.5

,

更新函數M(t)滿足下列更新方程(2.4.2)定理2.4.6若未知函數A(t)滿足更新方程(2.4.1)，則其解為9例2.4.3設{N(t),t0}為更新過程,其更新間距T的分布函數為F(t),記表示t時刻的剩余壽命，對任意固定z>0，令,求證滿足更新方程:EX設試用定理2.4.6解出.答案:10定理2.4.7（關鍵更新定理）設F(x)是均值為的非負隨機變量的分布函數,F(0)<1，a(t)是Riemann直接可積的,則更新方程(1)若F是非格點的，則(2)若F是周期為d的格點的,c>0，有的解A(t)滿足:11例2.4.3(續(xù))剩余壽命的極限分布記表示t時刻的剩余壽命，對任意固定z>0，令,求提示：設X是非負隨機變量，分布函數為F(x),如果期望E(X)存在，則12更新過程的推廣

(1)更新報酬過程

定義2.4.6設更新過程{N(t),t0}的時間間隔為隨機變量序列{Xn,n1}.其分布為F，Rn(可以依賴于Xn)表示第n次更新時可得到的報酬，且{Rn,n1}獨立同分布，再設{(Xn,Rn),n1}獨立同分布，令，則R(t)表示在(0,T]中的總報酬，稱{R(t),t0}為更新報酬過程。13交錯更新過程考慮只有兩個狀態(tài)的系統(tǒng)：開(1)或關(0)，系統(tǒng)在t=0時是開的且持續(xù)開的時間為Z1;接著關閉且持續(xù)時間為Y1；之后又開著持續(xù)時間為Z2，又關閉時間為Y2，如此開關交替重復下去。設{(Zn,Yn),n1}為獨立同分布的隨機變量序列,記

則{N(t),t0}為更新過程。記稱為交錯更新過程.14終止更新過程就是不會進行無限次更新的更新過程，它與上面討論的更新過程的區(qū)別在于：事件發(fā)生的相鄰間隔長度為無窮的概率大于0。終止更新過程定義設獨立同分布F(t),F(0-)=0，F(∞)=p<1,則稱F相應的記數過程{N(t),t0}為終止更新過程。記N為時間[0,∞)內發(fā)生的更新次數，則