空間向量與立體幾何第二章章末歸納總結(jié)第二章專題探究3知識(shí)結(jié)構(gòu)2即時(shí)訓(xùn)練4知識(shí)結(jié)構(gòu)專題探究1．空間向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)是本章的基礎(chǔ)，應(yīng)熟練掌握向量共線與向量共面的概念，共線向量定理與共面向量定理，是解決向量問題和用向量解決立體幾何問題的基本依據(jù)，討論三點(diǎn)共線、直線平行、四點(diǎn)共面、向量共面、線面平行等等都需要運(yùn)用這兩個(gè)基本原理．[例1]如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求證：與、共面．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是C1C，B1C1的中點(diǎn)．求證：(1)MN∥平面A1BD；(2)平面A1BD∥平面B1D1C.2．利用空間向量判定線面、面面位置關(guān)系[例2]如圖所示，已知PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，PA＝AD，M，N分別為AB，PC的中點(diǎn)．求證：(1)MN∥平面PAD；(2)平面PMC⊥平面PDC.[分析]建立合適的空間直角坐標(biāo)系，可以借助共面向量定理證明(1)，借助于法向量證明(2)．如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一點(diǎn)，PE＝2EC.(1)證明：PC⊥平面BED；(2)設(shè)二面角A－PB－C為90°，求PD與平面PBC所成角的大?。甗解析](1)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線AC為x軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz.3．空間角[例3]如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝8，AA1＝4，M為B1C1上一點(diǎn)且B1M＝2，點(diǎn)N在線段A1D上，A1D⊥AN.[分析]建立恰當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)的向量，利用法向量求解．如圖是一個(gè)直三棱柱(以A1B1C1為底面)被一平面所截得的幾何體，截面為ABC.已知A1B1＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3.(1)設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，證明：OC∥平面A1B1C1；(2)求二面角B—AC—A1的大小．[解析]如圖，以B1為原點(diǎn)，分別以B1C1，B1A1，B1B所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,1,4)，B(0,0,2)，C(1,0,3)．[分析]此題共有3問，包括兩個(gè)向量的夾角的求解，兩異面直線間的距離的求解和點(diǎn)到平面的距離的求解，可建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)行求解．[解析]如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，M(0,0，a)，E(a,0，a)，F(xiàn)(0，a，a)，5．探索性問題[例5]如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中點(diǎn)．(1)求直線BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？證明你的結(jié)論．這說明A1，B，G，E共面．所以BG平面A1BE.因四邊形C1CDD1與B1BCC1皆為正方形，F(xiàn)，G分別為C1D1和CD的中點(diǎn)，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，因此四邊形B1BGF為平行四邊形，所以B1F∥BG.而B1F平面A1BE，BG平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.[點(diǎn)評(píng)]本題考查了直線與平面所成的角，直線與平面平行的性質(zhì)與判定．綜合考查了學(xué)生空間想象能力、探究能力和運(yùn)算能力．(1)求直線DE與平面PAC所成角的大小；(2)求二面角E－AD－C的平面角的余弦值；(3)在線段PC上是否存在一點(diǎn)K，使PC⊥平面KBD成立，如果存在，求出KC的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．即時(shí)訓(xùn)練[答案]D[答案]B[答案]B二、填空題4．如圖，已知在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A，B，線段AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱AB，AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，CD＝2cm，則這個(gè)二面角的度數(shù)為________．[答案]60°5．在半徑為13的球面上有A，B，C三點(diǎn)，AB＝6，BC＝8，CA＝10，則(1)球心到平面ABC的距離為________；(2)過A，B兩點(diǎn)的大圓面與平面ABC所成二面角(銳角)的正切值為________．[答案](1)12(2)3[解析]解法一：連接AC，設(shè)AC∩BD＝O，AP與平面BDD1B1交于點(diǎn)G，連接OG.如圖所示，∵PC∥平面BDD1B1，平面BDD1B1∩平面APC＝OG，(2)存在點(diǎn)Q.證明：依題意，要在A1C1上找一點(diǎn)Q，使得D1Q⊥AP，可推測(cè)A1C1的中點(diǎn)O1即為所求的Q點(diǎn)．∵D1O1⊥A1C1，D1O1⊥AA1，∴D1O1⊥平面ACC1A1.又AP平面ACC1A1，故D1O1⊥AP.從而D1Q在平面AD1P上的射影與AP垂直．∴存在定點(diǎn)Q滿足題意．7.如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn)．(1)求證：AB1⊥平面A1BD；(2)求二面角A－A1D－B的余弦值；(3)求點(diǎn)C到平面A1BD的距離．[分析]∵△ABC為正三角形，且平面ABC⊥平面BCC1B1，故可取BC中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)建立恰當(dāng)