第六章二次型§

6.1

二次型及其矩陣表示、合同矩陣

定義6.1.1：含有n個變量x1,x2,…,xn的二次齊次多項式

當(dāng)系數(shù)屬于數(shù)域F時，稱為數(shù)域F上的一個n元二次型.本章討論實數(shù)域上的n元二次型，簡稱二次型.令aij=aji，則2

aij

xixj=aij

xixj

+aji

xixj

，于是其中

A=(aij)n×n,x=(x1,x2,···,xn)T

A為對稱矩陣，稱A為二次型的矩陣，A的秩為二次型的秩.二次型和它的矩陣是互相唯一確定的.即有一個二次型就有唯一的對稱矩陣

A；而對稱矩陣A對應(yīng)唯一的二次型.例如，二次型的矩陣是

A是一個對稱矩陣.

反之，對稱矩陣A所對應(yīng)的二次型為設(shè)

是兩個n元變量，則線性變換代入

有

其中

,因此

是以B

為矩陣的y的n元二次型.如果有下面的形狀：

我們稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.

易知，

6.2化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形●用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形●用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理6.2.1

任何一個二次型都可以通過非退化線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形。定理6.2.2

對任意一個n階實對稱矩陣A，都存在可逆矩陣C，使得CTAC=diag(d1,d2,¨,dn)方法一、用配方法把二次型為標(biāo)準(zhǔn)型方法二、用正交變換法把二次型為標(biāo)準(zhǔn)型用正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形定理6.2.3

對于二次型f(x)=XTAX，一定存在正交矩陣Q，使得經(jīng)過正交變換X=QY后能夠把它化為標(biāo)準(zhǔn)形其中是二次型f(x)的矩陣A的全部特征值。例1

用正交變換把下面的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的正交變換。解二次型的矩陣為求得A的特征方程為解得特征值為例1

用正交變換把下面的二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的正交變換。解求出使A相似于對角矩陣的正交矩陣為因此，作正交變換X=QY，就可以使二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形6.3二次型與對稱矩陣的

正定性定義6.3.1

具有對稱矩陣A的二次型f(x)=XTAX，如果對于任何X=(x1,x2,¨,xn)T≠0，都有XTAX>0，(或<0)成立，則稱f(x)=XTAX為正定(負(fù)定)二次型，矩陣A稱為正定矩陣(負(fù)定矩陣)。

如果對于任何X=(x1,x2,¨,xn)T，都有XTAX≥0，(或≤0)則稱f(X)=XTAX為半正定(負(fù)定)二次型，矩陣A稱為半正定(半負(fù)定)矩陣。且有，使，二次型正定(負(fù)定)，半正定(半負(fù)定)，則它對應(yīng)的矩陣為正定(負(fù)定)，半正定(半負(fù)定)；反之亦然。定理6.3.1

設(shè)A為正定矩陣，如果AB，則B也是正定矩陣。定理6.3.2對角矩陣為正定矩陣的充分必要條件是定理6.3.3

矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是存在非奇異矩陣C，使得A=CTC，即A合同于單位矩陣。推論6.3.1

n階矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A的正慣性指標(biāo)p=n。推論6.3.2

如果A為正定矩陣，則|A|>0。定理6.3.4對稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A的所有特征值都是正數(shù)。定義6.3.2

設(shè)n階矩陣稱為A的k階順序主子式，即例如，的順序主子式為定理6.3.5矩陣A為正定矩陣的充分必要條件是A的所有順序主子式都大于零，即推論6.3.3如果A是負(fù)定矩陣，則－A為正定矩陣。因此A為負(fù)定矩陣的充分必要條件是正定矩陣的有關(guān)結(jié)論：1.對稱矩陣A是半正定(半負(fù)定)矩陣的充要條件是A的所有主子式都大于(小于)或等于零。2.對稱矩陣A是半正定(半負(fù)定)矩陣的充要條件是A的全部特征值都大于(小于)或等于零。注意:一個實對稱矩陣的順序主子式全大于零或等于零時，A未必是半正定的。例如，三階對稱矩陣

的順序主子式為但A并不是半正定矩陣。例6.3.4

判別二次型是否正定。解法一由定義將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形故該二次型正定。例6.3.4

判別二次型是否正定。解法二特征值法。二次型對應(yīng)的矩陣為因此A的特征值分別為3、6、9都是正數(shù)，故該二次型正定。例6.3.4

判別二次型是否正定。解法三順序主子式法。故該二次型正定。