測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理工程測(cè)量

二零零八年八月

測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理第七講本次授課目的和要求本次授課的重點(diǎn)與難點(diǎn)分析①誤差的定義及分類(lèi)②衡量觀(guān)測(cè)值精度的指標(biāo)（重點(diǎn)）③誤差傳播定律（難點(diǎn)）④平均值及其中誤差衡量觀(guān)測(cè)值精度的指標(biāo)誤差傳播定律測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理一、測(cè)量誤差的定義及其來(lái)源1、測(cè)量誤差的定義

被觀(guān)測(cè)量客觀(guān)上存在一個(gè)真實(shí)值，簡(jiǎn)稱(chēng)真值。對(duì)該量進(jìn)行觀(guān)測(cè)得到觀(guān)測(cè)值。觀(guān)測(cè)值與真值之差為真誤差，即真誤差=觀(guān)測(cè)值-真值

在測(cè)量工作中，對(duì)某量的觀(guān)測(cè)值與該量的真值間存在著必然的差異，這個(gè)差異稱(chēng)為誤差。但有時(shí)由于人為的疏忽或措施不周也會(huì)造成觀(guān)測(cè)值與真值之間的較大差異，這不屬于誤差而是粗差。誤差與粗差的根本區(qū)別在于前者是不可避免的，而后者是有可能避免的。測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理具體來(lái)說(shuō)，測(cè)量誤差主要來(lái)自以下三個(gè)方面：(1)外界條件

主要指觀(guān)測(cè)環(huán)境中氣溫、氣壓、空氣濕度和清晰度、風(fēng)力以及大氣折光等因素的不斷變化，導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果中帶有誤差。(2)儀器條件

儀器在加工和裝配等工藝過(guò)程中，不能保證儀器的結(jié)構(gòu)能滿(mǎn)足各種幾何關(guān)系，這樣的儀器必然會(huì)給測(cè)量帶來(lái)誤差。(3)觀(guān)測(cè)者的自身?xiàng)l件

由于觀(guān)測(cè)者感官鑒別能力所限以及技術(shù)熟練程度不同，也會(huì)在儀器對(duì)中、整平和瞄準(zhǔn)等方面產(chǎn)生誤差。測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理二、誤差分類(lèi)

測(cè)量誤差按其對(duì)測(cè)量結(jié)果影響的性質(zhì)，可分為粗差系統(tǒng)誤差偶然誤差。測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理1、粗差粗差也稱(chēng)錯(cuò)誤，是由于觀(guān)測(cè)者使用儀器不正確或疏忽大意、或因外界條件發(fā)生意外的顯著變動(dòng)引起的差錯(cuò)。粗差數(shù)值偏大，使觀(guān)測(cè)結(jié)果顯著偏離真值。嚴(yán)格遵守測(cè)量規(guī)范、工作仔細(xì)謹(jǐn)慎并對(duì)觀(guān)測(cè)結(jié)果進(jìn)行必要的檢核可以避免和發(fā)現(xiàn)粗差。測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理例如：用一把名義長(zhǎng)度為50m的鋼尺去量距，經(jīng)檢定鋼尺的實(shí)際長(zhǎng)度為50.005m，則每量一尺，就帶有+0.005m的誤差(“+”表示在所量距離值中應(yīng)加上)，丈量的尺段越多，所產(chǎn)生的誤差越大。所以這種誤差與所丈量的距離成正比。再如：在水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)，當(dāng)視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)管軸不平行而產(chǎn)生夾角時(shí)，對(duì)水準(zhǔn)尺的讀數(shù)所產(chǎn)生的誤差為L(zhǎng)*i″/ρ″（ρ″=206265″，是一弧度對(duì)應(yīng)的秒值)，它與水準(zhǔn)儀至水準(zhǔn)尺之間的距離L成正比，所以這種誤差按某種規(guī)律變化。測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)誤差具有明顯的規(guī)律性和累積性，對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響很大。但是由于系統(tǒng)誤差的大小和符號(hào)有一定的規(guī)律，所以可以采取措施加以消除或減少其影響：（1）測(cè)定其大小，對(duì)觀(guān)測(cè)值加以改正（2）采用對(duì)稱(chēng)觀(guān)測(cè)的方法（3）檢校儀器測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理3、偶然誤差在相同的觀(guān)測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行了n次觀(guān)測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號(hào)均不一定，則這種誤差稱(chēng)為偶然誤差，又稱(chēng)為隨機(jī)誤差。例如，用經(jīng)緯儀測(cè)角時(shí)的照準(zhǔn)誤差，鋼尺量距時(shí)的讀數(shù)誤差等，都屬于偶然誤差。偶然誤差，就其個(gè)別值而言，在觀(guān)測(cè)前我們確實(shí)不能預(yù)知其出現(xiàn)的大小和符號(hào)。但若在一定的觀(guān)測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行多次觀(guān)測(cè)，誤差列卻呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)規(guī)律。而且，隨著觀(guān)測(cè)次數(shù)的增加，偶然誤差的規(guī)律性表現(xiàn)得更加明顯。

測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理由上表統(tǒng)計(jì)總結(jié)出偶然誤差具有如下四個(gè)特征：

①在一定的觀(guān)測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值(本例為24″)；②絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多(或概率大)；③絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等；④在相同條件下，同一量的同精度觀(guān)測(cè)，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀(guān)測(cè)次數(shù)的無(wú)限增大而趨于零。

測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理第一個(gè)特性說(shuō)明偶然誤差的“有界性”。它說(shuō)明偶然誤差的絕對(duì)值有個(gè)限值，若超過(guò)這個(gè)限值，說(shuō)明觀(guān)測(cè)條件不正?；蛴写植畲嬖?；第二個(gè)特性反映了偶然誤差的“密集性”，即越是靠近0″，誤差分布越密集；第三個(gè)特性反映了偶然誤差的“對(duì)稱(chēng)性”，即在各個(gè)區(qū)間內(nèi)，正負(fù)誤差個(gè)數(shù)相等或極為接近；第四個(gè)特性反映了偶然誤差的“抵償性”，它可由第三特性導(dǎo)出，即在大量的偶然誤差中，正負(fù)誤差有相互抵消的特征。因此，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值應(yīng)趨于零。

測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理6.2、衡量觀(guān)測(cè)值精度的指標(biāo)測(cè)量成果中都不可避免地含有誤差，在測(cè)量工作中，使用“精度”來(lái)判斷觀(guān)測(cè)成果質(zhì)量的好壞。所謂精度，就是指誤差分布的密集或離散程度。誤差分布密集，誤差就小，精度就高；反之，誤差分布離散，誤差就大，精度就低。衡量觀(guān)測(cè)值精度的指標(biāo)主要有：

中誤差相對(duì)誤差極限誤差

測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理2用真誤差計(jì)算中誤差有時(shí)，我們可以知道某些量的真值，這樣，就可很容易地求得觀(guān)測(cè)值的真誤差。例如，三角形內(nèi)角和的真值為180°，通過(guò)觀(guān)測(cè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，就可以求得三角形內(nèi)角和的真誤差(即三角形的閉合差)，據(jù)此，就可以利用上式計(jì)算中誤差。測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理3用改正數(shù)計(jì)算中誤差

所謂改正數(shù)，就是最或是值與觀(guān)測(cè)值之差，用v表示，即：

v=L-l式中v為觀(guān)測(cè)值的改正數(shù)；l為觀(guān)測(cè)值；L為觀(guān)測(cè)值的最或是值。設(shè)對(duì)某個(gè)量進(jìn)行n次觀(guān)測(cè)，觀(guān)測(cè)值為li（i=1,2…n)，則它的最或是值就是n個(gè)觀(guān)測(cè)值的算術(shù)平均值，即

測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理于是改正數(shù)為vi＝L－li（i＝１，２…n）根據(jù)誤差理論的推導(dǎo)(此處從略)，可得白塞爾公式：

上式求得的為一次觀(guān)測(cè)值的中誤差。這為中誤差的計(jì)算式。測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理二、相對(duì)誤差

中誤差和真誤差都是絕對(duì)誤差，誤差的大小與觀(guān)測(cè)量的大小無(wú)關(guān)。然而，有些量如長(zhǎng)度，絕對(duì)誤差不能全面反映觀(guān)測(cè)精度，因?yàn)殚L(zhǎng)度丈量的誤差與長(zhǎng)度大小有關(guān)。例如，分別丈量了兩段不同長(zhǎng)度的距離，一段為100m，另一段為200m，但中誤差皆為±0.02m。顯然不能認(rèn)為這兩段距離觀(guān)測(cè)成果的精度相同。為此，需要引入“相對(duì)誤差”的概念，以便能更客觀(guān)地反映實(shí)際測(cè)量精度。

測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理相對(duì)誤差的定義為：中誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀(guān)測(cè)值之比，用K表示。相對(duì)誤差習(xí)慣于用分子為1的分?jǐn)?shù)形式表示，分母愈大，表示相對(duì)誤差愈小，精度也就愈高。

K1=0.02/100=1/5000K2=0.02/200=1/10000測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理三、極限誤差

根據(jù)偶然誤差的第一個(gè)特性，在一定的觀(guān)測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值，這個(gè)限值就是極限誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)限差。限差是偶然誤差的限制值，用作觀(guān)測(cè)成果取舍的標(biāo)準(zhǔn)。如果觀(guān)測(cè)值的偶然誤差超過(guò)限差，則認(rèn)為該觀(guān)測(cè)值不合格，應(yīng)舍去不用。因此，測(cè)量上常取三倍中誤差作為極限誤差Δ限，也稱(chēng)允許誤差，即：

Δ限=3m測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理本節(jié)所要討論的就是在觀(guān)測(cè)值中誤差已知的情況下，如何求觀(guān)測(cè)值函數(shù)中誤差的問(wèn)題。闡述觀(guān)測(cè)值中誤差與函數(shù)中誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律，稱(chēng)為誤差傳播定律。一、線(xiàn)性函數(shù)1倍數(shù)函數(shù)設(shè)有函數(shù)Z=Kx式中x為直接觀(guān)測(cè)值，其中誤差為mx；Ｋ為常數(shù)；Z為觀(guān)測(cè)值x的函數(shù)。若對(duì)x作n次同精度觀(guān)測(cè)，則有：mＺ2＝Ｋ2mx2或mＺ＝Ｋmx上式表明：對(duì)于倍數(shù)函數(shù)，函數(shù)的中誤差等于觀(guān)測(cè)值中誤差的K倍。測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理2和、差函數(shù)設(shè)有函數(shù)Z=x±y式中，x、y為兩個(gè)相互獨(dú)立的觀(guān)測(cè)值，均作了n次觀(guān)測(cè)，其中誤差分別為mx和my。用同樣的方法可推導(dǎo)出:

或測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理6.4算術(shù)平均值及其中誤差在相同的觀(guān)測(cè)條件下對(duì)某未知量進(jìn)行了一組等精度觀(guān)測(cè)，其觀(guān)測(cè)值分別為，觀(guān)測(cè)值的真值為X，則觀(guān)測(cè)值的真誤差為：將等式兩邊取和并除以觀(guān)測(cè)次數(shù)n,得：[Δ]/n＝[l]/n-X式中［l］/n稱(chēng)為算術(shù)平均值，習(xí)慣上以L(fǎng)表示；當(dāng)觀(guān)測(cè)次數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，根據(jù)偶然誤差的第四特性，式中［Δ］/n趨于零。于是有：L=X。上式表明，當(dāng)觀(guān)測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，各個(gè)觀(guān)測(cè)值的算術(shù)平均值趨近于未知量的真值。當(dāng)n為有限值時(shí)，通常取算術(shù)平均值為最可靠值(最或是值)，并以它作為測(cè)量的最后成果。

測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理

算術(shù)平均值的一般表達(dá)式為：由于觀(guān)測(cè)值的真誤差Δi一般是不知道的，所以實(shí)際工作中常采用觀(guān)測(cè)值的改正數(shù)vi來(lái)計(jì)算中誤差。各觀(guān)測(cè)值的改正數(shù)：，將上式兩邊求和，有:［v］=nL-［l］因L=[l]/n，所以［v］=0。此式可作為改正數(shù)計(jì)算正確性的檢查。算得改正數(shù)后，可計(jì)算觀(guān)測(cè)值的中誤差：測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理由于算術(shù)平均值是觀(guān)測(cè)值的線(xiàn)性函數(shù)，即：因是同精度觀(guān)測(cè)，各觀(guān)測(cè)值的中誤差均為m。設(shè)算術(shù)平均值的中誤差為M，則按線(xiàn)性函數(shù)中誤差傳播定律公式，得：即

上式表明，算術(shù)平均值的中誤差與觀(guān)測(cè)次數(shù)的平方根成反比，或者說(shuō)，算術(shù)平均值的精度比各觀(guān)測(cè)值的精度提高了倍。測(cè)量誤差及數(shù)據(jù)處理例4用DJ6型經(jīng)緯儀觀(guān)測(cè)某水平角4測(cè)回，觀(guān)測(cè)值為248°32′18″、248°31′54″、248°31′42″、248°32′06″。試求一測(cè)回觀(guān)測(cè)值的中誤差、該角最或是值及其中誤差。

解：最或是值L=（248°32′18″+248°31′54″+248°31′42″+248°32′06″）/4=248°32′00″[v]=0[vv]=12′則一測(cè)回觀(guān)測(cè)值中誤差=±2′

最或是值中誤差=m/2=±1′權(quán)(weight)的概念

2、規(guī)律：權(quán)與中誤差