第五章分式與分式方程博士寄語你想知道什么是分式嗎？你想了解分式和分?jǐn)?shù)的關(guān)系嗎？你想了解分式方程與一元一次方程的聯(lián)系嗎？你想知道分式能幫助我們解決哪些實際問題嗎？請帶著你的好奇跟我們走進分式的世界吧！為了更好地學(xué)習(xí)本章的內(nèi)容，博士還想告訴你：本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1.經(jīng)歷用字母表示現(xiàn)實情境中數(shù)量關(guān)系（分式、分式方程）的過程，了解分式、分式方程的概念，體會分式、分式方程的模型思想，進一步發(fā)展符號感.2.經(jīng)歷通過觀察、歸納、類比、猜想，獲得分式的基本性質(zhì)、分式乘除運算法則、分式加法減運算法則的過程，發(fā)展合情推理能力與代數(shù)恒等變形能力.3.熟練掌握分式的基本性質(zhì)，會進行分式的約分、通分和加減乘除四則運算，會解可化為一元一次方程的分式方程（方程中分式不超過兩個），會檢驗分式方程的根.4.能解決一些與分式、分式方程有關(guān)的實際問題，具有一定的分析問題、解決問題的能力和應(yīng)用意識.5.通過學(xué)習(xí)，能獲得學(xué)習(xí)代數(shù)知識的常用方法，能感受代數(shù)學(xué)習(xí)的價值.本章重點難點本章的重點：會進行分式的約分、通分和加減乘除四則運算，會解可化為一元一次方程的分式方程（方程中分式不超過兩個），會檢驗分式方程的根；能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出分式方程解決簡單的問題．本章的難點：能從具體問題中找出等量關(guān)系，列出分式方程.本章學(xué)習(xí)建議本章知識相對比較綜合，有一定的難度，分式是代數(shù)式中的一個重點，它也是整式和因式分解的綜合運用，學(xué)習(xí)過程中應(yīng)當(dāng)注意以下幾點：1.切實掌握好基礎(chǔ)知識、基本技能，注重提高運算能力.分式的概念、基本性質(zhì)、運算法則是分式變形的基礎(chǔ)，要明確概念，進一步發(fā)展符號感.同時，要明晰算理，加強運算.要聯(lián)系現(xiàn)實生活，體會分式運算及分式方程等的應(yīng)用，學(xué)習(xí)有用的數(shù)學(xué)，要能根據(jù)題目條件，自主地尋找合理簡捷的解決問題的途徑，并注重對探索及解題過程的理解.2.注重數(shù)學(xué)思想方法運用.由于分?jǐn)?shù)和分式的相似，可體會類比的思想方法，由淺入深，循序漸進，探求分式的基本性質(zhì)、運算法則等.同時，要發(fā)展合情推理能力，進一步體會“數(shù)”與“式”的聯(lián)系.整式運算與分式運算有著密切的聯(lián)系，注意將分式運算、分式方程轉(zhuǎn)化為整式運算、整式方程來解決，體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.要有建立數(shù)學(xué)模型的思想.分式方程是將具體問題“數(shù)學(xué)化”的重要模型，應(yīng)當(dāng)逐步培養(yǎng)這種意識，在這一建模過程中，應(yīng)強化與生活的聯(lián)系，加強交流、探討，共同進步.同時，要特別注意及時地反思歸納.3.要注意整式與分式的區(qū)別，分式與分?jǐn)?shù)的不同；更要注意分式的加減運算與解方式方程的不同，在學(xué)習(xí)了分式方程解法之后，很多同學(xué)容易把分式加減運算的最簡公分母去掉而出錯，分式加減運算變形的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)，可保持分式的值不變，而分式方程解法依據(jù)為等式的基本性質(zhì).認識分式第一課時學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能用分式表示現(xiàn)實情境中的數(shù)量關(guān)系，體會模型思想，進一步發(fā)展符號感；2.了解分式的概念，明確分式與整式的區(qū)別，掌握分式有（無）意義和值為零的條件.同步練習(xí)1.代數(shù)式，，，，中，屬于分式的有_________.2.要使分式有意義，則應(yīng)滿足的條件是_________；若分式無意義，則應(yīng)滿足的條件是________.3.若分式的值為零，則的值是_______；若分式的值為零，則的值是_______.4.當(dāng)，時，分式的值為________.5.一箱蘋果售價為元，箱子與蘋果的總質(zhì)量為，箱子的質(zhì)量為，在每千克蘋果的售價是______元.6.輪船在靜水中的速度為千米/時，水流速度是千米/時，輪船在逆流中航行千米所需要的時間是______小時.拓展與延伸7.若分式的值為，則的值是（）A.B.C.D.8.不論取何值時，下列分式總有意義的是（）A.B.C.D.9.已知當(dāng)時，分式的值為，當(dāng)時，分式無意義，試求，的值.走進生活10.某市對一段全長米的道路進行改造，原計劃每天修米，為了盡量減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時，每天修路比原計劃的倍還多米，那么修這條路實際用了_____天.第二課時學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握分式的基本性質(zhì)，會化簡分式.同步練習(xí)1.在括號內(nèi)填上適當(dāng)?shù)恼剑海?）；（2）.2.下列分式：，，，中，最簡分式有（）個.A.B.C.D.3.下列變形正確的是（）A.B.C.D.4.化簡下列分式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）5.先化簡，再求值.，其中.觀察與思考6.下列各式中，變形不正確的是（）A.B.C.D.7.下列變形正確的是（）A.B.C.D.8.小明同學(xué)在解答“化簡”時，給出了兩種解法.解法一：.解法二：.你認為他的兩種解法正確嗎？談?wù)勀愕恼J識.拓展與延伸9.把分式中字母，的值擴大倍，則分式的值（）A.擴大倍B.擴大倍C.是原來的D.不變10.不改變分式的值，把下列分式中的分子、分母中的系數(shù)化為整數(shù).（1）_________；（2）__________.分式的乘除法學(xué)習(xí)目標(biāo)會進行簡單的分式乘除運算，能解決一些與分式乘除運算有關(guān)的簡單的實際問題.同步練習(xí)1.下列運算正確的是（）A.B.C.D.2.計算的結(jié)果是（）A.B.C.D.3.計算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.拓展延伸4.化簡：.走進生活5.小明和小華分別用元錢購買鉛筆，所買鉛筆數(shù)量分別是支和支，那么小明和小華所買鉛筆的單價比是多少？分式的加減法第一課時學(xué)習(xí)目標(biāo)能進行簡單的同分母分式的加減運算，并能解決簡單的實際問題.同步練習(xí)1.化簡的結(jié)果為（）A.B.C.D.2.計算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.走進生活3.某單位全體員工要義務(wù)植樹棵，原計劃每小時植樹棵，實際每小時植樹的棵樹是原計劃的倍，那么實際比原計劃提前多少小時完成任務(wù)？拓展與延伸4.已知，，求.第二課時學(xué)習(xí)目標(biāo)能進行分式的通分及異分母分式的加減運算，并能解決簡單的實際問題.同步練習(xí)1.化簡的結(jié)果為（）A.B.C.D.2.化簡的結(jié)果是（）A.B.C.D.3.計算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.觀察與思考4.已知，則的值是（）A.B.C.D.走進生活5.新年的一場大雪為走親訪友的人們帶來了不便，武警部隊派出了甲、乙兩支隊伍清理路面上的積雪，現(xiàn)在要求兩隊分別清理路面，若甲隊每小時能清理的路面，且甲隊比乙隊每小時多清理的路面，則甲隊比乙隊少用多少時間完成任務(wù)？第三課時學(xué)習(xí)目標(biāo)能進行較為復(fù)雜的分式的加減運算，并能解決簡單的實際問題.同步練習(xí)1.計算：（1）；（2）；（3）；（4）.2.已知，求的值.走進生活3.一列車提速前的速度是，計劃提速，已知從甲地到乙地的行駛路程為，求提速后從甲地到乙地節(jié)約的時間.探索與創(chuàng)新4.化簡：.5.（1）計算：________；（2）計算：________；（3）根據(jù)（1）（2）猜測：__________；（4）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：.分式方程第一課時學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過多種實際問題的分析，感受分式方程作為刻畫現(xiàn)實世界有效模型的意義；2.通過觀察、歸納、討論、交流獲得分式方程的概念.同步練習(xí)1.下列各式中，是分式方程的是（）A.B.C.D.2.八年級（1）班做個彩花所用的時間與八年級（2）班做個彩花所用的時間相同，又已知每小時兩班共做個彩花，問：兩個班每小時各做多少個彩花？設(shè)八年級（1）班每小時做個彩花，則列方程為________.3.去冬今春，我國西南地區(qū)遭遇歷史上罕見的旱災(zāi)，解放軍某部接到了限期打口水井的作業(yè)任務(wù)，部分官兵到達災(zāi)區(qū)后，目睹災(zāi)情心急如焚，他們增派機械車輛，爭分奪秒，每天比原計劃多打口井，結(jié)果提前天完成任務(wù)，若設(shè)原計劃每天打口井，則根據(jù)題意所列方程是_______.走進生活4.汶川大地震發(fā)生以后，全國人民眾志成城，一方有難，八方支援.一首長到帳篷廠視察，布置賑災(zāi)生產(chǎn)任務(wù)，下面是首長與廠長的一段對話：首長：“為了支援災(zāi)區(qū)人民，組織上要求你們完成頂帳篷的生產(chǎn)任務(wù).”廠長：“為了盡快支援災(zāi)區(qū)人民，我們準(zhǔn)備每天的生產(chǎn)量比原來多一半.”首長：“這樣能提前幾天完成任務(wù)？”廠長：“請首長放心，保證提前天完成任務(wù)！”根據(jù)兩人對話，問：該廠原來每天生產(chǎn)多少頂帳篷？若設(shè)該廠原來每天生產(chǎn)頂帳篷，則可列方程：__________.拓展與延伸5.某鄉(xiāng)要筑一條水壩，要在規(guī)定日期內(nèi)完成，如果甲隊做，恰好能如期完成；如果乙隊做，要超過規(guī)定日期天完成.現(xiàn)由甲隊、乙隊合作天后，余下的工程由乙隊做，恰好在規(guī)定的日期完成，設(shè)規(guī)定的日期為天，下面的方程中，正確的有_________.（填序號）①；②；③；④.第二課時學(xué)習(xí)目標(biāo)會解可化為一元一次方程的分式方程（方程中分式不超過兩個），會檢驗根的合理性.同步練習(xí)1.分式方程的解為（）A.B.C.D.2.解分式方程時，去分母后變形為（）A.B.C.D.3.解下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.拓展與延伸4.使分式方程產(chǎn)生增根的的值為__________.走進生活5.進入防汛期后，某地對河堤進行了加固，該地駐軍在河堤加固的工程中出色地完成了任務(wù)，這是記者與駐軍工程指揮官的一段對話：通過這段對話，請你求出該地駐軍原來每天加固河堤的長度.第三課時學(xué)習(xí)目標(biāo)經(jīng)歷運用分式方程解決實際問題的過程，發(fā)展抽象、概括的“數(shù)學(xué)化”能力，提高分析問題、解決問題的能力.同步練習(xí)1.、兩種機器人都被用來搬運化工原料，型機器人比型機器人每小時多搬運，型機器人搬運所用時間與型機器人搬運所用時間相等，兩種機器人每小時分別搬運多少化工原料？2.小麗乘坐汽車從青島到黃島奶奶家，她去時經(jīng)過環(huán)灣高速公路，全程約千米，返回時經(jīng)過跨海大橋，全程約千米，小麗所乘汽車去時的平均速度是返回時的倍，所用時間卻比返回時多分鐘，求小麗所乘汽車返回時的平均速度.3.得知聰明好學(xué)的小明重病住院，因家庭貧困無法支付巨額藥費，同學(xué)們紛紛捐款獻愛心，某同學(xué)對八年級（1）班和（2）班的捐款情況進行統(tǒng)計，得到的信息如下：信息1：（1）班共捐款元，（2）班共捐款元；信息2：（2）班平均每人捐款數(shù)是（1）班平均每人捐款數(shù)的；信息3：（1）班比（2）班多人.請你根據(jù)以上信息，求出兩個班平均每人的捐款數(shù).觀察與思考4.一車間有甲、乙兩個小組，甲組的工作效率比乙組高，因此甲組加工個零件所用的時間比乙組加工個零件所用的時間還少分鐘，若設(shè)乙每小時加工個零件，則可列方程為（）A.B.C.D.走進生活5.華潤超市用元購進一批新品種的蘋果進行試銷，由于銷售狀況良好，超市又調(diào)撥元資金購進該品種蘋果，但這次的進貨價比試銷時每千克多了元，購進蘋果數(shù)量是試銷時的倍.（1）試銷時該品種蘋果的進貨價是每千克多少元？（2）如果超市將該品種蘋果按每千克元的定價出售，當(dāng)大部分蘋果售出后，余下的千克按定價的七折售完，那么超市在這兩次蘋果銷售中共盈利多少元？全章綜合測評題一、選擇題1.式子，，，，中，分式的個數(shù)是（）A.個B.個C.個D.個2.已知，則的值是（）A.B.C.D.3.下列各項與分式的值相等的是（）A.B.C.D.4.分式方程的解是（）A.B.C.D.或5.若關(guān)于的方程有增根，則為（）A.B.C.D.6.某廠接到加工件衣服的訂單，預(yù)計每天做件，正好按時完成，后因客戶要求提前天交貨，每天多做件，則應(yīng)滿足的方程為（）A.B.C.D.二、填空題1.當(dāng)______時，分式無意義.8.若分式的值為零，則________.9.化簡：________.10.計算：_______.11.計算機生產(chǎn)車間要制造個零件，原計劃每天造個，后為了供貨需要，每天多造了個，則可提前______天完成.12.若，則的值為______.三、計算題13.14.15.16.四、解方式方程17.18.五、列方程解應(yīng)用題19.某工程隊承接了米的修路任務(wù)，在修好米后，引進了新設(shè)備，工作效率是原來的倍，一共用了天完成了任務(wù)，求引進新設(shè)備前平均每天修路多少米.20.某商店第一次用元購進鉛筆若干支，第二次又用元購進該款鉛筆，但這次每支的進價是第一次進價的倍，購進數(shù)量比第一次少了支.（1）求第一次每支鉛筆的進價是多少元；（2）若要求這兩次購進的鉛筆按同一價格全部銷售完畢后獲利不低于元，問：每支售價至少是多少元？六、解答題21.甲、乙兩人兩次同時在同一家糧店購買糧食（假設(shè)兩次購買糧食的單價不同），甲每次購買糧食千克，乙每次用去元.設(shè)第一、第二次購買糧食的單價分別為元/千克和元/千克，用含，的代數(shù)式表示：（1）求甲兩次購買糧食共需付款多少元，乙兩次共購買糧食多少千克；（2）若甲兩次購糧的平均單價為每千克元，乙兩次購糧的平均單價為每千克元，分別表示（元）和（元）；（3）若規(guī)定：誰兩次購糧的平均單價低，誰的購糧方式就更合算，請你判斷甲、乙兩人的購糧方式哪一個更合算，并說明理由.22.觀察：，，，，，.解答下列問題：（1）在式子中，第六項為_______，第項為_______；（2）解方程：.瞭旺角分類思想分類思想是數(shù)學(xué)和其他各門學(xué)科常用的處理問題的思想方法.要學(xué)好數(shù)學(xué)，必須掌握這種思想方法.在生活中我們常常遇到對事物進行分類的問題，如幼兒園老師在桌上散亂地放置一些物品：本書、個蘋果、支鉛筆、輛玩具汽車、個橘子、只玩具小白兔、塊橡皮……老師對一位小朋友說：“你能將桌上的物品整理一下嗎？”結(jié)果這位小朋友將桌上的物品整理成三部分——水果、玩具、文具用品.這位小朋友在整理物品時采用的就是分類方法.分類方法是科學(xué)的方法.一堆硬幣，按幣值分為若干類后，再計算這堆硬幣的總值就比較方便了.下面是一個十分有趣的頭發(fā)問題：一位數(shù)學(xué)家來到一個有百萬人口的城市以后，突然宣布：在這個城市中，至少有兩人，他們的頭發(fā)根數(shù)相等.這位數(shù)學(xué)家是將每個人的頭發(fā)都數(shù)過一遍以后才得出這個結(jié)論的嗎？肯定不是，他采用的是分類的方法.生物學(xué)家告訴我們，每人的頭發(fā)不可能超過萬根.于是這位數(shù)學(xué)家便在頭腦中做了以下的編排：萬間房屋編上房號，，，，…，，然后命令每個人將自己的頭發(fā)數(shù)一數(shù)，并根據(jù)頭發(fā)數(shù)進入相應(yīng)的房間（光頭進入號，只有一根頭發(fā)進入號，…）.這時，數(shù)學(xué)家的結(jié)論被證實了，你知道這是為什么嗎？答案認識分式第一課時同步練習(xí)1.，2.，3.，4.5.6.拓展與延伸9.，走進生活10.第二課時同步練習(xí)1.（1）；（2）4.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）5.觀察與思考8.解法一正確.解