《第1章全等三角形》一、選擇題1．下列圖形中，和所給圖全等的圖形是（）A． B． C． D．2．下列命題中，真命題的個數(shù)是（）①全等三角形的周長相等；②全等三角形的對應角相等；③全等三角形的面積相等；④全等三角形的對應角平分線相等．A．4 B．3 C．2 D．13．下列條件中，能判定兩個三角形全等的是（）A．有三個角對應相等 B．有兩條邊對應相等C．有兩邊及一角對應相等 D．有兩角及一邊對應相等4．如圖，△ABC≌△ADE，若∠B=70°，∠C=30°，∠DAC=35°，則∠EAC的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．35° D．25°5．在下列條件中，不能說明△ABC≌△A′B′C的是（）A．∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=A′C′ B．∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′C．∠B=∠B′，∠C=∠C′，AB=A′B′ D．AB=A′B′，BC=B′C，AC=A′C′6．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A′，則下列結論中正確的是（）A．AC=A′C′ B．BC=B′C′ C．AC=B′C′ D．∠A=∠A′7．要測量河兩岸相對的兩點A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點C、D，使CD=BC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在同一條直線上，如圖，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED=AB，因此測得ED的長就是AB的長，判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL8．如圖所示，H是△ABC的高AD，BE的交點，且DH=DC，則下列結論：①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個9．一塊三角形玻璃樣板不慎被小強同學碰破，成了四片完整四碎片（如圖所示），聰明的小強經(jīng)過仔細的考慮認為只要帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓師傅畫一塊與以前一樣的玻璃樣板．你認為下列四個答案中考慮最全面的是（）A．帶其中的任意兩塊去都可以 B．帶1、2或2、3去就可以了C．帶1、4或3、4去就可以了 D．帶1、4或2、4或3、4去均可10．將兩個斜邊長相等的三角形紙片如圖①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE繞點C順時針旋轉15°得到△D1CE1，如圖②，連接D1B，則∠E1D1B的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．° D．15°二、填空題11．如果△ABC≌△A′B′C′，AB=24，S△A′B′C′=180，那么△ABC中AB邊上的高是．12．一個三角形的三邊長分別為2，5，m，另一個三角形的三邊長分別為n，6，2，若這兩個三角形全等，則m+n=．13．已知，如圖∠ABC=∠DEF，AB=DE，要說明△ABC≌△DEF（1）若以“SAS”為依據(jù)，還要添加的條件為；（2）若以“ASA”為依據(jù)，還要添加的條件為．14．下列說法正確的有個．（1）兩條邊對應相等的兩個直角三角形全等．（2）有一銳角和斜邊對應相等的兩直角三角形全等．（3）一條直角邊和一個銳角對應相等的兩直角三角形全等．（4）面積相等的兩個直角三角形全等．15．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，線段PQ=AB，P，Q兩點分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AO上運動，當AP=時，△ABC和△PQA全等．16．如圖，△ABC的高BD，CE相交于點O．請你添加一個條件，使BD=CE．你所添加的條件是．（僅添加一對相等的線段或一對相等的角）17．如圖，已知BE⊥AD，CF⊥AD，BE=CF，由這三個條件組合運用可以得到若干結論，請你寫出三個正確結論：．18．如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，下面有四個條件：①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF．請你在其中選3個作為題設，余下的1個作為結論，寫出所有能組成真命題組合的題設為．（填序號）三、解答題（共46分）19．如圖所示，已知∠ACB和∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一點．求證：CP=DP．20．如圖所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分別為B，C，過D點作BC的垂線交BC于F，交AC于E，AB=EC，試判斷AC和ED的長度有什么關系并說明理由．21．已知：如圖所示，AD是△ABC的中線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F且BE=CF．求證：（1）AD是∠BAC的平分線；（2）AB=AC．22．如圖所示，施工隊在沿AC方向開山修路，為了加快施工進度，要在小山的另一邊點E同時施工，從AC上的一點B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A，C，E成一直線，那么開挖點E離點B的距離如何求得？請你設計出解決方案．23．如圖，∠BAC=∠BAD，點E在AB上．（1）添加一個條件，使△ACE≌△ADE，你添加的條件是；（2）根據(jù)（1）中你添加的條件，請再寫出另外一對全等三角形，并證明．24．數(shù)學作業(yè)本發(fā)下來了，徐波想“我應該又是滿分吧”，翻開作業(yè)本，一個大紅的錯號映入眼簾，徐波不解了，“我哪里做錯了呢”下面就是徐波的解法，親愛的同學，你知道他哪兒錯了嗎？你能幫他進行正確的說明嗎？如圖所示，∠BAC是鈍角，AB=AC，D，E分別在AB，AC上，且CD=BE．試說明∠ADC=∠AEB．徐波的解法：在△ACD和△ABE中，，所以△ABE≌△ACD，所以∠ADC=∠AEB．25．如圖，已知直線l1∥l2，線段AB在直線l1上，BC垂直于l1交l2于點C，且AB=BC，P是線段BC上異于兩端點的一點，過點P的直線分別交l2、l1于點D、E（點A、E位于點B的兩側），滿足BP=BE，連接AP、CE．（1）求證：△ABP≌△CBE；（2）連結AD、BD，BD與AP相交于點F．如圖2．①當=2時，求證：AP⊥BD；②當=n（n＞1）時，設△PAD的面積為S1，△PCE的面積為S2，求的值．《第1章全等三角形》參考答案與試題解析一、選擇題1．下列圖形中，和所給圖全等的圖形是（）A． B． C． D．【考點】全等圖形．【分析】根據(jù)能夠完全重合的兩個圖形是全等形即可判斷出答案．【解答】解；如圖所示：和左圖全等的圖形是選項D．故選：D．【點評】本題考查全等形的定義，屬于基礎題，注意掌握全等形的定義．2．下列命題中，真命題的個數(shù)是（）①全等三角形的周長相等；②全等三角形的對應角相等；③全等三角形的面積相等；④全等三角形的對應角平分線相等．A．4 B．3 C．2 D．1【考點】命題與定理．【分析】根據(jù)全三角形的性質(zhì)，可以判斷各個說法是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：全等三角形的周長相等，故①正確；全等三角形的對應角相等，故②正確；全等三角形的面積相等，故③正確；全等三角形的對應角平分線相等，故④正確；故選A．【點評】本題考查命題和定理，解題的關鍵是明確全等三角形的性質(zhì)．3．下列條件中，能判定兩個三角形全等的是（）A．有三個角對應相等 B．有兩條邊對應相等C．有兩邊及一角對應相等 D．有兩角及一邊對應相等【考點】全等三角形的判定．【分析】熟練運用判定方法判斷．做題時要按判定全等的方法逐個驗證．【解答】解：有三個角對應相等，不能判定全等，A錯誤；有兩條邊對應相等，缺少條件不能判定全等，B錯誤；有兩邊及一角對應相等不能判定全等，C錯誤；有兩角及一邊對應相等可判斷全等，符合AAS或ASA，是正確的．故選D．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．4．如圖，△ABC≌△ADE，若∠B=70°，∠C=30°，∠DAC=35°，則∠EAC的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．35° D．25°【考點】全等三角形的性質(zhì)．【分析】由全等三角形的性質(zhì)可得到∠BAC=∠EAD，在△ABC中可求得∠BAC，則可求得∠EAC．【解答】解：∵∠B=70°，∠C=30°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣70°﹣30°=80°，∵△ABC≌△ADE，∴∠EAD=∠BAC=80°，∴∠EAC=∠EAD﹣∠DAC=80°﹣35°=45°，故選B．【點評】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應邊相等、對應角相等是解題的關鍵．5．在下列條件中，不能說明△ABC≌△A′B′C的是（）A．∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=A′C′ B．∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′C．∠B=∠B′，∠C=∠C′，AB=A′B′ D．AB=A′B′，BC=B′C，AC=A′C′【考點】全等三角形的判定．【分析】根據(jù)題意，對選項一一分析，選擇正確答案．【解答】解：A、∠A=∠A′，∠C=∠C′，AC=A′C′，可用ASA判定△ABC≌△A′B′C，故選項正確；B、∠A=∠A′，AB=A′B′，BC=B′C′，SSA不能判定兩個三角形全等，故選項錯誤；C、∠B=∠B′，∠C=∠C′，AB=A′B′，可用AAS判定△ABC≌△A′B′C，故選項正確；D、AB=A′B′，BC=B′C，AC=A′C′，可用ASA判定△ABC≌△A′B′C，故選項正確．故選B．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．6．在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A′，則下列結論中正確的是（）A．AC=A′C′ B．BC=B′C′ C．AC=B′C′ D．∠A=∠A′【考點】全等三角形的判定．【分析】此題難度較小，主要是對應關系的問題，可以采用排除法進行分析確定．【解答】解：如圖所示，∵∠C=∠C′=90°，∠A=∠B′，AB=B′A′，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，∴AC=B′C′（A不正確，C正確），BC=A′C′（B不正確），∠A=∠B′（已知已給出，D不正確），故選C．【點評】主要考查全等三角形的判定，作此題需考慮對應關系，不能憑主觀想象和習慣做題，畫個圖形，一目了然．7．要測量河兩岸相對的兩點A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點C、D，使CD=BC，再定出BF的垂線DE，使A、C、E在同一條直線上，如圖，可以得到△EDC≌△ABC，所以ED=AB，因此測得ED的長就是AB的長，判定△EDC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．HL【考點】全等三角形的應用．【分析】結合圖形根據(jù)三角形全等的判定方法解答．【解答】解：∵AB⊥BF，DE⊥BF，∴∠ABC=∠EDC=90°，在△EDC和△ABC中，，∴△EDC≌△ABC（ASA）．故選B．【點評】本題考查了全等三角形的應用，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵．8．如圖所示，H是△ABC的高AD，BE的交點，且DH=DC，則下列結論：①BD=AD；②BC=AC；③BH=AC；④CE=CD中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】直角三角形全等的判定；全等三角形的性質(zhì)．【分析】可以采用排除法對各個選項進行驗證，從而得出最后的答案．【解答】解：①∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠AEH=∠ADB=90°∵∠HBD+∠BHD=90°，∠EAH+∠AHE=90°，∠BHD=∠AHE∴∠HBD=∠EAH∵DH=DC∴△BDH≌△ADC（AAS）∴BD=AD，BH=AC②：∵BC=AC∴∠BAC=∠ABC∵由①知，在Rt△ABD中，BD=AD∴∠ABC=45°∴∠BAC=45°∴∠ACB=90°∵∠ACB+∠DAC=90°，∠ACB＜90°∴結論②為錯誤結論．③：由①證明知，△BDH≌△ADC∴BH=AC解④：∵CE=CD∵∠ACB=∠ACB；∠ADC=∠BEC=90°∴△BEC≌△ADC由于缺乏條件，無法證得△BEC≌△ADC∴結論④為錯誤結論綜上所述，結論①，③為正確結論，結論②，④為錯誤結論，根據(jù)題意故選B．故選B．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．9．一塊三角形玻璃樣板不慎被小強同學碰破，成了四片完整四碎片（如圖所示），聰明的小強經(jīng)過仔細的考慮認為只要帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓師傅畫一塊與以前一樣的玻璃樣板．你認為下列四個答案中考慮最全面的是（）A．帶其中的任意兩塊去都可以 B．帶1、2或2、3去就可以了C．帶1、4或3、4去就可以了 D．帶1、4或2、4或3、4去均可【考點】全等三角形的應用．【專題】應用題．【分析】②④雖沒有原三角形完整的邊，又沒有角，但延長可得出原三角形的形狀；帶①、④可以用“角邊角”確定三角形；帶③、④也可以用“角邊角”確定三角形．【解答】解：帶③、④可以用“角邊角”確定三角形，帶①、④可以用“角邊角”確定三角形，帶②④可以延長還原出原三角形，故選D．【點評】本題考查了全等三角形判定的應用；確定一個三角形的大小、形狀，可以用全等三角形的幾種判定方法．做題時要根據(jù)實際問題找條件．10．將兩個斜邊長相等的三角形紙片如圖①放置，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠D=30°．把△DCE繞點C順時針旋轉15°得到△D1CE1，如圖②，連接D1B，則∠E1D1B的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．° D．15°【考點】旋轉的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠DCE=60°，旋轉的性質(zhì)可得∠BCE1=15°，然后求出∠BCD1=45°，從而得到∠BCD1=∠A，利用“邊角邊”證明△ABC和△D1CB全等，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠BD1C=∠ABC=45°，再根據(jù)∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E【解答】解：∵∠CED=90°，∠D=30°，∴∠DCE=60°，∵△DCE繞點C順時針旋轉15°，∴∠BCE1=15°，∴∠BCD1=60°﹣15°=45°，∴∠BCD1=∠A，在△ABC和△D1CB中，，∴△ABC≌△D1CB（SAS），∴∠BD1C=∠∴∠E1D1B=∠BD1C﹣∠CD1E1故選：D．【點評】本題考查了旋轉的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并求出△ABC和△D1CB全等是解題的關鍵．二、填空題11．如果△ABC≌△A′B′C′，AB=24，S△A′B′C′=180，那么△ABC中AB邊上的高是15．【考點】全等三角形的性質(zhì)．【分析】運用全等三角形的面積相等得出S△ABC=180，再利用AB=24本題可解．【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C′，S△A′B′C′=180，∴S△ABC=180，設AB邊上的高是h．則S△ABC=AB?h，又AB=24，∴△ABC中AB邊上的高h=180×2÷24=15．故填15．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形的面積；要牢固掌握這些知識，并能靈活應用．12．一個三角形的三邊長分別為2，5，m，另一個三角形的三邊長分別為n，6，2，若這兩個三角形全等，則m+n=11．【考點】全等三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)全等三角形的對應邊相等求出m、n的值，再相加即可得解．【解答】解：∵兩三角形全等，∴m=6，n=5，∴m+n=6+5=11．故答案為：11．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關鍵．13．已知，如圖∠ABC=∠DEF，AB=DE，要說明△ABC≌△DEF（1）若以“SAS”為依據(jù)，還要添加的條件為BE=CF或BC=EF；（2）若以“ASA”為依據(jù)，還要添加的條件為∠A=∠D．【考點】全等三角形的判定．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的SAS定理，只需找出夾角的另一邊，即BC=EF，即可證得．（2）要判定△ABC≌△DEF，已知∠ABC=∠DEF，AB=DE，加∠A=∠D即可．【解答】解：（1）∵∠ABC=∠DEF，AB=DE，要使△ABC≌△DEF，且以“SAS”為依據(jù)，∴還要添加的條件為：BE=CF或BC=EF；故答案為：BE=CF或BC=EF；（2）∵∠ABC=∠DEF，AB=DE，要使△ABC≌△DEF，且以“ASA”為依據(jù)，∴還要添加的條件為：∠A=∠D．故答案為：∠A=∠D．【點評】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關鍵．14．下列說法正確的有3個．（1）兩條邊對應相等的兩個直角三角形全等．（2）有一銳角和斜邊對應相等的兩直角三角形全等．（3）一條直角邊和一個銳角對應相等的兩直角三角形全等．（4）面積相等的兩個直角三角形全等．【考點】直角三角形全等的判定．【分析】利用全等三角形的判定方法逐個判斷即可．【解答】解：（1）當這兩條邊都是直角邊時，結合直角相等，則可用SAS可判定兩個三角形全等，當這兩條邊一條是斜邊一條是直角邊時，可用HL判定這兩個直角三角形全等，故（1）正確；（2）有一銳角和斜邊對應相等時，結合直角，可用AAS來判定這兩個直角三角形全等，故（2）正確；（3）當一條直角邊和一個銳角對應相等時，結合直角，可用AAS或ASA來證明這兩個直角三角形全等，故（3）正確；（4）當兩個三角形面積相等時，這兩個直角三角形不一定會等，故（4）不正確；綜上可知正確的有3個，故答案為：3．【點評】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．15．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，線段PQ=AB，P，Q兩點分別在AC和過點A且垂直于AC的射線AO上運動，當AP=5或10時，△ABC和△PQA全等．【考點】直角三角形全等的判定．【分析】當AP=5或10時，△ABC和△PQA全等，根據(jù)HL定理推出即可．【解答】解：當AP=5或10時，△ABC和△PQA全等，理由是：∵∠C=90°，AO⊥AC，∴∠C=∠QAP=90°，①當AP=5=BC時，在Rt△ACB和Rt△QAP中∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），②當AP=10=AC時，在Rt△ACB和Rt△PAQ中∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），故答案為：5或10．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理的應用，注意：判定兩直角三角形全等的方法有ASA，AAS，SAS，SSS，HL．16．如圖，△ABC的高BD，CE相交于點O．請你添加一個條件，使BD=CE．你所添加的條件是BE=CD或∠EBC=∠DCB或∠DBC=∠BCE或AB=AC．（僅添加一對相等的線段或一對相等的角）【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)三角形全等的判定方法，從△BCD和△CBE全等，或者△ABD和△ACE全等考慮添加條件．【解答】解：添加BE=CD可以利用“HL”證明△BCD≌△CBE，添加∠EBC=∠DCB可以利用“AAS”證明△BCD≌△CBE，添加∠DBC=∠BCE可以利用“AAS”證明△BCD≌△CBE，添加AB=AC可以利用“HL”證明△ABD≌△ACE，綜上所述，所添加的條件可以是BE=CD或∠EBC=∠DCB或∠DBC=∠BCE或AB=AC．故答案為：BE=CD或∠EBC=∠DCB或∠DBC=∠BCE或AB=AC．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．17．如圖，已知BE⊥AD，CF⊥AD，BE=CF，由這三個條件組合運用可以得到若干結論，請你寫出三個正確結論：△BDE≌△CDF，BD=CD，AD是△ABC的中線．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)已知條件得到△BDE≌△CDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BD=CD．AD是△ABC的中線【解答】解：∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠BED=∠CFD=90°，在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴BD=CD．∴AD是△ABC的中線．故答案為：△BDE≌△CDF，BD=CD，AD是△ABC的中線．【點評】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．做題時要根據(jù)實際情況靈活運用．18．如圖，在△ABC和△DEF中，B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，下面有四個條件：①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF．請你在其中選3個作為題設，余下的1個作為結論，寫出所有能組成真命題組合的題設為①②④或①③④．（填序號）【考點】命題與定理．【分析】直接利用全等三角形的判定方法分別得出符合題意的答案．【解答】解：∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中∵，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC=DF，即①③④為題設，可以得出②；∵BE=CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中∵，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ABC=∠DEF，即①②④為題設，可以得出③；故答案為：①②④或①③④．【點評】此題主要考查了命題與定理，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關鍵．三、解答題（共46分）19．如圖所示，已知∠ACB和∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一點．求證：CP=DP．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】先根據(jù)HL判定Rt△ACB≌Rt△ADB得出BC=BD，∠CBA=∠DBA，再利用SAS判定△CBP≌△DBP從而得出CP=DP．【解答】證明：在Rt△ACB和Rt△ADB中，，∴Rt△ACB≌Rt△ADB（HL）．∴BC=BD，∠CBA=∠DBA．∵BP=BP，∴△CBP≌△DBP（SAS）．∴CP=DP．【點評】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．20．如圖所示，AB⊥BC，DC⊥AC，垂足分別為B，C，過D點作BC的垂線交BC于F，交AC于E，AB=EC，試判斷AC和ED的長度有什么關系并說明理由．【考點】直角三角形全等的判定；全等三角形的性質(zhì)．【專題】探究型．【分析】本題重點考查了三角形全等的判定定理，普通兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理．【解答】解：AC=ED，理由如下：∵AB⊥BC，DC⊥AC，ED⊥BC，∴∠B=∠EFC=∠DCE=90°．∴∠A+∠ACB=90°，∠CEF+∠ACB=90°．∴∠A=∠CEF．在△ABC和△ECD中，∴△ABC≌△ECD（ASA）．∴AC=ED（全等三角形的對應邊相等）．【點評】三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．21．已知：如圖所示，AD是△ABC的中線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F且BE=CF．求證：（1）AD是∠BAC的平分線；（2）AB=AC．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）要證AD平分∠BAC，只需證明△ABD≌△ACD即可．（2）由1可證得Rt△AED≌Rt△AFD，然后推出BE=CF可得AB=AC．【解答】證明：（1）AD是△ABC的中線（已知），∴BD=CD．在Rt△EBD和Rt△FCD中，∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）．∴DE=DF（全等三角形的對應邊相等），即AD是∠BAC的平分線．（2）在Rt△AED和Rt△AFD中，，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF（全等三角形的對應邊相等）．又∵BE=CF（已知），∴AB=AC．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；三角形全等的判定是中考的熱點，一般以考查三角形全等的方法為主，判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．22．（6分）如圖所示，施工隊在沿AC方向開山修路，為了加快施工進度，要在小山的另一邊點E同時施工，從AC上的一點B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A，C，E成一直線，那么開挖點E離點B的距離如何求得？請你設計出解決方案．【考點】全等三角形的應用．【專題】應用題；方案型．【分析】本題讓我們了解測量兩點之間的距離的一種方法，設計只要符合全等三角形全等的條件，具有可操作性，需要測量的線段和角度在空地可實施測量．【解答】解：方案設計如圖，延長BD到點F，使BD=DF=500米，過F作FG⊥ED于點G．因為∠ABD=145°，所以∠CBD=35°，在△BED和△FGD中所以△BED≌△FGD（ASA），所以BE=FG（全等三角形的對應邊相等）．所以要求BE的長度可以測量GF的長度．【點評】本題考查了全等三角形的應用；解答本題的關鍵是設計三角形全等，巧妙地借助兩個三角形全等，尋找所求線段與已知線段之間的等量關系．本題主要是利用了△BED≌△FGD的判定及性質(zhì)．23．如圖，∠BAC=∠BAD，點E在AB上．（1）添加一個條件，使△ACE≌△ADE，你添加的條件是AC=AD；（2）根據(jù)（1）中你添加的條件，請再寫出另外一對全等三角形，并證明．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）由圖形可知AE=AE，結合條件可再添加AC=AD，利用SAS可證明△ACE≌△ADE；（2）利用SAS可證明△ACB≌△ADB．【解答】解：（1）∵在圖形中有AE=AE，且∠BAC=∠BAD，∴可添加AC=AD，利用SAS判斷△ACE≌△ADE，故答案為：AC=AD；（2）可證明△ACB≌△ADB，證明如下：在△ACB和△ADB中∴△ACB≌△ADB（SAS）．【點評】本題主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．24．數(shù)學作業(yè)本發(fā)下來了，徐波想“我應該又是滿分吧”，翻開作業(yè)本，一個大紅的錯號映入眼簾，徐波不解了，“我哪里做錯了呢”下面就是徐波的解法，親愛的同學，你知道他哪兒錯了嗎？你能幫他進行正確的說明嗎？如圖所示，∠BAC是鈍角，AB=AC，D，E分別在AB，AC上，且CD=BE．試說明∠ADC=∠AEB．徐波的解法：在△ACD和△ABE中，，所以△ABE≌△ACD，所以∠A