第2講函數(shù)依賴的公理體系第5章關(guān)系數(shù)據(jù)庫(kù)模式設(shè)計(jì)主要內(nèi)容阿姆斯特朗公理及推論X關(guān)于F的閉包及其計(jì)算最小函數(shù)依賴集候選鍵的求解方法一、阿姆斯特朗公理及推論是一系列推理規(guī)則最早出現(xiàn)在1974年W.W.Armstrong的論文里他人與1977年提出改進(jìn)形式F=X→YF+侯選鍵X→Y在R中是否成立能從F導(dǎo)出的所有X→Y推導(dǎo)工具？問(wèn)題引入：

Armstrong公理是正確的。

方法：從函數(shù)依賴的定義出發(fā)A1自反律：若YX，則XY證：設(shè)u、v為r的任意兩個(gè)元組。若u[X]=v[X]，則u和v在X的任何子集上必然相等。由條件YX

，所以有：u[Y]=v[Y]，由u、v的任意性，并根據(jù)函數(shù)依賴的定義，可得XY。2、定理5.13、阿姆斯特朗公理的推論合并規(guī)則：若XY且XZ，則XYZ

分解規(guī)則：若XY，且ZY，則XZ

偽傳遞規(guī)則：若XY且WYZ，則WXZ增廣律傳遞律證：XYWX→ZWX→WYWY→Z作用：將一個(gè)FD分解成若干個(gè)右邊是單屬性的FD。用于確定關(guān)系的主鍵。4、定理5.2

如果Ai(i=1,…,n)是關(guān)系模式R的屬性,則XA1A2…An成立的充分必要條件是XAi(i=1,…,n)均成立。

1、X關(guān)于F的閉包設(shè)有關(guān)系模式R(U,F)和屬性集U={A1,A2,…,An}的子集X。則稱所有用阿姆斯特朗公理從F推導(dǎo)出的函數(shù)依賴X→Ai的屬性Ai組成的集合稱為X關(guān)于F的閉包，記為XF+，通常簡(jiǎn)記為X+。即

XF+={Ai|用公理從F推出的X→Ai}集合元素對(duì)比F+和X+設(shè)有關(guān)系模式R(U，F(xiàn))，U={A1,A2,…,An}是R的屬性集，F(xiàn)是R的屬性集U上的函數(shù)依賴集，X、Y是U的子集，則

XY能用Armstrong公理從F導(dǎo)出YX＋。該定理把判定XY是否能由F根據(jù)Armstrong公理導(dǎo)出的問(wèn)題求出X＋，判定Y是否為X＋的子集的問(wèn)題。2、定理5.3算法5.1

求屬性集X關(guān)于函數(shù)依賴集F的閉包X＋輸入：關(guān)系模式R的全部屬性集U,U上的函數(shù)依賴集F，U的子集X。輸出：X關(guān)于F的閉包X＋。計(jì)算方法：3、X關(guān)于F的閉包X＋的計(jì)算例5.4已知R(U),U={A,B,C,D,E,G}，R上的FD集F={AB→C,C→A,BC→D,ACD→B，D→EG,BE→C,CG→BD,CE→AG}，X=BD，求X＋，BD→A是否成立？(1)X（0）=BD。(2)X（1）=BDEG(3)X（2）=BCDEG(4)X（3）=ABCDEGX＋=ABCDEGA∈BD＋，故BD→A成立4、舉例Z=EGBD=X(0)一個(gè)函數(shù)依賴集F的閉包F＋通常包含很多函數(shù)依賴，有些函數(shù)依賴是無(wú)意義的，如平凡的函數(shù)依賴，還有一些是可以推導(dǎo)出的，即無(wú)關(guān)的函數(shù)依賴。如果將每一個(gè)函數(shù)依賴看作是對(duì)關(guān)系的一個(gè)約束，要檢查F＋中的每一個(gè)函數(shù)依賴對(duì)應(yīng)的約束，顯然是一件很繁重的任務(wù)。如果能找出一個(gè)與F等價(jià)的、包含較少數(shù)目函數(shù)依賴的函數(shù)依賴集G，則可以簡(jiǎn)化此工作。最小函數(shù)依賴集的概念由此而提出。三、最小函數(shù)依賴集

定義5.5設(shè)F和G是兩個(gè)函數(shù)依賴集，如果F＋＝G＋，則稱F和G等價(jià)。如果F和G等價(jià)，則稱F覆蓋G，同時(shí)也稱G覆蓋F。1、函數(shù)依賴集的等價(jià)與覆蓋作用：任一函數(shù)依賴集都可轉(zhuǎn)化成由右端只有單一屬性的依賴組成的集合。該結(jié)論是最小函數(shù)依賴集的基礎(chǔ)。推論每一個(gè)函數(shù)依賴集F都被其右端只有一個(gè)屬性的函數(shù)依賴組成的依賴集G所覆蓋。滿足下列條件的函數(shù)依賴集F稱為最小函數(shù)依賴集。①F中每一個(gè)FD的右端都是單個(gè)屬性；②對(duì)F中任何FD:XA，F(xiàn)-{XA}不等價(jià)于F；③對(duì)F中的任何FD:XA和X的任何真子集Z，(F-{XA})∪{ZA}不等價(jià)于F。2、最小函數(shù)依賴集F沒(méi)有多余的FD每個(gè)FD左端無(wú)多余的屬性求解方法（1）用分解規(guī)則將F中的所有函數(shù)依賴分解成右端為單個(gè)屬性的函數(shù)依賴；Armstrong公理的推論分解規(guī)則：若XY，且ZY，則XZ求解方法（續(xù)二）（3）去掉左端多余的屬性對(duì)于F中左端是非單屬性的函數(shù)依賴（XYA），假設(shè)要判斷Y是否是多余的屬性①G=(F-{XYA})∪{XA}；②求X關(guān)于F的閉包XF+；③如果A不屬于XF+，則XA不在F+中，說(shuō)明Y不是多余的屬性，接著判別X是否是多余的屬性；如果A屬于XF+，則說(shuō)明Y是多余的屬性，F(xiàn)=G。ABC，CA，BCD，ACDB，DEG，BEC，CGBD，CEAGF=ABC，CA，BCD，ACDB,DE,DG，BEC，CGB，CGD，CEA,CEG①F1=例5.5：求函數(shù)依賴集F的最小函數(shù)依賴集法1：3、舉例②F21=ABC，CA，BCD，ACDB,DE,DG，BEC，CGB，CGD，CEA,CEG①F1=ABC，CA，BCD，ACDB，DE，DG，BEC，CGD，CEA,CEG3、舉例（續(xù)一）例5.5：求函數(shù)依賴集F的最小函數(shù)依賴集ABC，CA，BCD，ACDB，DE，DG，BEC，CGD，CEG②F22=③F3=ABC，CA，BCD，CDB，DE，DG，BEC，CGD，CEG3、舉例（續(xù)三）例5.5：求函數(shù)依賴集F的最小函數(shù)依賴集②F21=ABC，CA，BCD，DE，DG，BEC，CGB，CEGABC，CA，BCD，ACDB,DE,DG，BEC，CGBCGD，CEA,CEG①F1=3、舉例（續(xù)四）例5.5：求函數(shù)依賴集F的最小函數(shù)依賴集法2：四、候選鍵的求解方法3、候選鍵的一般求解方法①將所有屬性分為L(zhǎng)、R、N和LR四類(lèi)，并令X代表L和N類(lèi)，Y代表LR類(lèi)；②求XF+：若XF+包含了R的全部屬性，則X是R的唯一候選鍵，轉(zhuǎn)⑧；③在Y中取一屬性A，并求(XA)F+：若(XA)F+包含了R的全部屬性，則XA為的一個(gè)候選鍵；④重復(fù)③，直到Y(jié)中的屬性依次取完為止；⑤從Y中除去所有已成為主屬性的屬性A；四、候選鍵的求解方法3、候選鍵的一般求解法⑥在剩余的屬性中依次取兩個(gè)屬性、三個(gè)屬性，…，將其記為集合B，并求(XB)F+：若(XB)F+包含了R的全部屬性，且自身不包含已求出的候選鍵，則XB為R的一個(gè)候選鍵；⑦重復(fù)⑥，直到Y(jié)中的屬性按⑥的組合依次取完為止；⑧輸出候選鍵，算法結(jié)束。R的候選鍵：A、E、BC和CD四、候選鍵的求解方法3、候選鍵的一般求解法例:設(shè)有關(guān)系模式R（A,B,C,D,E），R的函數(shù)依賴集F＝{ABC,CDE,BD,E