三、平面曲線的弧長(zhǎng)第二節(jié)一、平面圖形的面積二、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

第六章一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線與直線及

x

軸所圍曲則邊梯形面積為A,在上在上，面積例1.

計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍圖形的面積.解:

由得交點(diǎn)例2.

計(jì)算拋物線與直線的面積.解:

由得交點(diǎn)所圍圖形為方便計(jì)算,選取

y

作積分變量,則有例3.求橢圓解:

利用對(duì)稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b

時(shí)得圓面積公式例4.求由擺線的一拱與x

軸所圍平面圖形的面積.解:2.極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為對(duì)應(yīng)

從0例5.計(jì)算阿基米德螺線解:到2

所圍圖形面積.心形線例6.計(jì)算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對(duì)稱性)心形線心形線(外擺線的一種)即點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫開(kāi)始或暫停

尖點(diǎn):

面積:

弧長(zhǎng):參數(shù)的幾何意義例7.

計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對(duì)稱性,所求面積二、平面曲線的弧長(zhǎng)定義:

若在弧

AB

上任意作內(nèi)接折線,當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng)→0時(shí),折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限,此極限為曲線弧AB

的弧長(zhǎng),即并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的.定理:

任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.(證明略)則稱(1)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)(3)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長(zhǎng)則得弧長(zhǎng)元素(弧微分):(自己驗(yàn)證)例8.

求連續(xù)曲線段解:的弧長(zhǎng).例9.

計(jì)算擺線一拱的弧長(zhǎng).解:例10.

求阿基米德螺線相應(yīng)于0≤≤2一段的弧長(zhǎng).解:三、求平行截面面積函數(shù)已知的立體體積設(shè)所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間上的體積為因此所求立體體積為上連續(xù),特別,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的旋轉(zhuǎn)體體積上的體積為所以當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),例11.

計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x

軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:方法1

利用直角坐標(biāo)方程則(利用對(duì)稱性)方法2

利用橢圓參數(shù)方程則特別當(dāng)b=a

時(shí),就得半徑為a的球體的體積例12.

一平面經(jīng)過(guò)半徑為R

的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角,解:

如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為垂直于x

軸的截面是直角三角形,其面積為利用對(duì)稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積.思考:

可否選擇y

作積分變量?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么?如何用定積分表示體積?提示:解:垂直x

軸的截面是橢圓例13.

計(jì)算由曲面所圍立體(橢球體)它的面積為因此橢球體體積為特別當(dāng)

a=b=c

時(shí)就是球體體積.的體積.星形線星形線是內(nèi)擺線的一種.點(diǎn)擊圖片任意處播放開(kāi)始或暫停大圓半徑

R＝a小圓半徑參數(shù)的幾何意義(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動(dòng)時(shí),小圓上的定點(diǎn)的軌跡為內(nèi)擺線)內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2.平面曲線的弧長(zhǎng)曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程弧微分:直角坐標(biāo)方程上下限按順時(shí)針?lè)较虼_定直角坐標(biāo)方程注意:求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必須上大下小3.已知平行截面面積函數(shù)A(