概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)任課教師:姚香娟一、概率論的起源概率論的起源之一是博奕問題。15～16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家帕喬利(Pacioli)、塔爾塔利亞(Tartaglia)和卡爾達(dá)諾的著述中曾討論過“如果兩人賭博提前結(jié)束，該如何分配賭金”等概率問題。1654年左右，愛好賭博的法國人梅雷（A．G．C．deMere）向帕斯卡提出了類似的合理分配賭金問題，引發(fā)了帕斯卡與費(fèi)馬之間探討概率論問題的多封通信，他們用不同的組合方法給出了這類問題的正確答案。荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯（C．Huygens，

1629～1695）訪問巴黎時(shí)了解到帕斯卡與費(fèi)馬的通信研究，對(duì)這類問題產(chǎn)生興趣并著《論賭博中的計(jì)算》

(1657）探討概率問題的原理。這些數(shù)學(xué)家主要以代數(shù)方法計(jì)算概率，他們的著述中出現(xiàn)了第一批概率論專門概念（如數(shù)學(xué)期望）與定理（如概率加法、乘法定理），標(biāo)志著概率論作為一門科學(xué)的誕生。

二內(nèi)容與學(xué)時(shí)第一章——第五章第六章——第八章概率論數(shù)理統(tǒng)計(jì)如何學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)?1.認(rèn)識(shí)其重要性,培養(yǎng)濃厚的學(xué)習(xí)興趣2.學(xué)數(shù)學(xué)最好的方式是做數(shù)學(xué)讀、聽、作

在科學(xué)上沒有平坦的大道,只有不畏勞苦沿著陡峭山路攀登的人,才有希望到達(dá)光輝的頂點(diǎn).馬克思3.學(xué)習(xí)要求:預(yù)習(xí)聽課(記筆記)復(fù)習(xí)、鞏固教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，周圣武編，煤炭工業(yè)出版社1、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，同濟(jì)版2、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》，華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系

參考書:三、教材與參考書另注：歷年考題和作業(yè)習(xí)題冊(cè)將近期印刷，自愿購買，近乎成本價(jià)。以班級(jí)為單位購買。購買時(shí)間：第十二周周三下午4點(diǎn)。地點(diǎn)：理A312

四、作業(yè)及答疑交作業(yè)時(shí)間：每周周二上課之前答疑：地點(diǎn)：教1-C300(答疑室)時(shí)間：周三7-8節(jié)課（第14-20周）考前答疑的具體時(shí)間另行通知五、考核方式1、平時(shí)成績(jī)（40%）

平時(shí)成績(jī)由作業(yè)及出勤、測(cè)驗(yàn)、實(shí)驗(yàn)三部分組成，各部分成績(jī)?cè)诳偝煽?jī)中的占比分別為20%、15%、5%。注：測(cè)驗(yàn)1次（提前1~2周通知）。測(cè)驗(yàn)時(shí)，要嚴(yán)格自律，不允許抄襲。如因抄襲而引起的相關(guān)成績(jī)問題，學(xué)生自己承擔(dān)責(zé)任；因請(qǐng)假?zèng)]能參加測(cè)驗(yàn)的學(xué)生，要進(jìn)行補(bǔ)測(cè)；沒請(qǐng)假，無故不參加測(cè)驗(yàn)的學(xué)生不能補(bǔ)測(cè)。

2、考試成績(jī)（60%）

六、其他根據(jù)學(xué)校有關(guān)規(guī)定：未經(jīng)主講教師批準(zhǔn)學(xué)生缺課累計(jì)超過該門課程總學(xué)時(shí)的三分之一（或缺課累計(jì)超過該門課程考勤次數(shù)的三分之一），或?qū)W生未交作業(yè)達(dá)到該門課程作業(yè)總量三分之一的，不得參加該課程的考核。注：請(qǐng)假必須持有學(xué)生所在院系相關(guān)負(fù)責(zé)人簽字蓋章的請(qǐng)假條。自然界和社會(huì)中有兩類現(xiàn)象：①確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象例

拋一石子必然落下；（結(jié)果可以事先預(yù)言的）②隨機(jī)現(xiàn)象：在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性在大量的重復(fù)觀察中又具有某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象。（結(jié)果不可事先預(yù)言）例

拋一枚硬幣，落下時(shí)正面朝上或反面朝上；緒言同性電荷互斥

第一章第1節(jié)隨機(jī)事件及其運(yùn)算一、隨機(jī)試驗(yàn)二、樣本空間與隨機(jī)事件三、事件間的關(guān)系及其運(yùn)算（重點(diǎn)）一、隨機(jī)試驗(yàn)對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀察的試驗(yàn)1、可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；2、試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且在試驗(yàn)前能預(yù)先知道全部可能結(jié)果；3、在每次試驗(yàn)前不能預(yù)先知道哪個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。E1

:拋一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正反面情況。例：E2

:將一枚硬幣連拋三次，觀察出現(xiàn)正反面的情況。E4:在一批燈泡中任取一只,測(cè)試它的壽命。

E3

:記錄電話交換臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。E(experimentation)，具有以下特點(diǎn)：二、樣本空間與隨機(jī)事件定義1隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間,記為S

,樣本空間的元素,即E的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn),記為e。例如上頁引例中：={H,T}={HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}有限個(gè)樣本點(diǎn)可列無窮個(gè)={0,1,2,3……}={t|t≥0}連續(xù)、不可列Ⅰ.樣本空間S1

S2

S3

S4

例：將一枚硬幣連拋三次1)觀察正反面出現(xiàn)的情況,2)觀察正面出現(xiàn)的次數(shù),Ⅱ.隨機(jī)事件定義2樣本空間中的子集稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，

一般記為A,B,C等。A—點(diǎn)數(shù)之和為7,例：拋兩個(gè)骰子，骰子可分辨，觀察其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，注意：樣本空間的元素是由試驗(yàn)?zāi)康乃鶝Q定的。={HHH,HHT……}S1

={0,1,2,3}S2

S={11,12,13,……,61,……,66}A={16,25,34,43,52,61}特殊隨機(jī)事件：3.基本事件：一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集(試驗(yàn)E的每個(gè)可能結(jié)果）例：有兩個(gè)基本事件{H}和{T}1.必然事件：每次試驗(yàn)中必然發(fā)生的事件,記為S。2.不可能事件：每次試驗(yàn)一定不發(fā)生的事件,記事件A發(fā)生A中的某一個(gè)樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn)①包含、相等關(guān)系A(chǔ)發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生1.事件的關(guān)系三、事件間的關(guān)系及其運(yùn)算（重點(diǎn)）事件B包含事件AA與B相等，記為A=B。②事件的和A和B的和事件表示A與B中至少有一個(gè)發(fā)生，即：A與B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，發(fā)生。③事件的積表示事件A和B同時(shí)發(fā)生，即：且A與B的積事件當(dāng)且僅當(dāng)A與B同時(shí)發(fā)生時(shí)，通常簡(jiǎn)記為AB。發(fā)生。④事件的差A(yù)-B表示事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生但⑤互斥事件(互不相容)，則稱A,B為互不相容事件即：A、B不能同時(shí)發(fā)生。⑥對(duì)立事件(逆事件)基本事件都互不相容。A與B的差事件且，則稱事件A與B互為逆事件或互為對(duì)立事件。A的對(duì)立事件記為,=S-A。2.事件的運(yùn)算法則①交換律；②結(jié)合律③分配律④德·摩根律：；推廣：;①，，，則，設(shè)②③注：事件的一些關(guān)系式

例1.設(shè)A,B,C表示三個(gè)事件,試表示下列事件(1)A發(fā)生,B與C不發(fā)生(2)A與B發(fā)生,C不發(fā)生(3)A,B與C都發(fā)生(4)A,B與C至少有一個(gè)發(fā)生(5)A,B與C全不發(fā)生(6)A,B與C至少有兩個(gè)發(fā)生例2

以A表示“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則為(A)甲滯銷，乙暢銷(B)甲乙兩種產(chǎn)品均暢銷(C)甲種產(chǎn)品暢銷(D)甲滯銷或乙暢銷解設(shè)B=“甲產(chǎn)品暢銷”，C=“乙產(chǎn)品暢銷”則，故選(D)例3

關(guān)系()成立，則事件A與B為對(duì)立事件。(a)(b)(c)(d)與為對(duì)立事件(c)顯然成立，(d)也成立。解釋(d)：例4.在擲子的試驗(yàn)中,樣本空間事件A—出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn),事件B—出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)事件C—出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)大于4,事件D—點(diǎn)數(shù)大于5求:解:∵A={2,4,6},B={1,3,5},C={5,6}

D={6}A與B為對(duì)立事件二、概率的統(tǒng)計(jì)定義一、頻率第2節(jié)頻率與概率三、概率的公理化定義重點(diǎn)掌握利用關(guān)系式計(jì)算概率一個(gè)事件在某次試驗(yàn)中的出現(xiàn)具有偶然性，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中隨機(jī)事件的出現(xiàn)呈現(xiàn)出一定的數(shù)量規(guī)律，頻率這一概念近似反映了這個(gè)數(shù)量規(guī)律。1.定義1

設(shè)E,S,A為E中某一事件，在相同條件下進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，事件A發(fā)生的次數(shù)記為稱為A的頻率。(frequency)2.性質(zhì)：0≤≤1一、頻率則比值若兩兩互不相容結(jié)論：當(dāng)n較小時(shí)，頻率呈偶然性，波動(dòng)性很大；隨著n的增加，波動(dòng)幅度減小，最后集中在某一個(gè)數(shù)附近。歷史上著名的統(tǒng)計(jì)學(xué)家蒲豐和皮爾遜曾進(jìn)行過大量擲硬幣的試驗(yàn)，所得結(jié)果如下：試驗(yàn)者蒲豐皮爾遜皮爾遜次數(shù)正面的次數(shù)正面的頻率404020480.50691200060190.501624000120120.5005這種現(xiàn)象稱為頻率穩(wěn)定性，也就是通常所說的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，頻率穩(wěn)定值注：試驗(yàn)次數(shù)越多，并不說明越精確，只能說明波動(dòng)范圍越小。即概率的統(tǒng)計(jì)定義。二、概率（概率的公理化定義）1.定義設(shè)E,S

,對(duì)于E的每一事件A，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A),稱為事件A的概率,如果P(·)滿足以下三個(gè)公理：⑴非負(fù)性：⑵規(guī)范性：⑶可列可加性：2.性質(zhì)：故由可列可加性又因?yàn)椤?，有限可加性其中兩兩互不相容。，則證明

取所以如果則①≤②證明

且A和B－A互不相容得①式成立；，0≤≤1證明推廣：(加法公式)BA提示：可用歸納法證明例1.

已知證明:例2、解：例3

某人外出旅游兩天，據(jù)天氣預(yù)報(bào)知：第一天下雨的概率為0.6，第二天下雨的概率為0.3，兩天都下雨的概率為0.1,試求下列事件的概率：(2)第一天不下雨，第二天下雨(4)兩天都不下雨；(1)第一天下雨，第二天不下雨(3)至少有一天下雨解：設(shè)A—第一天下雨，B—第二天下雨則(5)至少有一天不下雨(1)(2)(3)(4)(5)例4

(訂報(bào)問題)在某城市中，共發(fā)行三種報(bào)紙A，B，C，訂購A，B，C的用戶占用分別為45%，35%，30%，同時(shí)訂購A，B的占10%，同時(shí)訂購A，C的占8%，同時(shí)訂購B，C的占5%，同時(shí)訂購A，B，C的占3%，試求下列事件的概率：(1)只訂購A的(2)只訂購A，B的(3)只訂購一種報(bào)紙的(4)只訂購兩種報(bào)紙的(5)至少訂購一種報(bào)紙的(6)不訂購任何報(bào)紙的解

設(shè)A，B，C分別表示“用戶訂購A，B，C報(bào)紙”(1)(2)(3)﹏﹏﹏﹏﹏﹏兩兩互不相容的(4)﹏﹏﹏﹏﹏﹏兩兩互不相容(5)(6)例5

已知求A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生解的概率。例6

證明證例7，求解

第一章第3節(jié)等可能概型（古典概型）一、等可能概型的定義二、計(jì)算公式三、計(jì)算方法1.定義：具有以下兩個(gè)條件的隨機(jī)試驗(yàn)稱為等可能概型，有限性試驗(yàn)的樣本空間中的元素只有有限個(gè)；等可能性每個(gè)基本事件的發(fā)生的可能性相同。例：E1—拋硬幣,觀察哪面朝上2.計(jì)算公式：①等可能概型也稱為古典概型。E2—投一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)={H,T}S1

={1,2,3,4,5,6}S2

②若事件A包含k個(gè)基本事件，即其中(表示中的k個(gè)不同的數(shù))則有例1

投兩枚骰子，事件A——“點(diǎn)數(shù)之和為3”，求解法一：出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和的可能數(shù)值111221×∵不是等可能的法二：36個(gè)∴要注意對(duì)于用的時(shí)候要兩個(gè)條件都滿足。例2

投兩枚骰子，點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率。解

令A(yù)——點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)法一，36個(gè)18個(gè)法二，所有可能結(jié)果(奇,奇)，(奇,偶)，(偶,奇)，(偶,偶)A={(奇,偶)，(偶,奇)}∴說明樣本空間的選取可以不同，但必須保證等可能。3.方法：構(gòu)造A和S的樣本點(diǎn)(當(dāng)樣本空間S的元素較少時(shí)，先一一列出S和A中的元素，直接利用求解)用排列組合方法求A和S的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)預(yù)備知識(shí)Ⅰ.加法原理：完成一項(xiàng)工作m類方法，第i類方法有種，(i=1,2,m)，則完成這項(xiàng)工作共有：種方法。Ⅱ.乘法原理：完成一項(xiàng)工作有m個(gè)步驟，第i步有，則完成該項(xiàng)工作一共有：種方法。種方法（i=1,2,…,m)Ⅲ.排列：從n個(gè)元素中取出r個(gè)元素，按一定順序排成一列，稱為從n個(gè)元素里取出r個(gè)元素的排列。(n，r均為整數(shù))進(jìn)行排列，共有①(無放回選取)從n個(gè)不同元素中無放回的取出m個(gè)(m≤n)﹏﹏﹏﹏﹏種方法。②(有放回選取)從n個(gè)不同元素中有放回地抽取r個(gè)，依﹏﹏﹏﹏﹏次排成一列，稱為可重復(fù)排列，一共有Ⅳ.組合從n個(gè)元素中無放回取出r個(gè)元素，不考慮其順序，組合數(shù)為或,例：袋中有三個(gè)球，標(biāo)號(hào)1,2,3，任取兩次①無放回，考慮順序{12,13,21,23,31,32}

無放回，不考慮順序{12,13,23}②有放回，考慮順序{11,12,13,21,22,23,31,32,33}例3

6只不同球(4白2紅)，從袋中依次取兩球，觀察其顏色。分別做a.有放回抽樣b.不放回抽樣，(1)“取到的兩只球都是白球”(2)“取到的兩只球顏色相同”(3)“取到的兩只球中至少有一個(gè)是白球”解

a.

(1)(2)(乘法原理)S：6×6=36求下列事件的概率：(3)表示“兩只都是紅球”，若直接考慮：(1)(2)(3)b.無放回(考慮先后順序)思考：如果不考慮順序呢？例4.某教研室共有11名教師,其中男教師7人,現(xiàn)在要選3名優(yōu)秀教師,問其中至少有一女教師概率解(方法一)設(shè)A=“3名優(yōu)秀教師中至少有一名女教師”=“3名優(yōu)秀教師中恰有名女教師”則方法二設(shè)A=“3名優(yōu)秀教師全是男教師”注：在使用排列組合時(shí)，分子分母要保持一致。例6(分房問題)

將r個(gè)球隨機(jī)地放入n(n>r)個(gè)盒子中，設(shè)各個(gè)球放入每個(gè)盒子是等可能的，解求：每個(gè)盒子至多有一個(gè)球的概率。將r個(gè)球放入n個(gè)盒子，每一種方法是一個(gè)基本事件例5

袋中有a只黑球和b只白球，k個(gè)人把球隨機(jī)的一只只摸出來，求第k個(gè)人摸出的是黑球的概率。解

將k個(gè)人取球的每一種取法看成一個(gè)樣本點(diǎn)例7(生日問題)

設(shè)每個(gè)人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于,那么隨機(jī)選取n(≤365)人。(1)他們的生日各不相同的概率為多少？(2)n個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同的概率為多少？解

(1)設(shè)A=“n個(gè)人的生日各不相同”(2)設(shè)B=“n個(gè)人中至少有兩個(gè)人生日相同”當(dāng)n等于64時(shí)，在64人的班級(jí)中，B發(fā)生的概率接近于1，即B幾乎

總是會(huì)出現(xiàn)。設(shè)樣本空間為有限區(qū)域

,若樣本點(diǎn)落入內(nèi)任何區(qū)域G

中的概率與區(qū)域G

的測(cè)度成正比,則樣本點(diǎn)落入G內(nèi)的概率為幾何型概率計(jì)算公式測(cè)度指長度、面積、體積等，是對(duì)區(qū)域的一種度量.例8

兩船欲停同一碼頭,兩船在一晝夜內(nèi)獨(dú)立隨機(jī)地到達(dá)碼頭.若兩船到達(dá)后需在碼頭停留的時(shí)間分別是1小時(shí)與2小時(shí)，試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達(dá)時(shí)，需要等待空出碼頭的概率.解設(shè)船1到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為x,0x<24

船2到達(dá)碼頭的瞬時(shí)為y,0y<24設(shè)事件A=“任一船到達(dá)碼頭時(shí)需要等待空出碼頭”xy2424y=xy=x+1y=x-2“概率為1的事件一定發(fā)生嗎?”01xY1如圖，設(shè)試驗(yàn)E為“隨機(jī)地向邊長為1的正方形內(nèi)投點(diǎn)”事件A為“點(diǎn)投在黃、藍(lán)兩個(gè)三角形內(nèi)部”,求P(A).由于點(diǎn)可能投在正方形的對(duì)角線上,所以事件A未必一定發(fā)生！“概率為0的事件一定不會(huì)發(fā)生嗎?”第4節(jié)條件概率一條件概率二乘法公式三全概率公式,貝葉斯公式（重點(diǎn)）

第一章引例:取一副牌,隨機(jī)的抽取一張,問:(1)抽中的是k的概率;(2)若已知抽中的是紅桃,問抽中的是k的概率。解：A

——抽中的是紅桃,B——抽中的是k(1)(2)上述式子具有普遍性嗎?在古典概型中,一條件概率1、定義：設(shè)A，B為兩事件，且則稱為事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的條件概率。3.設(shè)是兩兩互不相容的事件則條件概率滿足概率公理化定義中的三個(gè)公理:2.性質(zhì)：條件概率類似滿足概率的6條性質(zhì)。(1)在縮減樣本空間中求事件概率（實(shí)際意義法）(2)定義法例1、

設(shè)一批產(chǎn)品的一、二、三等品各占60%,30%,10%,現(xiàn)從中任取一件，結(jié)果不是三等品，求取得是一等品的概率。解則由已知得如引例2、條件概率的求法定理

設(shè)，則有推廣

其中，則有或二、乘法公式推廣到n個(gè)事件，如果則有設(shè)袋中裝有r只紅球，t只白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色然后放回，并再放入a只與所取的同色的球，第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率。若在袋中連續(xù)取球四次，求：“第次取到紅球”解:

設(shè)例2.i=1，2，3，4注：a=0時(shí)，就是有放回抽樣；

a=-1時(shí)，就是無放回抽樣。設(shè)一個(gè)班中30名學(xué)生采用抓鬮的辦法分一張電影票,問各人獲得此票的機(jī)會(huì)是否均等？解

設(shè)“第名學(xué)生抓到電影票”i=1,2,…,30例3、同理,第i個(gè)人要抓到此票,他前面的i-1個(gè)人都沒抓到此票思考：如果是兩張電影票呢？首先，將復(fù)雜事件劃分成若干簡(jiǎn)單事件之和，然后，利用簡(jiǎn)單事件來推算復(fù)雜事件的概率。（1）樣本空間的劃分;（2）全概率公式.（3）貝葉斯公式基本思想：三、全概率公式與貝葉斯（Bayes）公式定義

設(shè)S為隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間，B1,B2,…,Bn是一組隨機(jī)事件，如果它們滿足：則事件B1,B2,…,Bn為樣本空間S的一個(gè)劃分.例如

設(shè)試驗(yàn)E

為“擲骰子觀察其點(diǎn)數(shù)”。樣本空間為，，，，而不是劃分。注:對(duì)每次試驗(yàn)，若事件B1,B2,…,Bn為樣本空間S的一個(gè)劃分，則任何事件A也被劃分成一些簡(jiǎn)事件的和！兩兩互不相容定理若事件B1,B2,…,Bn為樣本空間S的一個(gè)劃分，并且每個(gè)P(Bi)>0，則任何事件A的全概率公式為：證:兩兩互不相容例1

某電子公司所用元件由三家元件配件廠提供，有如下數(shù)據(jù)：元件配件廠次品率提供份額10.020.1520.010.8030.030.05設(shè)這三家的產(chǎn)品在倉庫中均勻混合，且無任何標(biāo)志.在倉庫中任取一只元件，求它是次品的概率.原理1：若樣本空間可以根據(jù)不同的方法進(jìn)行分類，而問題關(guān)心的是按照某一分類方法進(jìn)行分類時(shí)某種可能結(jié)果發(fā)生的概率，則我們可以根據(jù)另外一種分類方式對(duì)樣本空間進(jìn)行劃分。由全概率公式得：解設(shè)：Bi＝“取到的元件是由第i廠提供的”，

A=“取到的元件是次品”則B1，B2，B3構(gòu)成的所有產(chǎn)品的一個(gè)劃分.

例2

有三個(gè)編號(hào)為1,2,3箱子,1號(hào)箱裝有1個(gè)紅球4個(gè)白球,2號(hào)箱裝有2紅3白球，3號(hào)箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一球,求取得紅球的概率.解記

Ai={取到i號(hào)箱},i=1,2,3;B={取得紅球}123則A1、A2、A3就是樣本空間的一個(gè)劃分.故原理2：若完成某項(xiàng)試驗(yàn)需要多個(gè)步驟，問題關(guān)心的是某個(gè)步驟完成后某個(gè)事件發(fā)生的概率，則可以依據(jù)前面某個(gè)步驟完成后的所有可能結(jié)果對(duì)樣本空間進(jìn)行劃分。去構(gòu)造這一組Bi往往可以簡(jiǎn)化計(jì)算.全概率公式的理論和實(shí)用意義在于:在較復(fù)雜情況下計(jì)算P(A)不易,但A

總是伴隨著某個(gè)Bi出現(xiàn)，所以適當(dāng)?shù)乩?.則甲乙丙三人同時(shí)向飛機(jī)進(jìn)行射擊,三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7,飛機(jī)被一人擊中而擊落的概率為0.2,

被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機(jī)必被擊落,求飛機(jī)被擊落的概率.解:設(shè)=“飛機(jī)被個(gè)人擊中”=“飛機(jī)被擊落”=“飛機(jī)被第人擊中”運(yùn)用全概率公式計(jì)算P(A)2、貝葉斯公式定理設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為S,A為E的任意一個(gè)事件,為S的一個(gè)劃分,且則，稱此式為貝葉斯公式。例7.設(shè)某工廠甲,乙,丙3個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,產(chǎn)量依次占全廠的45％,35％,20％,且各車間的合格品率為0.96,0.98,0.95,現(xiàn)在從待出廠的產(chǎn)品中檢查出1個(gè)次品,問該產(chǎn)品是由哪個(gè)車間生產(chǎn)的可能性最大？解分別表示該產(chǎn)品是由甲、乙、丙車間生產(chǎn)，設(shè)A

表示“任取一件產(chǎn)品為次品”由題意得由貝葉斯公式所以該產(chǎn)品是甲車間生產(chǎn)的可能性最大。用全概率公式求得例8、某炮臺(tái)有3門炮，第1、2、3門炮的命中率分別為0.4，0.3，0.5，3門炮各發(fā)射一枚炮彈，如果有兩枚命中目標(biāo)，求第1門炮命中目標(biāo)的概率。解：A—兩枚命中目標(biāo)，B—第1門炮命中目標(biāo)例9、A—某種臨床試驗(yàn)呈陽性B—被診斷者患有癌癥根據(jù)以往的臨床紀(jì)錄，癌癥患者某項(xiàng)實(shí)驗(yàn)呈陽性的概率為0.95，而正常人該試驗(yàn)成陰性的概率為0.95，已知常人患癌癥的概率為0.005，現(xiàn)對(duì)自然人群進(jìn)行普查，如果某人試驗(yàn)呈陽性，求他患癌癥的概率有多大？解由題，已知注：樣本空間劃分的尋找1、直接找題目中概率相加等于1的事件;2、從問題分析，看影響問題的是什么事件。已知“結(jié)果”求“原因”全概率公式尋找導(dǎo)致A發(fā)生的每個(gè)原因的概率.②貝葉斯公式是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下，注：①全概率公式是在已知導(dǎo)致事件A

的每個(gè)原因發(fā)生的概率的條件下，求事件A

發(fā)生的概率。已知“原因”求“結(jié)果”貝葉斯公式例

在電報(bào)系統(tǒng)中，不斷發(fā)出“0”和“1”，發(fā)“0”和“1”的概率為0.6和0.4，發(fā)“0”分別以0.7,0.1和0.2接受為“0”“1”和模糊信息“X”，發(fā)“1”分別以0.85,0.05和0.1接收“1”,“0”和模糊信息“X”，試求：⑴收到信息為模糊信息的概率。⑵收到模糊信息應(yīng)該譯成什么信息的最好。分析

發(fā)信息

收信息“0”“0”0.7“1”0.1“X”0.20.6“1”“1”0.85“0”0.05“X”0.10.4解

設(shè)Ai表示“發(fā)出的信息為“i”，i=0,1Bi表示“收到的信息為“i”，i=0,1,X

⑴⑵，所以應(yīng)為“0”信息好。備用：解:分別表示他乘火車,汽車,輪船,飛機(jī)設(shè)A=“他來遲了”由題意,則某人從外地來參加會(huì)議,他乘火車,汽車,輪船或飛機(jī)來的概率為如果他乘飛機(jī)來不會(huì)遲到;而乘火車,汽車或輪船來遲的概率為試求:1)他來遲的概率2)如果他來遲了，試推斷他是怎樣來的？下求下求1)由全概率公式2)由貝葉斯公式乘火車的可能性最大第5節(jié)事件的相互獨(dú)立性引例：E—擲兩枚硬幣，觀察正反面的情況A—甲幣出現(xiàn)H

，B—乙?guī)懦霈F(xiàn)H={HH，HT，TH，TT}S由此看出一、兩個(gè)事件相互獨(dú)立

定義1設(shè)A、B是兩個(gè)事件，如果有如下等式成立則稱事件A、B相互獨(dú)立。定理設(shè)A、B是兩個(gè)事件⑴若，則A、B

相互獨(dú)立的充分必要條件為⑵若A、B

相互獨(dú)立,證相互獨(dú)立,則有反之，由乘法公式⑴若，則A、B

相互獨(dú)立的充分必要條件為證：

其余同理可證。⑵若A、B

相互獨(dú)立,思考:如圖所示的事件獨(dú)立嗎?則A與