測量誤差及數(shù)據(jù)處理工程測量

二零零八年八月

測量誤差及數(shù)據(jù)處理第七講本次授課目的和要求本次授課的重點與難點分析①誤差的定義及分類②衡量觀測值精度的指標（重點）③誤差傳播定律（難點）④平均值及其中誤差衡量觀測值精度的指標誤差傳播定律測量誤差及數(shù)據(jù)處理一、測量誤差的定義及其來源1、測量誤差的定義

被觀測量客觀上存在一個真實值，簡稱真值。對該量進行觀測得到觀測值。觀測值與真值之差為真誤差，即真誤差=觀測值-真值

在測量工作中，對某量的觀測值與該量的真值間存在著必然的差異，這個差異稱為誤差。但有時由于人為的疏忽或措施不周也會造成觀測值與真值之間的較大差異，這不屬于誤差而是粗差。誤差與粗差的根本區(qū)別在于前者是不可避免的，而后者是有可能避免的。測量誤差及數(shù)據(jù)處理具體來說，測量誤差主要來自以下三個方面：(1)外界條件

主要指觀測環(huán)境中氣溫、氣壓、空氣濕度和清晰度、風力以及大氣折光等因素的不斷變化，導致測量結果中帶有誤差。(2)儀器條件

儀器在加工和裝配等工藝過程中，不能保證儀器的結構能滿足各種幾何關系，這樣的儀器必然會給測量帶來誤差。(3)觀測者的自身條件

由于觀測者感官鑒別能力所限以及技術熟練程度不同，也會在儀器對中、整平和瞄準等方面產生誤差。測量誤差及數(shù)據(jù)處理二、誤差分類

測量誤差按其對測量結果影響的性質，可分為粗差系統(tǒng)誤差偶然誤差。測量誤差及數(shù)據(jù)處理1、粗差粗差也稱錯誤，是由于觀測者使用儀器不正確或疏忽大意、或因外界條件發(fā)生意外的顯著變動引起的差錯。粗差數(shù)值偏大，使觀測結果顯著偏離真值。嚴格遵守測量規(guī)范、工作仔細謹慎并對觀測結果進行必要的檢核可以避免和發(fā)現(xiàn)粗差。測量誤差及數(shù)據(jù)處理例如：用一把名義長度為50m的鋼尺去量距，經(jīng)檢定鋼尺的實際長度為50.005m，則每量一尺，就帶有+0.005m的誤差(“+”表示在所量距離值中應加上)，丈量的尺段越多，所產生的誤差越大。所以這種誤差與所丈量的距離成正比。再如：在水準測量時，當視準軸與水準管軸不平行而產生夾角時，對水準尺的讀數(shù)所產生的誤差為L*i″/ρ″（ρ″=206265″，是一弧度對應的秒值)，它與水準儀至水準尺之間的距離L成正比，所以這種誤差按某種規(guī)律變化。測量誤差及數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)誤差具有明顯的規(guī)律性和累積性，對測量結果的影響很大。但是由于系統(tǒng)誤差的大小和符號有一定的規(guī)律，所以可以采取措施加以消除或減少其影響：（1）測定其大小，對觀測值加以改正（2）采用對稱觀測的方法（3）檢校儀器測量誤差及數(shù)據(jù)處理3、偶然誤差在相同的觀測條件下，對某量進行了n次觀測，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號均不一定，則這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機誤差。例如，用經(jīng)緯儀測角時的照準誤差，鋼尺量距時的讀數(shù)誤差等，都屬于偶然誤差。偶然誤差，就其個別值而言，在觀測前我們確實不能預知其出現(xiàn)的大小和符號。但若在一定的觀測條件下，對某量進行多次觀測，誤差列卻呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，稱為統(tǒng)計規(guī)律。而且，隨著觀測次數(shù)的增加，偶然誤差的規(guī)律性表現(xiàn)得更加明顯。

測量誤差及數(shù)據(jù)處理由上表統(tǒng)計總結出偶然誤差具有如下四個特征：

①在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值(本例為24″)；②絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多(或概率大)；③絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的機會相等；④在相同條件下，同一量的同精度觀測，其偶然誤差的算術平均值，隨著觀測次數(shù)的無限增大而趨于零。

測量誤差及數(shù)據(jù)處理第一個特性說明偶然誤差的“有界性”。它說明偶然誤差的絕對值有個限值，若超過這個限值，說明觀測條件不正?；蛴写植畲嬖冢坏诙€特性反映了偶然誤差的“密集性”，即越是靠近0″，誤差分布越密集；第三個特性反映了偶然誤差的“對稱性”，即在各個區(qū)間內，正負誤差個數(shù)相等或極為接近；第四個特性反映了偶然誤差的“抵償性”，它可由第三特性導出，即在大量的偶然誤差中，正負誤差有相互抵消的特征。因此，當n無限增大時，偶然誤差的算術平均值應趨于零。

測量誤差及數(shù)據(jù)處理6.2、衡量觀測值精度的指標測量成果中都不可避免地含有誤差，在測量工作中，使用“精度”來判斷觀測成果質量的好壞。所謂精度，就是指誤差分布的密集或離散程度。誤差分布密集，誤差就小，精度就高；反之，誤差分布離散，誤差就大，精度就低。衡量觀測值精度的指標主要有：

中誤差相對誤差極限誤差

測量誤差及數(shù)據(jù)處理2用真誤差計算中誤差有時，我們可以知道某些量的真值，這樣，就可很容易地求得觀測值的真誤差。例如，三角形內角和的真值為180°，通過觀測三角形的三個內角，就可以求得三角形內角和的真誤差(即三角形的閉合差)，據(jù)此，就可以利用上式計算中誤差。測量誤差及數(shù)據(jù)處理3用改正數(shù)計算中誤差

所謂改正數(shù)，就是最或是值與觀測值之差，用v表示，即：

v=L-l式中v為觀測值的改正數(shù)；l為觀測值；L為觀測值的最或是值。設對某個量進行n次觀測，觀測值為li（i=1,2…n)，則它的最或是值就是n個觀測值的算術平均值，即

測量誤差及數(shù)據(jù)處理于是改正數(shù)為vi＝L－li（i＝１，２…n）根據(jù)誤差理論的推導(此處從略)，可得白塞爾公式：

上式求得的為一次觀測值的中誤差。這為中誤差的計算式。測量誤差及數(shù)據(jù)處理二、相對誤差

中誤差和真誤差都是絕對誤差，誤差的大小與觀測量的大小無關。然而，有些量如長度，絕對誤差不能全面反映觀測精度，因為長度丈量的誤差與長度大小有關。例如，分別丈量了兩段不同長度的距離，一段為100m，另一段為200m，但中誤差皆為±0.02m。顯然不能認為這兩段距離觀測成果的精度相同。為此，需要引入“相對誤差”的概念，以便能更客觀地反映實際測量精度。

測量誤差及數(shù)據(jù)處理相對誤差的定義為：中誤差的絕對值與相應觀測值之比，用K表示。相對誤差習慣于用分子為1的分數(shù)形式表示，分母愈大，表示相對誤差愈小，精度也就愈高。

K1=0.02/100=1/5000K2=0.02/200=1/10000測量誤差及數(shù)據(jù)處理三、極限誤差

根據(jù)偶然誤差的第一個特性，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值，這個限值就是極限誤差，簡稱限差。限差是偶然誤差的限制值，用作觀測成果取舍的標準。如果觀測值的偶然誤差超過限差，則認為該觀測值不合格，應舍去不用。因此，測量上常取三倍中誤差作為極限誤差Δ限，也稱允許誤差，即：

Δ限=3m測量誤差及數(shù)據(jù)處理本節(jié)所要討論的就是在觀測值中誤差已知的情況下，如何求觀測值函數(shù)中誤差的問題。闡述觀測值中誤差與函數(shù)中誤差之間數(shù)學關系的定律，稱為誤差傳播定律。一、線性函數(shù)1倍數(shù)函數(shù)設有函數(shù)Z=Kx式中x為直接觀測值，其中誤差為mx；Ｋ為常數(shù)；Z為觀測值x的函數(shù)。若對x作n次同精度觀測，則有：mＺ2＝Ｋ2mx2或mＺ＝Ｋmx上式表明：對于倍數(shù)函數(shù)，函數(shù)的中誤差等于觀測值中誤差的K倍。測量誤差及數(shù)據(jù)處理2和、差函數(shù)設有函數(shù)Z=x±y式中，x、y為兩個相互獨立的觀測值，均作了n次觀測，其中誤差分別為mx和my。用同樣的方法可推導出:

或測量誤差及數(shù)據(jù)處理6.4算術平均值及其中誤差在相同的觀測條件下對某未知量進行了一組等精度觀測，其觀測值分別為，觀測值的真值為X，則觀測值的真誤差為：將等式兩邊取和并除以觀測次數(shù)n,得：[Δ]/n＝[l]/n-X式中［l］/n稱為算術平均值，習慣上以L表示；當觀測次數(shù)n無限增大時，根據(jù)偶然誤差的第四特性，式中［Δ］/n趨于零。于是有：L=X。上式表明，當觀測次數(shù)無限增多時，各個觀測值的算術平均值趨近于未知量的真值。當n為有限值時，通常取算術平均值為最可靠值(最或是值)，并以它作為測量的最后成果。

測量誤差及數(shù)據(jù)處理

算術平均值的一般表達式為：由于觀測值的真誤差Δi一般是不知道的，所以實際工作中常采用觀測值的改正數(shù)vi來計算中誤差。各觀測值的改正數(shù)：，將上式兩邊求和，有:［v］=nL-［l］因L=[l]/n，所以［v］=0。此式可作為改正數(shù)計算正確性的檢查。算得改正數(shù)后，可計算觀測值的中誤差：測量誤差及數(shù)據(jù)處理由于算術平均值是觀測值的線性函數(shù)，即：因是同精度觀測，各觀測值的中誤差均為m。設算術平均值的中誤差為M，則按線性函數(shù)中誤差傳播定律公式，得：即

上式表明，算術平均值的中誤差與觀測次數(shù)的平方根成反比，或者說，算術平均值的精度比各觀測值的精度提高了倍。測量誤差及數(shù)據(jù)處理例4用DJ6型經(jīng)緯儀觀測某水平角4測回，觀測值為248°32′18″、248°31′54″、248°31′42″、248°32′06″。試求一測回觀測值的中誤差、該角最或是值及其中誤差。

解：最或是值L=（248°32′18″+248°31′54″+248°31′42″+248°32′06″）/4=248°32′00″[v]=0[vv]=12′則一測回觀測值中誤差=±2′

最或是值中誤差=m/2=±1′權(weight)的概念

2、規(guī)律：權與中誤差