第六章概率分布李金德第一節(jié)概率的基本概念第二節(jié)正態(tài)分布第三節(jié)二項(xiàng)分布第四節(jié)樣本分布第一節(jié)概率的基本概念一、什么是概率試驗(yàn)、事件：在相同條件下，對(duì)某事物或現(xiàn)象所進(jìn)行的觀察或?qū)嶒?yàn)叫試驗(yàn)，把觀察或?qū)嶒?yàn)的結(jié)果叫做事件。試驗(yàn)試驗(yàn)結(jié)果（事件）拋擲一枚硬幣正面，反面對(duì)某一零件進(jìn)行檢驗(yàn)合格，不合格投擲一顆骰子1，2，3，4，5，6進(jìn)行一場(chǎng)足球比賽獲勝，失利，平局

基本事件：如果某一隨機(jī)實(shí)驗(yàn)可以分成有限的n種可能結(jié)果，這n種結(jié)果之間是互不交叉的，而且這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，我們把這n種可能結(jié)果稱為基本事件。概率（Probability）：事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)的可能性大小。事件A的概率用P(A)表示。概率的計(jì)算方法：（一）古典概率（先驗(yàn)概率）（二）統(tǒng)計(jì)概率（后驗(yàn)概率）（一）古典概率（先驗(yàn)概率）在只含有有限個(gè)基本事件的試驗(yàn)中，任意事件A發(fā)生的概率定義為：（二）統(tǒng)計(jì)概率（后驗(yàn)概率）

在相同條件下進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A出現(xiàn)了m次，如果試驗(yàn)次數(shù)n充分大，且事件A出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在某一數(shù)值p附近，則稱p為事件A的概率。由于p也是一抽象的值，常常用n在充分大時(shí)的代替。即：

二、概率的基本性質(zhì)1、概率的加法定理兩個(gè)互不相容事件A、B之和的概率，等于兩個(gè)事件概率之和，2、概率的乘法定理兩個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)出現(xiàn)的概率等于該兩事件概率的乘積，P（AB）=P（A）×P（B）P（A+B）=P（A）+P（B）例3-1：一枚硬幣擲三次，或三枚硬幣各擲一次，問(wèn)出現(xiàn)兩次或兩次以上H的概率是多少？

解：這樣擲硬幣可能出現(xiàn)地情況有：HHH、HHT、HTH、THH、TTH、THT、HTT、TTT共八種。每種結(jié)果可能出現(xiàn)的概率，依概率乘法規(guī)則計(jì)算：各為1/8。設(shè)：P(A)—“HHH”，P(B)—“HHT”，P(C)—“HTH”，P(D)—“THH”，故：P(A+B+C+D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=答：一枚硬幣擲三次，或三枚硬幣各擲一次，出現(xiàn)兩次或兩次以上H的概率是1/2。三、概率分布概率分布是用來(lái)描述隨機(jī)變量取某些值時(shí)的概率的數(shù)學(xué)模型。性質(zhì)：將100%的可能性在各隨機(jī)事件上進(jìn)行分配表示方式：統(tǒng)計(jì)圖表、公式概率分布的分類：離散分布與連續(xù)分布經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布基本隨機(jī)變量分布與抽樣分布（一）離散分布與連續(xù)分布1、離散分布

定義：如果隨機(jī)變量只能取有限的或無(wú)限但可以數(shù)下去的數(shù)值，則這種隨機(jī)變量的概率分布稱為離散分布。

特點(diǎn)：通常用概率分布描述其取值和相應(yīng)取值的P例1：拋置硬幣這一隨機(jī)試驗(yàn)可以用如下一些方式來(lái)表示其分布規(guī)律：①記A={正面向上}，B={反面向上}，則P(A)=0.5，P(B)=0.5。②令出現(xiàn)正面向上用1表示，反面向上用0表示，則P(ξ=1)=0.5，P(ξ=0)=0.5③用圖形來(lái)表示：2、連續(xù)分布

定義：如果隨機(jī)變量可以取連續(xù)的數(shù)值，則這種隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律稱為連續(xù)分布。連續(xù)分布的表示方法一般采用概率密度函數(shù)來(lái)表示。概率密度函數(shù)：當(dāng)樣本的容量及分組逐漸增加時(shí)，次數(shù)分布圖將趨近于一條穩(wěn)定而連續(xù)的曲線。一般記為f(x)。

特點(diǎn)：通常用概率密度函數(shù)描述隨機(jī)變量在一段區(qū)間上取值的P。概率密度函數(shù)演示（二）經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布1、經(jīng)驗(yàn)分布

定義：經(jīng)驗(yàn)分布是根據(jù)觀察或?qū)嶒?yàn)所獲得的數(shù)據(jù)而編制的次數(shù)分布或相對(duì)頻率分布。

特點(diǎn)：反映的是一個(gè)樣本的概率分布。2、理論分布

定義：理論分布是指根據(jù)理論推演出來(lái)的隨機(jī)變量的概率分布模型。

特點(diǎn)：反映的是總體的概率分布。（三）基本隨機(jī)變量分布與抽樣分布1、基本隨機(jī)變量分布

基本隨機(jī)變量是一個(gè)與隨機(jī)變量的函數(shù)相對(duì)應(yīng)的。隨機(jī)變量的函數(shù)仍然是隨機(jī)變量。2、抽樣分布

抽樣分布是樣本統(tǒng)計(jì)量的理論分布，又稱隨機(jī)變量函數(shù)的分布。抽樣是從總體中隨機(jī)地選取一個(gè)樣本的過(guò)程，每一個(gè)樣本都可以計(jì)算平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)等指標(biāo)，這些指標(biāo)的概率分布就是抽樣分布。比如說(shuō)對(duì)于一個(gè)容量為50的有限總體，其容量為5的不同樣本一共有：505=312,500,000個(gè)（允許重復(fù)的合），這里的每一個(gè)樣本可以計(jì)算一個(gè)平均數(shù)。故一共有312,500,000個(gè)平均數(shù)，這些平均數(shù)的分布情況（或分布規(guī)律）就是從容量為50的有限總體中抽取容量為5的樣本平均數(shù)的抽樣分布。第二節(jié)正態(tài)分布一、正態(tài)分布（一）正態(tài)分布定義

正態(tài)分布也稱常態(tài)分布，是連續(xù)隨機(jī)變量概率分布的一種，中間量數(shù)次數(shù)分布多，兩端量數(shù)次數(shù)分布少，呈對(duì)稱型的概率分布。正態(tài)分布的概率密度函數(shù):則稱X服從正態(tài)分布,記作X~N(,2)為隨機(jī)變量X的均值;為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差;為圓周率3.14159…;e為自然對(duì)數(shù)的底2.71828….正態(tài)分布的概率密度曲線在正態(tài)分布中：平均數(shù)決定著曲線在軸上的位置；標(biāo)準(zhǔn)差決定著曲線的形狀。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差相同而平均數(shù)不同時(shí)，曲線形狀相同，位置各異。當(dāng)平均數(shù)相同而標(biāo)準(zhǔn)差不同時(shí)，正態(tài)曲線有不同的形狀，越大，曲線越是“低闊”，越小曲線越是“高窄”，不同均值(μ)的正態(tài)分布不同標(biāo)準(zhǔn)差(σ)的正態(tài)分布（二）正態(tài)分布的特征1、正態(tài)分布的形式是對(duì)稱的，對(duì)稱軸是經(jīng)過(guò)平均數(shù)的垂線；2、正態(tài)分布的中央點(diǎn)最高，然后逐漸向兩側(cè)下降，曲線先向內(nèi)彎，后向外彎，兩端靠近基線處無(wú)限延伸；3、正態(tài)曲線下的面積為1，故對(duì)稱軸將正態(tài)曲線下的面積劃分為相等的兩部分；4、正態(tài)分布是一族分布。二、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布所有正態(tài)分布都可以通過(guò)Z分?jǐn)?shù)公式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布是標(biāo)準(zhǔn)差（）為1，平均數(shù)（）為0的正態(tài)分布，其函數(shù)為：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的特征：曲線以z=0為中心，雙側(cè)對(duì)稱。曲線在z=0處為最高點(diǎn)。當(dāng)z=0時(shí)，=0.39894，這是y的最大值。曲線以最高點(diǎn)向左右兩側(cè)緩慢下降，且無(wú)限延伸，但永遠(yuǎn)不與基線相交。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線只有一條。三、正態(tài)分布表的編制與使用

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的數(shù)值表；將一般正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，通過(guò)查表可解決正態(tài)分布的概率計(jì)算問(wèn)題。（一）正態(tài)分布曲線的面積，高度與標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)在正態(tài)分布中，總次數(shù)N的幾何意義是曲線與軸間所包含的總面積，用表示，且。以曲線中線為界，每邊為分布50%的面積。垂線為曲線的縱線高度，以表示?；€是Z分?jǐn)?shù)。本教材上的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率表的編制方法是從Z=0開始，逐漸變化Z值，計(jì)算從Z=0至某一定值之間的概率。（二）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線相應(yīng)內(nèi)容的求解方法1、已知Z值，求面積值p1）求均數(shù)（Z=0）與某個(gè)Z值之間p的值，可直接查正態(tài)曲線表。

例如：求至Z=0~Z=-1之間的面積。查表可知Z=1時(shí)，p=0.3413；因?yàn)檎龖B(tài)分布為具有對(duì)稱性，所以有Z=-1時(shí)，p=0.3413。2）求任何兩個(gè)Z值之間的p

例如：求Z=1～Z=2之間的面積。首先，查出Z=0至每個(gè)Z值間的面積，即有Z=1,p=0.3413；Z=2，p=0.475其次，求兩個(gè)Z值之間的面積，即有p（1<z<2）=0.475-0.3413=0.1337規(guī)律：Z值符號(hào)相反，用加法求p;

Z值符號(hào)相同，用減法求p。3）求某個(gè)值以下或以上的面積

例如:求以下和以上的面積。首先，查出至每個(gè)值間的面積，即有，，，其次，用正態(tài)分布一半的面積（0.50）減去所查出的面積，即有：2．已知p值求Z值.1）查表法——求近似的值

例如，求p=0.30時(shí)，Z的面積。正態(tài)曲線表中并無(wú)p=0.30的Z面積，只有與其接近的兩個(gè)值，，前者與0.30相差0.00045，后者與0.30相差0.00234。可見(jiàn)，0.29955與0.30更接近，其對(duì)應(yīng)的值0.84，即為p=0.30時(shí)Z的近似值。2）內(nèi)插法——求精確的值，其公式為3．已知p值求y值

查表法——求近似的y值

例如，求當(dāng)p=0.30的y值。查表得，與0.30接近的p值為0.29955，其值為0.28034，所以y值為0.28034。練習(xí)1、求P(0<z<2.53)=?P(z>-1.14)=?P(-1.28<z<1.83)=?P(-2.54<z<-.42)=?X～N(100,152),求P(x<115)=？2、X~N(5,102)求概率(1)P(5<X<6.2)(2)P(3.8<X<5)(3)P(2.9<X<7.1)(4)P(X>8)(5)P(7.1<X<8)（三）正態(tài)分布中的幾個(gè)常用值

在，，及其，范圍內(nèi)的面積值。（p163）±1s：68.26%±2s：95.44%±3s：99.73%±1.96s：95%±2.58s：99%四、正態(tài)分布理論在測(cè)驗(yàn)中的應(yīng)用（一）化等級(jí)評(píng)定為連續(xù)數(shù)據(jù)（二）確定測(cè)驗(yàn)題目的難易程度（三）在能力分組或等級(jí)評(píng)定時(shí)確定人數(shù)（四）T分?jǐn)?shù)或次數(shù)分布的正態(tài)化（一）化等級(jí)評(píng)定為連續(xù)數(shù)據(jù)1、處理等級(jí)評(píng)價(jià)時(shí)面臨的問(wèn)題及其解決思路問(wèn)題：①不同評(píng)價(jià)者由于各自的標(biāo)準(zhǔn)不同，在對(duì)同一個(gè)心理量進(jìn)行評(píng)定時(shí)可能給出不同的等級(jí)分?jǐn)?shù)，如何綜合評(píng)價(jià)各評(píng)價(jià)者的結(jié)果。②如何比較不同被評(píng)者的心理量的差異。2、轉(zhuǎn)化的前提條件

被評(píng)定的心理量是測(cè)量數(shù)據(jù)；服從正態(tài)分布（憑常識(shí)），只是人為地在評(píng)定時(shí)劃分為等級(jí)。3、轉(zhuǎn)化方法——用各等級(jí)中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Z分?jǐn)?shù)代表該等級(jí)分?jǐn)?shù)①根據(jù)各等級(jí)被評(píng)者的數(shù)目求出各等級(jí)的人數(shù)比率。②求各等級(jí)中點(diǎn)以下的累加比率。③用累加比率查正態(tài)表求Z分?jǐn)?shù)，用Z分?jǐn)?shù)代表各等級(jí)的測(cè)量值。④求各被評(píng)者所得評(píng)價(jià)等級(jí)的測(cè)量分?jǐn)?shù)的算術(shù)平均數(shù)，即為綜合評(píng)定分?jǐn)?shù)。例6-2：甲、乙、丙三位教師對(duì)100名學(xué)生的學(xué)習(xí)能力進(jìn)行等級(jí)評(píng)定見(jiàn)表6-2。表6-3是三名同學(xué)所獲得的評(píng)定等級(jí)。

試比較三個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的高低。表6-23位教師對(duì)100名學(xué)生學(xué)習(xí)能力的評(píng)定1）求各等級(jí)人數(shù)分布的比例值見(jiàn)上表。2）求比例中點(diǎn)以下的累積比例，即將每一等級(jí)值除以2再加上其以下的所有面積。

A：B：C：D：E：乙教師和丙教師的評(píng)定等級(jí)轉(zhuǎn)換過(guò)程以此類推

3）確定查表的p值,即。4）由值直接查正態(tài)曲線表，確定Z值。Z值的正負(fù)號(hào)以中點(diǎn)以下累積比例決定，若＞0.5，Z值為正；若＜0.5，Z值為負(fù)。5）學(xué)生學(xué)習(xí)能力的比較。用Z值比較三名學(xué)生社交能力的高低，需根據(jù)各位教師評(píng)定等級(jí)的Z值及教師人數(shù)（k）求其平均數(shù)，即，結(jié)果見(jiàn)表6-3。表6-3三位學(xué)生獲得的等級(jí)評(píng)定結(jié)果（二）確定測(cè)驗(yàn)題目的難易程度1、計(jì)算各題目的通過(guò)率p2、用0.5減去通過(guò)率p得到，根據(jù)查正態(tài)表求Z值通過(guò)率大于50%，Z值計(jì)為負(fù)值，通過(guò)率小于50%，Z值為正3、將Z值加上5，便得到0～10分的難度分?jǐn)?shù)值，進(jìn)行比較（三）在能力分組或等級(jí)評(píng)定時(shí)確定人數(shù)

適用問(wèn)題：總共有n個(gè)被試，要將他們按某指標(biāo)（能力）分成K個(gè)組，問(wèn)每個(gè)組應(yīng)各分多少個(gè)，才能使不同組在能力上的差異等距。

計(jì)算方法：假設(shè)6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（99.73%）覆蓋了全體，然后將之均分，對(duì)每等級(jí)查概率表計(jì)算相應(yīng)的比率。例6-3：要把100人在某一能力上分成5個(gè)等級(jí)，各等級(jí)應(yīng)該確定多少人，才能使等級(jí)評(píng)定作到等距？

解：第1步：Z分?jǐn)?shù)等距第2步：查表確定各組比率第3步：計(jì)算各組人數(shù)具體計(jì)算見(jiàn)下表：表中C組按計(jì)算應(yīng)為45，實(shí)際寫成44，是為了使各組人數(shù)之和與總數(shù)相等。

（四）T分?jǐn)?shù)或次數(shù)分布的正態(tài)化將樣本原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換成正態(tài)分布，稱為次數(shù)分布的正態(tài)化。這是一種非線性轉(zhuǎn)換。步驟：(1)先將原始分?jǐn)?shù)的頻數(shù)轉(zhuǎn)化為相對(duì)累加頻數(shù)，作為p；(2)通過(guò)p查正態(tài)分布表中對(duì)應(yīng)的Z，就完成了正態(tài)化。下表將“T分?jǐn)?shù)”和在標(biāo)準(zhǔn)分一節(jié)所講的“測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)”的轉(zhuǎn)化方法進(jìn)行了比較，這兩種分?jǐn)?shù)很容易混淆。

第三節(jié)二項(xiàng)分布一、二項(xiàng)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布二、二項(xiàng)分布的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差三、二項(xiàng)分布的應(yīng)用一、二項(xiàng)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布（一）二項(xiàng)試驗(yàn)任何一次試驗(yàn)恰好有兩個(gè)結(jié)果，成功與失?。还灿衝次試驗(yàn)，且n是預(yù)先給定的任一正整數(shù)；每次試驗(yàn)各自獨(dú)立，各次試驗(yàn)之間無(wú)相互影響；某種結(jié)果出現(xiàn)的概率在任何一次試驗(yàn)中都是固定的。例如拋硬幣實(shí)驗(yàn)二項(xiàng)式（二）二項(xiàng)式定理的特點(diǎn)

1、項(xiàng)數(shù)：二項(xiàng)式的展開式中共有n+1項(xiàng)。2、方次：二項(xiàng)式中，p的方次從n~0為降冥，則q從0~n為升冥，且每項(xiàng)的p、q方次之和等于n。3、系數(shù)：二項(xiàng)式中，各項(xiàng)的系數(shù)是成功與失敗次數(shù)的組合數(shù)。從第1項(xiàng)開始，各項(xiàng)的系數(shù)依次為，，,…，從兩端起，等距項(xiàng)的系數(shù)相等，即，，，…，，，。當(dāng)項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)系數(shù)最大；當(dāng)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的系數(shù)相等且最大。（三）二項(xiàng)式的概率分布及其二項(xiàng)分布曲線1、二項(xiàng)式的概率分布根據(jù)二項(xiàng)式的定理，若在n次試驗(yàn)中，求r次成功的概率分布函數(shù)，可由公式求得，即上式也可寫成二項(xiàng)分布的優(yōu)點(diǎn)在于它能迅速地確定各種可能結(jié)果的概率。例6-4：10枚硬幣擲一次，或1枚硬幣各擲十次，問(wèn)出現(xiàn)五次正面向上的概率是多少？五次或五次以上正面向上的概率是多少？（p177）解：（1）根據(jù)題意，n=10,p=q=1/2,X=5b(5,10,1/2)=（2）五次或五次以上正面向上的情況有：五次，六次，七次，八次，九次，十次。故五次或五次以上正面向上的概率是=答：出現(xiàn)五次正面向上的概率是0.24609。五次或五次以上正面向上的概率是0.623。2、二項(xiàng)分布曲線當(dāng)時(shí)，不論n有多大，二項(xiàng)分布曲線都總是對(duì)稱的；當(dāng)時(shí)，且n相當(dāng)小，則圖形顯偏態(tài)；當(dāng)n相當(dāng)大時(shí)（n≥30）時(shí)，二項(xiàng)分布曲線會(huì)逐漸接近正態(tài)分布。二、二項(xiàng)分布的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差二項(xiàng)分布接近正態(tài)分布的條件：平均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差三、二項(xiàng)分布的應(yīng)用例6-6：某套測(cè)驗(yàn)題中有10道正誤選擇題，要了解學(xué)生對(duì)所測(cè)內(nèi)容在什么情況下是真正領(lǐng)會(huì)了，什么情況下屬猜測(cè)的成分多。解：正態(tài)法①條件分析。因?yàn)?，，，所以滿足使用條件。②計(jì)算平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差平均猜對(duì)的題目數(shù)為：猜對(duì)的平均差距為：

③確定掌握的最低限度。根據(jù)正態(tài)分布的概率，當(dāng)時(shí)，該點(diǎn)以下包含了全體次數(shù)的95%，因此有這表示完全憑猜測(cè)10題中猜對(duì)8題以下的可能性有95%，而猜對(duì)8題以上的概率僅為5%。另外，或當(dāng)時(shí)，該點(diǎn)以下包含了全體次數(shù)的99%，因此有這表示完全憑猜測(cè)10題中猜對(duì)9題以下的可能性有99%。例6-7：有10道多重選擇題，每題有5個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，問(wèn)答對(duì)多少才能說(shuō)不是猜測(cè)的結(jié)果？解：此題n=10,p=1/5=0.2,q=0.8,np<5,故此題不接近正態(tài)分布，不能用正態(tài)分布計(jì)算概率，而應(yīng)該直接用二項(xiàng)分布函數(shù)計(jì)算猜對(duì)的概率：b(10,10,0.2)==0.000000102b(9,10,0.2)==0.000004096b(8,10,0.2)==0.000073728b(7,10,0.2)==0.000786423b(6,10,0.2)==0.00550524b(5,10,0.2)==0.026424115b(4,10,0.2)==0.088080384根據(jù)以上計(jì)算地猜對(duì)各題數(shù)的概率，可用概率加法求得猜對(duì)5題及5題以上的概率為0.03279,不足5%。答：答對(duì)5題以上者可算真會(huì)，作此結(jié)論尚有3.3%犯錯(cuò)誤的可能。第四節(jié)樣本分布（抽樣分布）一、正態(tài)分布及漸進(jìn)正態(tài)分布二、t分布三、X2分布四、F分布

抽樣分布是統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)，它是指從總體中隨機(jī)抽取容量為n的若干個(gè)樣本，對(duì)每一樣本可計(jì)算其統(tǒng)計(jì)量，而各統(tǒng)計(jì)量構(gòu)成的分布即為抽樣分布，也稱統(tǒng)計(jì)量分布。一、正態(tài)分布及漸進(jìn)正態(tài)分布當(dāng)統(tǒng)計(jì)量的分布符合正態(tài)分布或漸近正態(tài)分布時(shí)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推論的理論依據(jù)即為正態(tài)分布的理論。以樣本平均數(shù)為例，正態(tài)分布的應(yīng)用情形如下。1、總體呈正態(tài)，總體方差已知，則樣本均數(shù)的分布也呈正態(tài)。根據(jù)中心極限定理則有：①

樣本均數(shù)的均數(shù)等于總體均數(shù)，即②

樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本容量的平方根，即③差異檢驗(yàn)值為2、總體呈非正態(tài)，總體方差已知，樣本容量足夠大，樣本均數(shù)的分布為漸近正態(tài)分布。根據(jù)中心極限定理，亦有①樣本均數(shù)的均數(shù)等于總體均數(shù)：②樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本容量的平方根：③檢驗(yàn)值：二、t分布1、t分布的定義t分布是由小樣本統(tǒng)計(jì)量形成的概率分布。2、t分布的特點(diǎn)①t分布也是對(duì)稱分布。即平均數(shù)位于曲線的中央，在這一點(diǎn)上有一個(gè)單峰，從中央向兩側(cè)逐漸下降，尾部無(wú)限延長(zhǎng)，但不與基線相交。②t分布曲線的形狀易變，曲線不是一條而是一族，其曲線形狀隨著樣本容量的變化而有規(guī)律地變動(dòng)，即隨自由度的大小而變化。③理論上，當(dāng)t→∞時(shí)，t分布曲線以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線為極限，即呈正態(tài)分布。當(dāng)n逐漸減少時(shí)，分布的離散程度逐漸增大，曲線逐漸與正態(tài)分布分離；其峰頂逐漸下降，尾部抬高。④t分布的t值及對(duì)應(yīng)的概率值（p）,是根據(jù)自由度的大小由t分布函數(shù)計(jì)算得到的，構(gòu)成t分布臨界值。3．分布的應(yīng)用1）總體正態(tài)，未知，且n＜30時(shí)，樣本平均數(shù)的分布呈t分布。t分布的標(biāo)準(zhǔn)誤為

檢驗(yàn)值為

或2）總體呈非正態(tài)，未知，n＞30時(shí)，則樣本均數(shù)的分布近似為t分布或漸近正態(tài)分布其樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤為或檢驗(yàn)值:或三、分布（一）分布若n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ1，ξ2，…,ξn，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分