引例2：求通過兩點(diǎn)A(x0,y0)、B(x1,,y1)且長度l為一定值的函數(shù)曲線y=y(x)，使圖中曲邊梯形ABCD的面積AS達(dá)到最大。

（1.2）AS依y的選取而定，它也是一個(gè)泛函，約束條件為AB長度

（1.3）這是帶約束條件的泛函極值由間接變分法，泛函As的極值曲線為其中常數(shù)c1,c2,r可由條件

來確定。圖1.2曲邊梯形的面積xA(x0,y0)yoB(x1,y1)CDy第1頁/共23頁第一頁，共24頁。引例3：由最小勢能原理，變形全能隨所選取的三個(gè)位移函數(shù)ui(i=1,2,3)而變，[u]也是一個(gè)泛函。而ui必須滿足的體積不變條件

L、As、Φ都是依賴于可變化的函數(shù)。稱其為自變函數(shù)，隨自變函數(shù)而變的量稱為泛函。用符號φ、J表示，記作φ[y(x)]或φ(y)等。變分法就是研究求泛函極大值和極小值的方法。第2頁/共23頁第二頁，共24頁。1.1.2泛函自變函數(shù)的變分

函數(shù)y=y(x),自變量為x

，增量

△x,稱dx為自變量x微分。泛函φ[y(x)],自變函數(shù)為y(x)，當(dāng)△y(x)

變化無限小時(shí)，稱為自變函數(shù)的變分，表為δy(x)，δyδy是指函數(shù)y(x)和跟它相接近的另一函數(shù)y1(x)

的微差。第3頁/共23頁第三頁，共24頁。零階接近度：對任何x值，一階接近度:不僅縱坐標(biāo)值很接近.

y1(x)和y2(x)的差都很小，δy=y2(x)–y1(x)

δy=y2(x)–y1(x)很小.δy′=y(x)′–y1(x)′也很小

…………

n階接近度：圖1.3曲線的接近度(a)yxoy2=y2(x)y1=y1(x)(b)yx0y2=y2(x)y1=y1(x)第4頁/共23頁第四頁，共24頁。

dy和δy的區(qū)別

dy:

是針對一條曲線y=y(x)，當(dāng)△x=dx時(shí)函數(shù)值增量的線性主部是dy。dy一般不等于零。？δy：

是在x不變時(shí)，針對兩條接近的函數(shù)曲線y(x)和y1(x)

的微差

y。

y是x的函數(shù)。

y在邊界點(diǎn)一定為零。y=y(x)xyodyδyy1=y1(x)△x=dx圖1.4dy和δy的區(qū)別y第5頁/共23頁第五頁，共24頁。1.1.3泛函的變分微分一般定義：△y=y(x+△x)-y(x)

＝A(x)△x+

(x,△x)△x拉氏定義：微分也等于y(x+ε△x)對ε導(dǎo)數(shù)在ε=0時(shí)的值。(1.5)第6頁/共23頁第六頁，共24頁。泛函變分定義一般定義：是泛函增量的線性主部拉格朗日定義

第7頁/共23頁第七頁，共24頁。即證明了拉格朗日的泛函變分的定義：第8頁/共23頁第八頁，共24頁。例：簡單泛函一階變分。第9頁/共23頁第九頁，共24頁。泛函二階變分及增量為：第10頁/共23頁第十頁，共24頁。1.2變分運(yùn)算與泛函極值條件1

2

變分號可由積分號外進(jìn)入積分號內(nèi)1.2.1運(yùn)算規(guī)則第11頁/共23頁第十一頁，共24頁。1.2.2泛函極值的條件泛函極值條件與函數(shù)極值條件具有相似的定義。如果

泛函取極小值,

泛函取極大值(1.17)第12頁/共23頁第十二頁，共24頁。1.3變分基本引理與歐拉方程1.3.1變分基本引理

設(shè)F(x)在[x0,x1]上連續(xù)，(x)是一類任意的連續(xù)函數(shù)，一階或若干階可微；在線段（x0，x1)端點(diǎn)為零；若下列積分為零則在[x0,x1]上就有F(x)≡0.證明用反證法

第13頁/共23頁第十三頁，共24頁。1.3.2歐拉方程

端點(diǎn)固定條件由基本引理式(1.18)第14頁/共23頁第十四頁，共24頁。注意到F（x,y,y')是對x的全導(dǎo)數(shù)代人式(1.20)上述歐拉方程為二階偏微分方程。解此方程可求出使泛函Φ(y)達(dá)到極值的y(x)

，稱間接解法.其它歐拉方程形式為：第15頁/共23頁第十五頁，共24頁。泛函形式

歐拉方程

邊界固定，依賴高階導(dǎo)數(shù)的泛函邊界固定，依賴于多元函數(shù)的泛函邊界固定，依賴多自變函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的泛函

約束條件：第16頁/共23頁第十六頁，共24頁。1.4泛函的條件極值變分法

表1.1第四行：

構(gòu)成新的泛函新泛函歐拉方程組

共k+n個(gè)方程，k+n個(gè)未知數(shù)：邊界條件：2n?個(gè)積分常數(shù)

第17頁/共23頁第十七頁，共24頁。1.5泛函極值的直接解法

以求解歐拉方程求極值函數(shù)（解析解），叫泛函變分的間接解法，用近似方法直接求極端函數(shù)，叫直接解法，包括：有限差分法，里茲法，康托羅維齊法，有限元法，搜索法等，直接解法簡單，得到近似解。1.5.2里茲法設(shè)y是泛函(y)取極值m的極端函數(shù)，若（試驗(yàn)函數(shù)）,滿足給定的邊界條件，且使泛函之值接近于m,則就是該問題的近似解.步驟：為n個(gè)任意的待定常數(shù)，wi彼此線性無關(guān)

,經(jīng)先微分后積分

(i=1,2,…,n)，解上述方程組來確定ai,代回原式即可，第18頁/共23頁第十八頁，共24頁。1.5.3康托羅維奇法－化偏微分為常微分方程組依賴多自變量的單自變函數(shù)的泛函

選取以權(quán)重自變量xn為自變量的Ai(xn)待定函數(shù)；以其余自變量構(gòu)成選取函數(shù)ψi(x1,x….xn-1)；要

滿足給定邊界條件。經(jīng)微積分運(yùn)算化掉

x1,x2….xn-1

，得到以為自變函數(shù)新泛函（多自變函數(shù)單變量）

代人原式即得到近似解。

第19頁/共23頁第十九頁，共24頁。泛函解法綜合例例：求泛函極值函數(shù)

1.間接法：2.直接法－Ritz法滿足邊界條件函數(shù)第20頁/共23頁第二十頁，共24頁。yx0x00.25x10.5x20.75x31x4y1y2y3yixi-1x

xiyi-1圖1.8變化域離散化與單元線性插值離散化成4單元5節(jié)點(diǎn)；i=0,1,2,3,4;建立插值關(guān)系，寫成矩陣形式；計(jì)算單元泛函與總泛函；總泛函求導(dǎo)建立聯(lián)立方程組求節(jié)點(diǎn)函數(shù)值。5.搜索法第21頁/共23頁第二十一頁，共24頁。結(jié)果比較xx0=0x1=0.25x2=0.5x3=0.75x4=1解析解：0y1=0.044y2=0.070y3=0.0600有限元：0y1=0.044y2=0.069y3=0.0600有限差分：0y1=0.044258y2=0.0701256y3=0.0603870Rize：00．044y2＝0.0690．0600yx0x00.25x10.5x20.75x31x4y1y2y31.何為泛函極值間接解法？直接解法（近似解法）？有幾種直接解法？直接解法與間接解法有何區(qū)別？第22頁/共23頁第二十二頁，共24頁。謝謝您的觀看！第23頁/共23頁第二十三頁，共24頁。內(nèi)容總結(jié)