2.4平面任意力系的簡化與平衡工程力學1§

2.4平面任意力系的簡化與平衡§2.4.1力的平移定理§2.4.2平面任意力系的簡化§2.4.3平面任意力系的平衡條件和平衡方程§2.4.4剛體系統(tǒng)的平衡問題平面任意力系習題課

2§

2.4平面任意力系的簡化與平衡平面任意力系(coplanar

arbitraryforcesystem)

：各力的作用線在同一平面內，既不匯交為一點又不相互平行的力系叫平面一般力系.[例]力系向一點簡化：把未知力系（平面任意力系）變成已知力系（平面匯交力系和平面力偶系）平面任意力系3①力的平移定理揭示了力與力偶的關系：力力+力偶②力平移的條件是附加一個力偶m，且m與d有關，m=F?d

③力的平移定理是力系簡化的理論基礎。說明：平面一般力系5§2.4.2平面一般力系向一點簡化匯交力系力，R'(主矢)力偶系力偶，MO(主矩)一般力系（任意力系）（未知力系）匯交力系+力偶系向一點簡化（已知力系）(作用在簡化中心)(作用在該平面上)(Reductionofacoplanarforcesystemtoagivencenter)

平面一般力系6

大?。?/p>

主矢

方向：

（移動效應）簡化中心(與簡化中心位置無關)[因主矢等于各力的矢量和]平面一般力系7固定端（插入端）約束說明

①認為Fi這群力在同一平面內;②將Fi向A點簡化得一力和一力偶;③RA方向不定可用正交分力YA,XA表示;④YA,XA,MA為固定端約束反力;⑤YA,XA限制物體平動,

MA為限制轉動。平面一般力系9簡化結果：主矢

，主矩MO

，下面分別討論。

②

=0,MO≠0即簡化結果為一合力偶,MO=M此時剛體等效于只有一個力偶的作用，因為力偶可以在剛體平面內任意移動，故這時，主矩與簡化中心O無關。①

=0，MO

=0，則力系平衡,下節(jié)專門討論。

③

≠0,MO

=0,即簡化為一個作用于簡化中心的合力。這時，簡化結果就是合力（這個力系的合力）,。（此時與簡化中心有關，換個簡化中心，主矩不為零）

平面一般力系10④≠0,MO

≠0,為最一般的情況。此種情況還可以繼續(xù)簡

化為一個合力。合力的大小等于原力系的主矢合力的作用線位置平面一般力系11例：如圖所示結構，半徑r=0.4m,P1=20kN,P2=6kN,P3=2kN,M=4kN.m,=30°,試將此力系向O點簡化，求出主矢和主矩。平面一般力系13kNkN計算主矢R′：解：建立參考坐標系如圖(a)所示。

計算主矩MO：平面一般力系14例：如圖所示簡支梁AB上作用有荷載P1、P2、P3，且P1=30kN，P2=15kN，P3=5kN，試求合力R及其合力作用點位置。平面一般力系15

=

0為力平衡

MO=

0為力偶也平衡 §2.4.3平面一般力系的平衡條件與平衡方程所以平面任意力系平衡的充要條件為：

力系的主矢和主矩MO都等于零，即：由于平面一般力系17②二矩式條件：x軸不AB連線③三矩式條件：A,B,C不在同一直線上上式有三個獨立方程，只能求出三個未知數(shù)。①一矩式平面一般力系18

[例]已知：P,a,求：A、B兩點的支座反力？解：①選AB梁研究②畫受力圖（以后注明解除約束，可把支反力直接畫在整體結構的原圖上）解除約束平面一般力系19所以平面平行力系的平衡方程為：二矩式條件：AB連線不能平行于力的作用線一矩式實質上是各力在x軸上的投影恒等于零，即 恒成立，所以只有兩個獨立方程，只能求解兩個獨立的未知數(shù)。平面一般力系21[例]已知：P=20kN,m=16kN·m,q=20kN/m,a=0.8m 求：A、B的支反力。解：研究AB梁解得：平面一般力系22[例]已知：塔式起重機P=700kN,W=200kN(最大起重量)，尺寸如圖。求：①保證滿載和空載時不致翻倒，平衡塊Q=？②當Q=180kN時，求滿載時軌道A、B給起重機輪子的反力？ 平面一般力系23⑵求當Q=180kN，滿載W=200kN時，NA,NB為多少由平面平行力系的平衡方程可得：解得：平面一般力系25本節(jié)作業(yè)：平面一般力系26[例]二、物體系統(tǒng)的平衡問題外力：外界物體作用于系統(tǒng)上的力叫外力。內力：系統(tǒng)內部各物體之間的相互作用力叫內力。物體系統(tǒng)（物系）：由若干個物體通過約束所組成的系統(tǒng)～。平面一般力系29物系平衡的特點：①物系靜止②物系中每個單體也是平衡的。每個單體可列3個平衡方程，整個系統(tǒng)可列3n個方程（設物系中有n個物體）解物系問題的一般方法：

由整體局部（常用），由局部整體（用較少）平面一般力系30[例]已知：OA=R,AB=l,當OA水平時，沖壓力為P時，求：①M=？②O點的約束反力？③AB桿內力？ ④沖頭給導軌的側壓力？ 解：研究B平面一般力系31[負號表示力的方向與圖中所設方向相反]再研究輪平面一般力系32[例]圖(a)所示三根長度均為2l的桿件位于同一鉛直平面內，各桿的中點B、C、D用鉸鏈連接，A為固定鉸鏈支座，E為活動鉸鏈支座，在F點作用有鉛直力P．不計各桿自重，試求AC桿上B點受到的約束反力．平面一般力系33

解本題共有九個未知約束反力，三個構件均受平面任意力系作用，所能列寫的平衡方程的最大數(shù)目為九個，因此是一靜定問題。

解法1(1)取整體為研究對象，受力圖如圖(b)所示，根據幾何關系可求得

列寫平衡方程，有

(2)取BE桿為研究對象，受力圖如圖(c)所示，列寫平衡方程，有平面一般力系34平面一般力系35平面一般力系36

討論：(1)從本例可以看到求解物體系統(tǒng)的平衡問題時，一般總是先選取整體為研究對象，當整體出現(xiàn)的未知量有三個時，可以全部求出(是否需要全部求出，根據具體情況而定)。當未知量超過三個時，可以求解出其中的部分未知量。(2)對于一個結構，往往不需求出整個系統(tǒng)所有的約束反力，而是只需求解部分約束反力，這是求解物體系平衡問題時經常遇到的，在選擇研究對象及列寫平衡方程時，應考慮到盡量避開不需要求解的未知量，而用最少數(shù)目的平衡方程求得所求的未知量，以使求解過程簡單。平面一般力系37

[例]圖(a)所示結構由三個構件AB、BD及DE構成，A端為固定端約束，B及D處用光滑圓柱鉸鏈連接、BD桿的中間支承C及E端均為可動鉸鏈支座，已知集中載荷P＝10kN，均布載荷的集度q＝5kN/m，力偶矩大小M＝30kNm，梁的尺寸如圖所示，單位為m，各構件自重不計。試求A、C及E處的約束反力。解

本題的特點是結構受到有各種不同類型的載荷，結構較復雜，可以根據題目要求來靈活選取研究對象和列寫平衡方程。平面一般力系38平面一般力系39平面一般力系40

討論：(1)本題要求解的約束反力共有五個，按上述求解方法只列寫了五個平衡方程，因此這種解題方案是可取的。請讀者考慮，是否還有其它的解題方案能夠只列寫五個平衡方程便能求出題目要求的五個未知量。(2)解題中容易發(fā)生的錯誤是：在應用合力矩定理計算力