4．1比例線段(3)1.已知點M是線段AB延長線上一點，且eq\f(AM,BM)＝eq\f(5,2)，則eq\f(AB,BM)的值為(A)A.eq\f(3,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,5)D.eq\f(5,2)2．已知b是a，c的比例中項，且a∶b＝7∶3，則b∶c等于(B)A．9∶7B．7∶3C．3∶7D．7∶9(第3題)3．如圖，在△ABC中，D是AB上一點．若AD＝4，BD＝5，AC是AD與AB的比例中項，則AC等于(B)A．2eq\r(5)B．6C．20D．364．已知線段a＝3cm，b＝6cm.若線段b是線段a與c的比例中項，則c＝__12__cm.5.已知線段AB＝8cm，C為AB的黃金分割點，則較長線段AC的長為(4_eq\r(5)－4)cm.6．求下列各組數(shù)的比例中項．(1)－5，－125；【解】設(shè)比例中項為x，則x2＝(－5)×(－125)＝625，∴x＝±25.∴－5，－125的比例中項為±25.(2)eq\f(\r(5)－1,2)，eq\f(\r(5)＋1,2).【解】設(shè)比例中項為x，則x2＝eq\f(\r(5)－1,2)×eq\f(\r(5)＋1,2)＝1，∴x＝±1.∴eq\f(\r(5)－1,2)，eq\f(\r(5)＋1,2)的比例中項是±1.7.電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時，站在舞臺上黃金分割點處最自然得體．若舞臺AB長為20m，試計算主持人應(yīng)走到離點A大約多少米處最自然得體(結(jié)果精確到0.1m)?【解】設(shè)主持人應(yīng)走到離A點大約x(m)處，根據(jù)黃金分割點的定義，得x∶20＝，解得x≈(m)；另一個黃金分割點在距離A點20－≈(m)處．故主持人應(yīng)走到離點A大約7.6m或12.4m處最自然得體．(第8題)8．如圖，點E是正方形ABCD邊AD的中點，延長DA至點F，使EF＝EB，以AF為邊作正方形AFGH.求證：H是AB的黃金分割點．【解】設(shè)AD＝AB＝x，則AE＝eq\f(1,2)x，BE＝eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)x.∵EF＝EB＝eq\f(\r(5),2)x，∴FA＝EF－AE＝eq\f(\r(5)－1,2)x，∴AH＝AF＝eq\f(\r(5)－1,2)x＝eq\f(\r(5)－1,2)AB.∴H是AB的黃金分割點．(第9題)9.已知頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形(底邊與腰的比值為黃金分割比)．如圖，已知△ABC，△BDC，△DEC都是黃金三角形，AB＝1，求DE的長度．【解】∵△ABC，△BDC，△DEC都是黃金三角形，∴eq\f(BC,AB)＝eq\f(DC,BC)＝eq\f(\r(5)－1,2)，DE＝DC.又∵AB＝1，∴BC＝eq\f(\r(5)－1,2).∴CD＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3－\r(5),2)，∴DE＝CD＝eq\f(3－\r(5),2).10．人體下半身(腳底到肚臍的長度)與身高的比例越接近，越給人美感．遺憾的是，即使是身材修長的芭蕾舞演員也達不到如此的完美．某女士身高1.68m，下半身1.02m，那么她應(yīng)選擇多高的高跟鞋才能使她看起來更美呢(精確到0.01m)?【解】設(shè)她應(yīng)選擇x(m)的高跟鞋，則eq\f(x＋,x＋＝，解得x≈，即她應(yīng)選擇0.05m高的高跟鞋．(第11題)11．如圖，某種樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個端點A，B固定在樂器板面上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點．試確定BC，AD以及CD的長．【解】∵AC＝BD＝eq\f(\r(5)－1,2)×80＝(40eq\r(5)－40)cm，∴BC＝AD＝80－(40eq\r(5)－40)＝(120－40eq\r(5))cm，∴CD＝AC－AD＝(40eq\r(5)－40)－(120－40eq\r(5))＝(80eq\r(5)－160)cm.12．如圖，用紙折出黃金分割點：裁一張正方形的紙片ABCD，先折出BC的中點E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落到線段EA上，得到點B的新位置B′，因而EB′＝EB.類似地，折疊EA在AB上得到點B′的新位置B″，使AB″＝AB′，這時B″就是AB的黃金分割點．請你證明這個結(jié)論．(第12題)【解】設(shè)正方形ABCD的邊長為2.∵E為BC的中點，∴BE＝1，∴