2023/2/111第2章預備知識

第3節(jié)內積空間

第2節(jié)線性空間

第4節(jié)索伯列夫空間HK

InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第6節(jié)小結

第1節(jié)概述

第5節(jié)Galerkin變分原理和Ritz變分原理

第1頁/共46頁第一頁，共47頁。2023/2/112第1節(jié)概述

本章介紹關于有限元方法的一些數(shù)學概念和結論，目的在于對于有限元解的收斂性以及單元精度問題能有確切的了解。對于有限元方法的數(shù)學研究，目前已進行得相當充分，對這方面有興趣的讀者可進一步查閱有關的專著[1,2]。實際上有限元解是有限元插值函數(shù)的線性組合，因此，有限元解空間為函數(shù)空間(即某種函數(shù)的集合)。相關的概念可以從泛函分析書籍中了解[3]。[概述]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation[1]李開泰,黃艾香,黃慶懷.有限元方法及其應用[M].西安:西安交通大學出版社,1992.[2]陳傳淼,黃云清.有限元高精度理論[M].長沙:湖南科學技術出版社,1995[3]李廣民,劉三陽.應用泛函分析原理[M].西安:西安電子科技大學出版社,2003第2頁/共46頁第二頁，共47頁。2023/2/113第2節(jié)線性空間[線性空間的定義

]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第3頁/共46頁第三頁，共47頁。2023/2/114第2節(jié)線性空間[線性空間的定義

]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4頁/共46頁第四頁，共47頁。2023/2/115第2節(jié)線性空間[線性空間的維數(shù)

]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5頁/共46頁第五頁，共47頁。2023/2/116第2節(jié)線性空間[線性空間的維數(shù)

]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第6頁/共46頁第六頁，共47頁。2023/2/117第2節(jié)線性空間[線性空間的模/范數(shù)

]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第7頁/共46頁第七頁，共47頁。2023/2/118第2節(jié)線性空間[線性空間的模/范數(shù)

]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第8頁/共46頁第八頁，共47頁。2023/2/119第2節(jié)線性空間[線性空間的模/范數(shù)

]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第9頁/共46頁第九頁，共47頁。2023/2/1110第2節(jié)線性空間[線性空間的模/范數(shù)

]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第10頁/共46頁第十頁，共47頁。2023/2/1111第3節(jié)內積空間[內積]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第11頁/共46頁第十一頁，共47頁。2023/2/1112[內積模/范數(shù)]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第3節(jié)內積空間第12頁/共46頁第十二頁，共47頁。2023/2/1113[正交性]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第3節(jié)內積空間第13頁/共46頁第十三頁，共47頁。2023/2/1114[正交性]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第3節(jié)內積空間第14頁/共46頁第十四頁，共47頁。2023/2/1115[許瓦茲不等式]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第3節(jié)內積空間第15頁/共46頁第十五頁，共47頁。2023/2/1116[收斂性與完備性]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第3節(jié)內積空間第16頁/共46頁第十六頁，共47頁。2023/2/1117[收斂性與完備性]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第3節(jié)內積空間第17頁/共46頁第十七頁，共47頁。2023/2/1118[Sobolev空間HK定義]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4節(jié)索伯列夫空間HK

第18頁/共46頁第十八頁，共47頁。2023/2/1119[Sobolev空間HK定義]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4節(jié)索伯列夫空間HK

第19頁/共46頁第十九頁，共47頁。2023/2/1120[Sobolev空間HK定義]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4節(jié)索伯列夫空間HK

第20頁/共46頁第二十頁，共47頁。2023/2/1121[Sobolev空間HK定義]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4節(jié)索伯列夫空間HK

第21頁/共46頁第二十一頁，共47頁。2023/2/1122[Sobolev空間HK的模/范數(shù)]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4節(jié)索伯列夫空間HK

第22頁/共46頁第二十二頁，共47頁。2023/2/1123[Sobolev空間HK的半模/范數(shù)]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4節(jié)索伯列夫空間HK

第23頁/共46頁第二十三頁，共47頁。2023/2/1124[能量模/范數(shù)和能量內積]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4節(jié)索伯列夫空間HK

第24頁/共46頁第二十四頁，共47頁。2023/2/1125[能量模/范數(shù)和能量內積]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4節(jié)索伯列夫空間HK

第25頁/共46頁第二十五頁，共47頁。2023/2/1126[能量模/范數(shù)和能量內積]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4節(jié)索伯列夫空間HK

第26頁/共46頁第二十六頁，共47頁。2023/2/1127[能量模/范數(shù)和能量內積]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第4節(jié)索伯列夫空間HK

第27頁/共46頁第二十七頁，共47頁。2023/2/1128InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5節(jié)Galerkin-Ritz變分原理

[橢圓型PDEs實例]考察具有定解的橢圓型偏微分方程邊值問題

其中p(x,y)一階連續(xù)可導，且p(x,y)≥p0>0,σ(x,y)≥0且連續(xù)，n是?Ω的外法線方向，Ω是R2中的連通區(qū)域，它的邊界?Ω=Γ1∪Γ2分段光滑。記C1(Ω)和C2(Ω)分別為Ω上一切一階和二階連續(xù)可導函數(shù)的全體。如果函數(shù)u(x,y)∈C2(Ω)，并且具有一直到邊界上的一階連續(xù)導數(shù)，同時u(x,y)在Ω內和邊界?Ω上滿足偏微分方程，那么u(x,y)稱為該方程的古典解。絕大多數(shù)PDEs求不出第28頁/共46頁第二十八頁，共47頁。2023/2/1129InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5節(jié)Galerkin-Ritz變分原理

[橢圓型PDEs實例]

古典解要求過嚴，為解出方程，必須擴大解的范圍，為此，在線性解空間Ω中引入范數(shù)

完備化C1(Ω)所得到的空間為H1(Ω)，在該空間中定義內積

則H1(Ω)亦為Hilbert空間。

記D(Ω)為Ω上一切無限可微且支集在Ω內函數(shù)的全體，將D(Ω)賦予范數(shù)和內積，得到的空間記為H10(Ω)。第29頁/共46頁第二十九頁，共47頁。2023/2/1130InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5節(jié)Galerkin-Ritz變分原理

[橢圓型PDEs實例]在Ω內分片一階光滑，},中賦予范數(shù)，完備化得到的空間等價于：在V中引入內積，則V也是一個Hilbert空間，且：引入雙線性泛函所謂雙線性泛函，即固定u時，B(u,v)是v的線性泛函，而固定v時，則是u的線性泛函。換言之，若α1,β1,α2,β2為任意常數(shù)，則第30頁/共46頁第三十頁，共47頁。2023/2/1131第5節(jié)Galerkin-Ritz變分原理

[橢圓型PDEs實例]InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation可以證明B(u,v)具有以下性質：(1)對稱性(2)在V×V上連續(xù)，即存在一個常數(shù)M>0，使得(3)在V上具有強制性/正定性，即存在一個常數(shù)γ>0，使得式(8a)(9a)表示有界性和強制性對任意引入的范數(shù)||·||均成立。有界性第31頁/共46頁第三十一頁，共47頁。2023/2/1132InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5節(jié)Galerkin-Ritz變分原理

[橢圓型PDEs實例]再作v的連續(xù)線性泛函：式(1)相應的變分問題就是：求u∈V，使得

滿足式(11)的解u稱為原橢圓型偏微分方程的弱解，將弱解所在的空間稱為容許空間/試函數(shù)空間。同時由于式(11)必須對V中任一元素v都成立，故V稱為檢驗空間。上述問題其容許空間和檢驗空間取同一個Hilbert空間V，這時V又稱為能量空間。第32頁/共46頁第三十二頁，共47頁。2023/2/1133InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5節(jié)Galerkin-Ritz變分原理

[古典解和弱解的關系]

作二次泛函古典解和弱解的關系：若u∈C2(Ω)是橢圓偏微分方程式(1)的古典解，則u必為變分方程式(11)的弱解。反之，若變分方程式(11)的解為u，且u∈C2(Ω)，則u也是式(1)的古典解。

注：該關系具有嚴格的證明，證明可見[1]。1李開泰,黃艾香,黃慶懷.有限元方法及其應用[M].西安:西安交通大學出版社,1992.

式(12)稱為橢圓偏微分方程邊值問題式(1)的Galerkin變分形式，其解的存在性由Lax-Milgram定理[1]保證。J(v)的極小值問題就是求u

∈V,使得第33頁/共46頁第三十三頁，共47頁。2023/2/1134InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5節(jié)Galerkin-Ritz變分原理

[Galerkin和Ritz解關系]式(13)稱為橢圓偏微分方程式(1)的Ritz變分形式。

設V是Hilbert空間，B(u,v)是V

×V上滿足條件式(7)、式(8a)、式(9a)的雙線性泛函，f是V上線性連續(xù)泛函，J(v)為式(12)所定義的二次泛函，那么，Galerkin變分形式(11)和Ritz變分形式(13)兩個問題中(1)任何一個問題有解，則解多于一個(2)任一個問題的解，必式另一個問題的解Galerkin變分形式和Ritz變分形式解及其關系定理：下面給出該定理的詳細證明第34頁/共46頁第三十四頁，共47頁。2023/2/1135InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5節(jié)Galerkin-Ritz變分原理

[Galerkin和Ritz解關系]第35頁/共46頁第三十五頁，共47頁。2023/2/1136InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5節(jié)Galerkin-Ritz變分原理

[Galerkin和Ritz解關系]第36頁/共46頁第三十六頁，共47頁。2023/2/1137InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5節(jié)Galerkin-Ritz變分原理

[Galerkin和Ritz解關系]第37頁/共46頁第三十七頁，共47頁。2023/2/1138InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5節(jié)Galerkin-Ritz變分原理

[Galerkin和Ritz解關系](3)由于Galerkin解具有唯一性，則Ritz解唯一性由Galerkin解和Ritz解的等價性得到。證畢。第38頁/共46頁第三十八頁，共47頁。2023/2/1139InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5節(jié)Galerkin-Ritz變分原理

[Galerkin和Ritz解關系]

相當廣泛的一類橢圓偏微分方程邊值問題，都存在與之對應的對稱、連續(xù)、有界、強制的雙線性泛函，使得邊值問題的弱解，對應一個Hilbert空間上的抽象變分。對于這一類問題的研究是從事有限元研究的應用/計算數(shù)學研究者主要工作，即推導出方程的計算格式。第39頁/共46頁第三十九頁，共47頁。2023/2/1140InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5節(jié)Galerkin-Ritz變分原理

[Galerkin逼近解推導]

有限元數(shù)值分析方法的任務就是將工程實踐中抽象出來的PDEs離散為代數(shù)方程，即將無窮維空間中的問題轉化到有限維子空間中來，然后求其近似解。

以本節(jié)給出的橢圓型偏微分方程為例，推導其Galerkin逼近解。

設Vh是V的有限維子空間，當h→0時，Vh的維數(shù)無限增加，直到充滿V為止。那么，Galerkin變分問題式(11)逼近解uh∈Vh，使得設Vh的基函數(shù)系為第40頁/共46頁第四十頁，共47頁。2023/2/1141InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5節(jié)Galerkin-Ritz變分原理

[Galerkin逼近解推導]

設Vh是V的有限維子空間，當h→0時，Vh的維數(shù)無限增加，直到充滿V為止。那么，Galerkin變分問題式(11)逼近解uh∈Vh，使得其中，{ai},{bi}∈Rn。將式(15)代入式(14)，得第41頁/共46頁第四十一頁，共47頁。2023/2/1142InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5節(jié)Galerkin-Ritz變分原理

[Galerkin逼近解推導]由{bi}的任意性，可得令則

式(18)是對應于Galerkin變分形式的線性代數(shù)方程組，求解可得Galerkin逼近解。第42頁/共46頁第四十二頁，共47頁。2023/2/1143InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation第5節(jié)Galerkin-Ritz變分原理

[Ritz逼近解推導]而原問題變?yōu)槎嘣瘮?shù)的極小值問題，有從而得到第43頁/共46頁第四十三頁，共47頁。2