第8章結(jié)構(gòu)的振動與穩(wěn)定本章將首先建立動力分析的有限元方程，然后介紹大型稀疏矩陣特征值問題的幾個常用求解方法，分別是逆迭代法、行列式搜索法和子空間迭代法。隨后簡單介紹復(fù)雜結(jié)構(gòu)的動態(tài)子結(jié)構(gòu)處理法。最后，介紹彈性結(jié)構(gòu)在外載荷作用下喪失穩(wěn)定時的臨界載荷問題。有些結(jié)構(gòu)受到顯著的動載荷作用，如房屋、水壩等建筑受地震的作用，船舶受海浪的沖擊，橋梁受車輛的振動等等，必須進(jìn)行動力分析。結(jié)構(gòu)線性動力分析的基本內(nèi)容，一般包括結(jié)構(gòu)固有頻率和固有振型分析，以及結(jié)構(gòu)對外力作用的響應(yīng)分析。§8.1線性動力學(xué)有限元方程當(dāng)用有限元法作動力學(xué)分析時，節(jié)點位移是時間t的函數(shù)，應(yīng)用動靜法，同樣可建立動力學(xué)有限元分析方程。設(shè)單元的質(zhì)量密度為ρ，單元內(nèi)任一點的位移為按照動靜法，單元內(nèi)任意一點除體積力外還要附加慣性力和與速度成正比的粘性阻尼力對應(yīng)的等效節(jié)點力為記則代入單元平衡方程代入單元平衡方程得按與前面相同的有限元集成辦法得到[C]和[c]e分別稱為結(jié)構(gòu)阻尼矩陣和單元阻尼矩陣μ稱為粘性阻尼系數(shù)，很難確定，因此一般不計算單元阻尼矩陣而直接采用Rayleigh阻尼，即α、β系數(shù)由實驗確定，[M]稱為總體質(zhì)量矩陣，[m]e為單元質(zhì)量矩陣，又稱一致質(zhì)量矩陣。早期用有限元計算動力學(xué)問題時單元質(zhì)量用簡單的等價辦法團(tuán)聚在各個節(jié)點上，形成對角質(zhì)量矩陣，稱為集中質(zhì)量矩陣?！?.2質(zhì)量矩陣從上節(jié)的討論可知，質(zhì)量矩陣是由分布慣性力向結(jié)點靜力等效簡化而得到。采用不同的等效方法就會得到不同形式的質(zhì)量矩陣。一致質(zhì)量矩陣是對稱正定的，計算實踐表明：使用一致質(zhì)量矩陣所需計算時間多，結(jié)構(gòu)的固有頻率的計算值偏高；集中質(zhì)量矩陣計算比較簡單，所需的存儲量也少，所需計算時間也少。而且使用集中質(zhì)量矩陣會使固有頻率的計算值降低。1.平面三角形常應(yīng)變單元的質(zhì)量矩陣設(shè)三角形單元厚度為h，密度為ρ，面積為Δ，形函數(shù)矩陣為則一致質(zhì)量矩陣為展開由積分公式得到(r,s=i,j,m)一致質(zhì)量矩陣為集中質(zhì)量矩陣為板彎曲矩形單元的一致質(zhì)量矩陣板彎曲三角形單元的一致質(zhì)量矩陣§8.3特征值問題在動力學(xué)方程式中，若[C]=0，{R}=0，便得結(jié)構(gòu)的無阻尼自由振動方程。這是一個二階常系數(shù)線性齊次常微分方程組，其解的形式為代入無阻尼自由振動方程得，這是一個n階線性代數(shù)方程組，若要有非零解，則其系數(shù)行列式必須為零，即上式稱為廣義特征值問題的特征方程標(biāo)準(zhǔn)特征值問題為改寫作廣義特征值問題可以很方便地化為標(biāo)準(zhǔn)特征值問題（1）剛度矩陣[K]是正定的將[K]分解成三角陣的乘積式中[L]是下三角陣代入廣義特征值問題，得記作變換并在方程前乘，使得再記廣義特征值就轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)特征值問題（2）質(zhì)量矩陣[M]是正定的采用一致質(zhì)量矩陣就屬于這種情況將[M]分解成三角陣的乘積式中[L]是下三角陣代入廣義特征值問題，得記作變換并在方程前乘，使得再記廣義特征值就轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)特征值問題特征值問題的基本性質(zhì)（1）實對稱矩陣的特征值均為實數(shù)（2）特征向量彼此正交結(jié)構(gòu)的r個沒有質(zhì)量的自由度，稱之謂純靜態(tài)自由度。若存在非零位移Φ∞，使