三、圖形面積計(jì)算技巧為了解決較復(fù)雜的圖形面積計(jì)算問(wèn)題,我們除掌握基本概念及技術(shù)公式外,還應(yīng)該學(xué)會(huì)用變動(dòng)的方法看問(wèn)題,如恒等變形的計(jì)算方法、添加輔助線法、平移法、旋轉(zhuǎn)法,割補(bǔ)法、等積變形、構(gòu)造等方法.(一)比例法例1如圖,一個(gè)長(zhǎng)方形被兩條平行直線分成四個(gè)長(zhǎng)方形,其中三個(gè)面積分別是求?部分的面積?為什么?25×30÷20=375例2如圖,一個(gè)正方形分成四個(gè)長(zhǎng)方形,面積如圖,求中間的正方形的面積?解:大正方形的面積是:4+7+3+2=16,大正方形的邊長(zhǎng)是:AB:BD=4:7,AC:CD=3:2小正方形面積:例3如圖,已知ΔABC的每邊長(zhǎng)都是96厘米,用折線把ΔABC分割成面積相等的四個(gè)三角形,那么CE和CF的長(zhǎng)度和是多少厘米?解:在ΔABC和ΔBDC中,它們高相等,練習(xí)1.在ΔABC中,AB、AC兩邊分別被分成四等份,陰影部分面積與ΔABC的面積比是多少?從上往下看(1+2+3+4):(1+1+2+2+3+3+4)=5:8.2如圖,用面積為1,2,3,4的四張紙片拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形,問(wèn)陰影部分的面積?解:AB:BD=1:2AC:CD=3:4=7:14=9:12例3如圖,5,8和10分別代表包含該數(shù)字的三角形面積,試問(wèn)包含x這個(gè)數(shù)字的四邊形面積??=4,(二)添輔助線法求部分圖形面積時(shí),需借助其它圖形作中介,這個(gè)中介圖形需加輔助線段才能得到,這種方法叫輔助線法求面積.例4如圖,ΔABC的面積為AE=EB,BD=2DC,求陰影部分的面積?解:連接EC,例5如圖,已知正方形的邊長(zhǎng)是6厘米,E、F分別是CB、CD中點(diǎn),求四邊形ABGD的面積?解:連接CG,練習(xí)4如圖,ACEG是梯形,BDFG是正方,GE=30cm,GB=24cm,AC=39cm,求梯形ACEG的面積?解:連接BE,梯形ACEG的高5.如圖,正方形ABCD的面積是120平方厘米,E是AB的中點(diǎn),F是BC的中點(diǎn),四邊形BGHF的面積是多少平方厘米?解:連接GF,由BF=FC(三)等量代換我們經(jīng)常會(huì)遇到一些由基本圖形組成的組合圖形,它們的面積不能直接應(yīng)用公式來(lái)計(jì)算,需要從整體上觀察圖形,用靈活、巧妙的方法解答這類較復(fù)雜的圖形計(jì)算問(wèn)題.“等量代換”就是一種簡(jiǎn)便的方法.它是將一個(gè)圖形轉(zhuǎn)化為另一個(gè)圖形的面積,從而找到解題思路.例6ABCD和CEFG都是正方形,大正方形的邊長(zhǎng)是12厘米,則ΔBDF的面積是多少平方厘米?解:連接CF,因?yàn)锽DCF是梯形,=大正方形面積的一半.例7已知ΔABC的面積為36,M為AB上的點(diǎn),且BM:MA=1:2,MD平行于EC,則ΔEBD的面積是多少?解:連接MC,例8ABCD是邊長(zhǎng)為10厘米的正方形,三角形ABF的面積比三角形CEF的面積大20平方厘米,求三角形ACE的面積?條件:ΔABF的面積比ΔCEF的面積大20平方厘米,轉(zhuǎn)化為:ΔABC的面積比ΔACE的面積大20平方厘米,練習(xí):6兩個(gè)半徑為2厘米的圓相交,且圖中的兩個(gè)陰影部分的面積相等,求

的長(zhǎng)度?長(zhǎng)方形的面積等與兩個(gè)扇形的面積,7.BCEF是平行四邊形,ΔABC是直角三角形,BC=8cm,AC=7cm,陰影部分的面積比ΔADH的面積大12平方厘米,求HC的長(zhǎng)?平行四邊形BCEF的面積ΔABC的面積大12平方厘米.8如圖,兩個(gè)相同的直角梯形重疊在一起,陰影部分的面積()(單位:厘米)9長(zhǎng)方形ABCD的周長(zhǎng)是20厘米,在它的每條邊上各畫(huà)一個(gè)以該邊為邊長(zhǎng)的正方形,已知這四個(gè)正方形的面積是104平方厘米,求長(zhǎng)方形ABCD的面積?長(zhǎng)+寬:(四)割補(bǔ)法割補(bǔ)法求面積是將不規(guī)則的圖形經(jīng)過(guò)分割、切拼、補(bǔ)充成一個(gè)規(guī)則的幾何圖形,從而求出面積的方法.例9ΔABC是等腰三角形,D是半圓周上的中點(diǎn),BC是直徑,且AB=BC=10分米,求陰影部分的面積?補(bǔ)例10三個(gè)圓的半徑都是5厘米,三個(gè)圓相交于圓心,求陰影部分的面積?陰影部分的面積和等于圓面積的一半,例11如果BF長(zhǎng)5厘米,長(zhǎng)方形AEFD的面積是40平方厘米,則CD長(zhǎng)多少厘米?練習(xí):10如圖,A、B是兩個(gè)圓(只有),那么兩個(gè)陰影部分的面積差?11求圖中陰影部分的面積?(單位:cm)圓的面積-三角形面積12小圓半徑為10,大圓半徑為20,那么陰影部分的面積是多少?大圓面積-正方形面積(五)等分法例12如圖有左右兩個(gè)一樣的等腰直角三角形,其面積都是180平方厘米,分別沿著圖中的線剪下兩個(gè)正方形,請(qǐng)你求這兩個(gè)正方形的面積?左圖正方形面積是三角形面積的一半右圖的正方形面積是三角形面積的(六)代數(shù)法例12直角梯形ABCD的中位線EF長(zhǎng)15厘米,G是EF上一點(diǎn),ΔABG的面積是梯形面積的,求EG的長(zhǎng)?條件不夠,用字母表示例13如圖,FB和EC都與AD垂直FB=8cm,EC=6cm,AQ=5cm,PD=7cm,求六邊形ABCDEF的面積?解:例14如圖長(zhǎng)方形被分割6個(gè)正方形,已知中央正方形的面積為1平方厘米,求原長(zhǎng)方形的面積?中央正方形的邊長(zhǎng)為1cm,設(shè)左上角正方形的邊長(zhǎng)為練習(xí)13六張大小不同的小正方形紙片,拼成如圖,已知最小的正方形面積為1平方厘米,問(wèn)圖中紅色正方形的面積?最小正方形的邊長(zhǎng)為1,設(shè)左上角正方形的邊長(zhǎng)為紅色正方形的邊長(zhǎng)為:14已知陰影部分的面積是25平方厘米,求圖中環(huán)形的面積?15

AB與CD是兩條垂直的直徑,圓O的半徑是15厘米,弧AEB是以C為圓心,AC為半徑,求陰影部分的面積?(七)設(shè)數(shù)法例15已知長(zhǎng)方形的面積是35平方厘米,ΔABE的面積是5平方厘米,ΔADF的面積是7平方厘米,求ΔAEF的面積?35=7×5,設(shè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)為7厘米,寬為5厘米.例16甲、乙兩個(gè)正方形的面積都是20平方厘米,陰影部分的哪一塊大?大多少?想:甲圓的面積是正方形面積的幾分之幾?乙圓的面積是正方形面積的幾分之幾?甲陰影:乙陰影:11.4-4.3=7.1(平方厘米)練習(xí)16.已知兩個(gè)正方形的面積差400平方厘米,則圓A與圓B的面積差是多少?(八)圖形的變換1.平移法:就是在不改變圖形面積大小下,通過(guò)平移把幾部分陰影拼成較規(guī)則圖形的方法,例17.大小兩個(gè)半圓,它們直徑在同一直線上,弦AB與小半圓相切,且與直徑平行.弦AB長(zhǎng)12厘米,求圖中的陰影的面積?通過(guò)平移變成右圖,陰影部分的面積就是圓環(huán)面積的一半.例18如圖一條白色手帕,它的邊長(zhǎng)是18厘米,手帕上橫豎有兩道紅條,紅條寬都是2厘米.問(wèn)這條手帕白色部分的面積是多少?把紅條向右、向下平移(如圖),2.反射法:一些軸對(duì)稱圖形,在進(jìn)行面積計(jì)算時(shí),有時(shí)可以利用對(duì)稱的觀點(diǎn),沿圖形的對(duì)稱軸翻轉(zhuǎn),把兩處不規(guī)則圖形拼成一處規(guī)則圖形,使解法簡(jiǎn)便.例19如圖A部分與B部分的面積相差()平方厘米.利用對(duì)稱觀點(diǎn)解題:B部分比A部分面積大練習(xí)17求圖中陰影部分的面積?(單位:cm)3.旋轉(zhuǎn)法:旋轉(zhuǎn)法是將圖形繞一個(gè)點(diǎn)順(逆)時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)過(guò)某一個(gè)角度,圖形在轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)位置始終保持不變的那一點(diǎn),叫做旋轉(zhuǎn)中心,圖形旋轉(zhuǎn)的角度,叫做旋轉(zhuǎn)角.顯然圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí),它的大小和形狀都沒(méi)有改變.例20在直角三角形ABC中,四邊形AEFD是正方形,BF=77cm,FC=52cm,求圖中兩個(gè)三角形面積的和?直角三角形DFC以F旋轉(zhuǎn)中心,逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度,拼成一個(gè)大直角三角形.例21ABCD是平行四邊形,并且四邊相等,ΔEFG,ΔPNM是圓內(nèi)正三角形,并且面積都是100平方厘米,求平行四邊形ABCD的面積?ΔEFG面積是ΔABC練習(xí)18如圖是一個(gè)邊長(zhǎng)10厘米的正方形,在正方形內(nèi)作一個(gè)最大的圓,再在圓中作一個(gè)最大的正方形,求小正方形的面積?解法一:解法二:旋轉(zhuǎn)法小正方形面積是大正方形面積的19求圖中陰影部分的面積?(單位:cm)半圓面積-三角形面積(九)去空求差、合并求和在一個(gè)規(guī)則圖形中去掉一個(gè)不規(guī)則圖形,求陰影部分面積,可以先求出不規(guī)則圖形面積,再求陰影部分的面積.例22ΔABC是腰直角三角形,腰長(zhǎng)為10厘米,求陰影部分的面積?練習(xí)20如圖ΔABC是直角三角形,AC=4cm,,以BC,AC分別為直徑畫(huà)半圓,兩個(gè)半圓的交點(diǎn)D在AB邊上,求陰影部分的面積?21求圖中陰影部分的面積?(單位:cm)(十)雜題例23在長(zhǎng)方形內(nèi)畫(huà)了一些直線,已知邊上有三塊面積分別是13、35、49,那么圖中A部分的面積?圖形畫(huà)一下13+35+49=9722圓的周長(zhǎng)是16.4厘米,圓的面積與長(zhǎng)方形面積相等,求陰影部分的周長(zhǎng)?圓面積與長(zhǎng)方形面積相等,想到圓面積公式推導(dǎo):長(zhǎng)方形長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半,寬相當(dāng)于圓的半徑,陰影部分的周長(zhǎng)=圓周長(zhǎng)+圓周長(zhǎng)23正方形的周長(zhǎng)