二、方差分析模型一、方差分析的基本原理三、方差分析的步驟第七章方差分析四、方差分析的實例五、均數(shù)的多重比較六、復(fù)因子方差分析七、方差分析的條件及數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換一、方差分析的功用以前學(xué)習(xí)了一、二個樣本的u檢驗、t檢驗，唯獨沒有提到對可量資料多個總體平均數(shù)的檢驗。本章中就討論對可量資料多個總體平均數(shù)的檢驗方法，那就是方差分析(AnalysisofVariance，或簡稱ANOVA)

方差分析的功用是對多個總體平均數(shù)的差異顯著性進行檢驗的方法。它是一個強有力的統(tǒng)計分析

工具。例：5個處理的試驗，方差分析需要1次分析，t檢驗需要10次分析。第一節(jié)方差分析的基本原理t檢驗與方差分析的區(qū)別（假定以5個處理，10次重復(fù)為例，α=0.05）比較內(nèi)容t檢驗方差分析資料的利用率低：每次僅用兩組高：每次要用全部數(shù)據(jù)對原實驗設(shè)計的影響殘：割裂整體設(shè)計全：全盤考慮實驗設(shè)計犯錯誤概率(至少有一個被誤判的機率)大：1-(1-0.05)10

=0.401?。?.05結(jié)論的可靠性低：統(tǒng)計量的自由度?。╠f=18）高：統(tǒng)計量的自由度大（df=45）第一節(jié)方差分析的基本原理二、方差分析的種類：1、單因子試驗的方差分析（1）單方面分類的方差分析----完全隨機排列、成組法等（2）雙方面分類的方差分析----隨機區(qū)組設(shè)計、配對法等（3）三方面分類的方差分析----拉丁方設(shè)計2、復(fù)因子試驗的方差分析（1）無交互作用的方差分析（2）有交互作用的方差分析第一節(jié)方差分析的基本原理三、方差分析的思路第一節(jié)方差分析的基本原理（1）方差分析的基本思路是將試驗數(shù)據(jù)的總變異分解為已知的若干由可控因素引起的變異和由誤 差引起的變異；（2）再將要考察的可控因素引起的變異與誤差引起的變異比較；（3）如果可控因素引起的變異顯著地大于誤差引起

的變異，便可判定該因素對試驗指標有顯著的

效應(yīng)。四、方差的分解第一節(jié)方差分析的基本原理

假設(shè)：某一影響因子A有a（a≥3）個水平的處理，在每一水平上有m個重復(fù)觀測值，則該資料共有am個觀測值，試分析因子A的各個水平之間有無顯著差異。1、方差分析的基本符號A因素

觀測值

均值

12...a

...1、方差分析的基本符號

=++…+

總和：矯正數(shù)：2、總平方和的分解

總變異平方和:總平均值:

2、總平方和的分解可證中間項:2、總平方和的分解總平方和分解為組間平方和和誤差平方和。誤差平方和:組間平方和:總平方和、組間平方和、誤差平方和的計算2、總平方和的分解3、總自由度的分解各種自由度的計算：（1）總自由度dfT=am-1（2）組間自由度dfA=a-1（3）組內(nèi)自由度dfe=a(m-1)4、各種方差、F值的計算：各種方差的計算：（1）組間方差：（2）組內(nèi)方差：F檢驗及其實質(zhì)：

本質(zhì)差異＝

—————試驗誤差第二節(jié)單方面分類的方差分析整地深度苗高生長觀測值Xij15202530687673647170747680828179859089909510410199分析造成苗木生長差異的原因？1、整地深度不同2、每株的環(huán)境不一樣例：整地深度（A,cm）對比試驗，試分析不同的

整地深度對苗木的高生長有否顯著的影響？第二節(jié)單方面分類的方差分析單方面分類的方差分析：SS總=SS組間+SS誤差

即SST=SSA+SSe所謂類間即品種間或處理間等等。第二節(jié)雙方面分類的方差分析CKABBCCKCCKAABC區(qū)組Ⅰ區(qū)組Ⅱ區(qū)組Ⅲ隨機區(qū)組設(shè)計，三次重復(fù)，四種施肥（含對照）試驗，測量大豆的產(chǎn)量。瘦肥第二節(jié)雙方面分類的方差分析分析造成大豆產(chǎn)量差異的原因？1、肥料間（類間）2、區(qū)組間3、機誤第二節(jié)雙方面分類的方差分析雙方面分類的方差分析：SS總=SS區(qū)組間+SS類間+SS誤差

即SST=SSB+SSA+SSe所謂類間即類間或處理間等等。第二節(jié)三方面分類的方差分析EACBEDBAEDCCEDBACAEDACBDB5*5拉丁方設(shè)計第二節(jié)三方面分類的方差分析分析造成差異的原因？1、橫行間2、直行間3、處理間（類間）4、機誤第二節(jié)三方面分類的方差分析三方面分類的方差分析：SS總=SS橫行間+SS直行間+

SS類間+SS誤差

即SST=SSA+SSB+SSt+SSe所謂類間即品種間或處理間等等。分為四個步驟：第一步：對所研究的總體參數(shù)提出假設(shè)第二步：計算矯正數(shù)及各種平方和第三步：列方差分析表并進行F檢驗第四步：若F檢驗達顯著，則進行多重比較第三節(jié)方差分析的步驟：第三節(jié)方差分析的步驟：第一步：作檢驗的假設(shè)

原假設(shè)HO：1＝2＝…＝

a

備擇假設(shè)HA：并非所有

i都相等第三節(jié)方差分析的步驟：（4）誤差平方和=總平方和-組間平方和（3）組間平方和=（各組之和平方后相加/重復(fù)數(shù)）

-矯正數(shù)（1）矯正數(shù)=總和平方/觀測值的個數(shù)（2）總平方和=平方總和-矯正數(shù)第二步：計算矯正數(shù)及各種平方和第三節(jié)方差分析的步驟：第三步：作方差分析表并作F檢驗：變異來源自由度平方和方差

FF0.05F0.01顯著性組間誤差a-1a(m-1)*總和am-1第四步：F檢驗結(jié)論：

第四節(jié)方差分析實例整地深度苗高生長觀測值Xij152025306876736471707476808281798590899095104101993523824244892486629276360484794370.476.484.897.81239041459241797762391211647138133688725在分析前計算各處理的和、平方和、平均數(shù)、和平方第四節(jié)方差分析實例第二步：計算矯正數(shù)及各種平方和（1）矯正數(shù)=總和平方/觀測值的個數(shù)

=16472/4x5

=135630.45

第一步：作檢驗的假設(shè)HO:A=B=C=D 即各種整地深度對苗木的生長影響是一樣的。HA:并非所有

i都相等第四節(jié)方差分析實例（2）總平方和=平方總和-矯正數(shù)=138133-135630.45=2502.55（3）組間平方和=(各組之和平方后相加/重復(fù)數(shù))

-矯正數(shù)=(688725/5)-135630.45=2114.55（4）誤差平方和=總平方和-組間平方和 =2502.55-2114.55 =388.00第四節(jié)方差分析實例第三步：作方差分析表并作F檢驗：變異源自由度平方和方差FF0.05F0.01顯著性因素誤差3162114.55388.00704.8524.2529.063.245.29**總和192502.55F檢驗結(jié)論：整地的不同深度對苗木生長有極

顯著影響多重比較常用的三種方法：第五節(jié)平均數(shù)間的多重比較1、最小顯著差數(shù)法（LSD法或

t

檢驗法）3、Tukey法（HSD法或稱圖基q檢驗）2、新復(fù)極差法（SSR法或稱鄧肯q檢驗）方差分析顯著時，需要對各處理的平均值進行多重比較第五節(jié)多重比較在上例的均值比較中，各自的

t

用各自的來計算：1、最小顯著差數(shù)法（LSD法）m

為重復(fù)數(shù)，S2e為誤差項的方差df=誤差自由度表7.5多重比較梯形表（LSD法）處理名稱平均數(shù)與15比與20比與25比3097.827.4**21.2**13.0**2584.814.4**8.4*2076.46.01570.4表7.5多重比較梯形表（LSD法）處理名稱平均數(shù)與15比與20比與25比3097.827.4**21.2**13.0**2584.814.4**8.4*2076.46.01570.4結(jié)論：整地深度為30CM的苗木高生長極顯著的高于其他深度；整地深度為25CM的苗木高生長極顯著的高于15CM的和顯著的高于20CM的；整地深度為20CM和15CM的苗木高生長無顯著差異。應(yīng)推廣整地深度為30CM。表7.5多重比較梯形表（LSD法）處理名稱平均數(shù)與15比與20比與25比3097.827.4**21.2**13.0**2584.814.4**8.4*2076.46.01570.4標記字母法標記字母法處理平均數(shù)差異顯著性

=0.05

=0.013097.8aA2584.8bB2076.4cBC1570.4cC表7.5例7.1的多重比較梯形表（LSD法）處理名稱平均數(shù)與15比與20比與25比3097.827.4**21.2**13.0**2584.814.4**8.4*2076.46.01570.4劃線法＝0.05時

97.8(30)84.8(25)76.4(20)70.4(15)--------------------------------------------------------

第五節(jié)多重比較2、新復(fù)極差法（SSR法或稱鄧肯q檢驗）(1)計算抽樣誤差：(2)計算比較標準：2、新復(fù)極差法（SSR法或稱鄧肯q檢驗）(2)計算比較標準：處理數(shù)2343.004.133.154.343.234.452、新復(fù)極差法（SSR法或稱鄧肯q檢驗）(2)計算比較標準：處理數(shù)2343.004.133.154.343.234.452、新復(fù)極差法（SSR法或稱鄧肯q檢驗）(2)計算比較標準：處理數(shù)2343.004.133.154.343.234.45例1的多重比較梯形表（SSR法）處理名稱平均數(shù)與15比與20比與25比3097.827.4**21.2**13.0**2584.814.4**8.4*2076.46.01570.4結(jié)論：1、整地深度為30CM的苗木高生長極顯著的優(yōu)于

其他深度；

2、整地深度為25CM的苗木高生長極顯著的優(yōu)于

15CM的，顯著的高于20CM；

3、其余整地深度間的苗木高生長無顯著差異。

應(yīng)推廣整地深度為30CM。第五節(jié)多重比較3、Tukey法（HSD法或稱圖基q檢驗）(1)計算抽樣誤差：(2)計算比較標準：第五節(jié)多重比較3、Tukey法（HSD法或稱圖基q檢驗）(1)計算抽樣誤差：(2)計算比較標準：表7.5例7.1的多重比較梯形表（HSD法）處理名稱平均數(shù)與15比與20比與25比3097.827.4**21.2**13.0**2584.814.4**8.42076.46.01570.4

例1的多重比較梯形表（HSD法）處理名稱平均數(shù)與15比與20比與25比3097.827.4**21.2**13.0**2584.814.4**8.42076.46.01570.4結(jié)論：1、整地深度為30CM的苗木高生長極顯著的優(yōu)于

其他深度；

2、整地深度為25CM的苗木高生長極顯著的優(yōu)于

15CM的；

3、其余整地深度間的苗木高生長無顯著差異。

應(yīng)推廣整地深度為30CM。

事實上，對于一個具體的試驗資料，選用那種方法進行多重比較，是完全根據(jù)試驗的目的而定的。

一般地說:設(shè)計比較簡單，不夠周密的初級試驗，作多重比較

時，可采用LSD法；設(shè)計比較周密的高級試驗，作多重比較時，可采用

TUKEY的

HSD檢驗法；

一般的試驗，作多重比較時，常采用Duncan的

SSR檢驗法第五節(jié)三種方法比較復(fù)因子試驗方差分析是指對試驗指標同時受到兩個及兩個以上的試驗因素作用的試驗資料的方差分析。交互作用：在復(fù)因子試驗中，一個因素的作用可能受到另一個因素的影響，表現(xiàn)為某一因素在另一因素的不同水平上所產(chǎn)生的效應(yīng)不同，這種現(xiàn)象稱為該兩因素存在交互作用。第六節(jié)復(fù)因子方差分析

無交互作用正交互作用負交互作用A1A2A1A2A1A2B2B1B2B1B1B2注意：生產(chǎn)實際中，如明確因子間不存在交互作用，則可以只考慮各個因子的主效應(yīng)。存在交互作用時，高級交互作用很難解釋，一般結(jié)合專業(yè)知識主要考慮兩個因子的交互作用。第六節(jié)復(fù)因子方差分析

正交互作用A1A2B2B1例：測試含兩種添加劑（A賴氨酸，B蛋氨酸，各二水平）的飼料對雛雞的育肥（增重）效果，試分析兩種氨基酸之間的交互作用。A1A2A2-A1B147048212B248051232B2-B11030470480510第六節(jié)復(fù)因子方差分析

要點：設(shè)置重復(fù)進行復(fù)因子試驗一般應(yīng)設(shè)置重復(fù)，以便正確估計試驗誤差，深入研究因素間的交互作用。復(fù)因子試驗的每一水平組合沒有重復(fù)時，每一水平組合只有一個觀測值，方差分析時把交互作用的變異做為隨機誤差引起的變異。其不足之處有二：其一、是無法估計真正的試驗誤差，不能對交互作用進行研究。其二、是如果交互作用比較大時，有可能掩蓋試驗因素的顯著性。第六節(jié)復(fù)因子方差分析

兩因子試驗：假定參試因子為A及B，A分為a個水平。B分為b個水平，若設(shè)r個區(qū)組，則全試驗共有abr個小區(qū)。數(shù)學(xué)模型為:（i＝1，2，…，a；j＝1，2，…，b；k＝1，2，…，r）其中μ為總平均值值，γk為第k區(qū)組的效應(yīng)值，αi為第i個A水平的效應(yīng)值，βj為第j個B水平的效應(yīng)值，(αβ)ij為Ai與Bj之間的交互作用,εijk為隨機誤差。第六節(jié)復(fù)因子方差分析

方差分析表變異來源自由度平方和均方F值

F0.05F0.01區(qū)組間dfr

=r-1SSrMSrFrA間dfA

=a-1SSA

MSA

FA

B間dfB

=b-1SSB

MSB

FB

AB互作dfAB

=(a-1)(b-1)SSAB

MSAB

FAB

誤差dfe

=(r－1)(ab－1)SSe

MSe

總變異dfT=abr-1SST

第六節(jié)復(fù)因子方差分析

例１考察三種生長素Ai(i＝1,2,3)和兩種葡萄糖濃度Bj(j＝1,2)所配成的6種培養(yǎng)基對香草蘭胚狀體發(fā)育的影響。將接種好的培養(yǎng)皿放置在四個培養(yǎng)箱(k＝Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ)中，按隨機區(qū)組排列，每培養(yǎng)箱為一個區(qū)組。如果除區(qū)組效應(yīng)不需考察交互作用，其余效應(yīng)可能存在交互作用效應(yīng)，試對資料進行適當(dāng)?shù)姆治?。所得?shù)據(jù)如下表所示：第六節(jié)復(fù)因子方差分析

所得數(shù)據(jù)如下表所示：生長素(A)糖濃度(B)區(qū)組(培養(yǎng)箱k)ⅠⅡⅢⅣA1B18969B25685A2B14332B24538A3B15968B23256第六節(jié)復(fù)因子方差分析

平方和的分解：矯正項C.T.=觀察值總和的平方／觀察值總數(shù)目＝1322／24＝726總平方和SST=各觀察值平方之和－C.T.＝844－726＝118區(qū)組間平方和SSr

＝各區(qū)組和的平方之和／每區(qū)組的觀察值數(shù)目－C.T.＝4402／6－726＝7.6667 A因素平方和=各A水平和的平方之和／每A水平的觀察值數(shù)－C.T.＝6096／8–726＝36B因素平方和＝各B水平和的平方之和／每B水平的觀察值數(shù)－C.T.＝8784／12–726＝6AB交互作用平方和=70–36–6=28誤差平方和SSe＝總平方和－區(qū)組平方和－處理平方和＝118－7.6667－70＝40.3333第六節(jié)復(fù)因子方差分析

自由度的分解：總自由度dfT=abr-1

=3×2×4-1

=24-1

=23區(qū)組間自由度dfr=r-1=4-1

=3A因素自由度dfA=a-1=3-1=2B因素自由度dfB=b-1=2-1=1AB交互作用自由度dfAB=dfA×dfB=2×1=2誤差自由度dfe=dfT-dfr-dfA-dfB-dfAB=23-3-2-1-2=15

第六節(jié)復(fù)因子方差分析

所得方差分析表：變異來源

自由度

平方和

均方

FF0.05

F0.01

區(qū)組間37.66672.55560.95043.295.42A間

236.000018.00006.6942**3.686.36B間

16.00006.00002.23144.548.68AB互作

228.000014.00005.2066*3.686.36誤差1540.33332.6889

總變異23118.0000

表明：A的三個水平（即三種生長素）之間極顯著差異，需要對它們進行多重比較。AB之間具有顯著的交互作用，可以通過對處理組合間的多重比較來分析它們的關(guān)系。

第六節(jié)復(fù)因子方差分析

對A因素進行比較的判斷臨界值

GSSR0.05

SSR0.01

LSR0.05

LSR0.01

23.014.171.74512.417633.164.371.83202.5335生長素編號平均數(shù)與A2比與A3比A1

7.03.0**1.5A3

5.51.5

A2

4.0

對A因素的多重比較結(jié)果

第六節(jié)復(fù)因子方差分析

對處理組合進行比較的判斷臨界值

GSSR0.05

SSR0.01

LSR0.05

LSR0.01

23.014.172.473.4233.164.372.593.5843.254.502.663.6953.314.582.713.7663.364.642.753.80對處理組合進行比較的結(jié)果組合均數(shù)－A2B1－A3B2－A2B2－A1B2－A3B1A1B1

85**

4**3*21A3B1

74**3*

21

A1B2

63*

21

A2B2

521

A3B2

41

A2B1

3

第六節(jié)復(fù)因子方差分析

生長素與糖濃度的交互作用

第六節(jié)復(fù)因子方差分析

三因子試驗設(shè)計方差分析分析方法同二因子試驗設(shè)計方差分析，只是平方和和自由度的分解有些區(qū)別。假定參試因子為A，B，C三個，A取a個水平，B取b個水平，C取c個水平，重復(fù)r次，故共有abcr個小區(qū)。平方和分解：SST=SSA+SSB+SSC+SSAB+SSAC+SSBC+SSABC+SSe第六節(jié)復(fù)因子方差分析

自由度分解：dfA=a－1dfB=b－1dfC=c－1dfAB=(a－1)(b－1)dfAC=(a－1)(c－1)dfBC=(b－1)(c－1)dfABC=(a－1)(b－1)(c－1)dfe=(abc－1)(r－1)dfT=abcr－1第六節(jié)復(fù)因子方差分析

一、方差分析的條件1、數(shù)據(jù)中的各種效應(yīng)應(yīng)該具有“可加性”；4、所有的處理應(yīng)該具方差整齊性。3、試驗數(shù)據(jù)應(yīng)該具正態(tài)性；2、試驗數(shù)據(jù)應(yīng)該具獨立性；第七節(jié)方差分析的條件及數(shù)據(jù)變換方法1、數(shù)據(jù)中的各種效應(yīng)應(yīng)該具有“可加性”線性可加模型是方差分析的基礎(chǔ)，只有當(dāng)數(shù)據(jù)具有可加性時，總平方和才能分解為各項平方和之和；以單向分類資料為例，因為數(shù)學(xué)模型為：因此才有：第七節(jié)方差分析的條件及數(shù)據(jù)變換方法2、試驗數(shù)據(jù)應(yīng)該具有隨機性、獨立性在方差分析模型中的誤差效應(yīng)必須是隨機的，k個處理的樣本數(shù)據(jù)是從所研究的k個總體中隨機抽取出來的，比較容易滿足隨機性。在觀察這個個體時的誤差與觀察另一個個體時的誤差應(yīng)該是無關(guān)的，即誤差彼此之間是相互獨立的。對于可量資料一般是滿足正態(tài)分布的。但有時也不一定滿足正態(tài)分布的條件。第七節(jié)方差分析的條件及數(shù)據(jù)變換方法3、試驗數(shù)據(jù)應(yīng)該具有正態(tài)性對于可數(shù)資料一般是不滿足正態(tài)分布的。因為在方差分布中將k個樣本的“組內(nèi)平方和”和“組內(nèi)自由度”合并為整個試驗的“組內(nèi)平方和”和“組內(nèi)自由度”，并利用它們算出的“組內(nèi)均方”來估計試驗誤差，其前提必須是各處理的方差是相等的，不相等怎么能合并呢？資料中各組的方差是否相等可以通過Bartlett卡方檢驗來檢驗。4、所有處理應(yīng)該具有相同的誤差方差，即具有方差整齊性（或同質(zhì)性）第七節(jié)方差分析的條件及數(shù)據(jù)變換方法當(dāng)試驗資料不符合上述假定時，要先對數(shù)據(jù)進行一些適當(dāng)?shù)奶幚?，然后用?jīng)過處理的數(shù)據(jù)進行方差分析。1、剔除一些表現(xiàn)“特殊”的觀察值、處理或重復(fù)。2、將總的試驗誤差的方差分裂成幾個較為同質(zhì)的試驗誤差的方差進行分析。3、對需要分析的資料進行