幾何五大模型一、五大模型簡介（1)等積變換模型

1、等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；

2、兩個(gè)三角形高相等，面積之比等于底之比,如圖①所示，S[sｕb］1[/sub]：S[sub］2[／sｕb]=a:b;

3、兩個(gè)三角形底相等，面積在之比等于高之比,如圖②所示，S[sｕb］1［／sub]:Ｓ［ｓｕb]2[/sub]=a:b;

4、在一組平行線之間的等積變形，如圖③所示，S[suｂ］△ＡCD［/sub］＝Ｓ［sub］△BCD[/ｓub]；反之,假如S[sub］△ACD[／sub]＝S[sub]△BＣＤ[/ｓｕｂ]，

則可知直線AＢ平行于CD。

例、如圖,三角形AＢC的面積是24,Ｄ、Ｅ、F分別是BC、ＡＣ、ＡD的中點(diǎn),求三角形DEF的面積。

(2）鳥頭(共角)定理模型

1、兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ),這兩個(gè)三角形叫共角三角形;

2、共角三角形的面積之比等于相應(yīng)角(相等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比。

如圖下圖三角形AＢC中,D、Ｅ分別是ＡB、AＣ上或AB、AＣ延長線上的點(diǎn)

則有:Ｓ[ｓｕb]△ＡＢC[/ｓub]:Ｓ[ｓub]△ADE[/sub]=（AB×AＣ）:（AD×AＥ）

我們現(xiàn)在以互補(bǔ)為例來簡樸證明一下共角定理!

如圖連接ＢE,根據(jù)等積變化模型知，S[sｕb］△ADＥ[／sub］:Ｓ[sｕｂ］△ABE[/sub]=AD：AB、S[sub]△ABE[/suｂ]:S[suｂ]△CBE[/suｂ]=AＥ:CE，所以S[ｓub]△ABＥ［／ｓｕb]:Ｓ[sｕb]△ABC[/ｓub］=S[sｕb]△ABＥ[/ｓub]：（S[sub]△ABＥ[/sub]＋S[sub]△CBE[/ｓub］）=AE：AＣ,因此Ｓ［ｓｕb］△ADE[/sub]：Ｓ［suｂ]△ABＣ［/suｂ]=(S[ｓub］△ADE[/sub］:S[suｂ]△ABE［／sｕb])×(Ｓ[sｕb]△ABＥ[/ｓｕb]：Ｓ[sｕｂ］△ABC［/ｓub]）=(AＤ:AB)×(AE:AC)。例、如圖在ΔABC中,D在ＢA的延長線上，E在AC上，且AB:AD=5:2,AE：EＣ=３:２，△ＡDＥ的面積為１２平方厘米,求ΔＡBC的面積。

（3)蝴蝶模型

1、梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)

例、如圖，梯形ABCD,AB與CD平行,對(duì)角線AC、ＢＤ交于點(diǎn)O，已知△AOＢ、△BOＣ的面積分別為25平方厘米、３５平方厘米，求梯形ABCD的面積。

2、任意四邊形中的比例關(guān)系(“蝴蝶定理”):

例、如圖，四邊形ABＣD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)Ｏ,假如三角形ABＤ的面積等于三角形BCD面積的1/３，且ＡO=2、DO=3，求CＯ的長度是ＤO長度的幾倍。

蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個(gè)途徑,通過構(gòu)造模型,一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系;另一方面，也可以得到與面積相應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系。(4）相似模型

1、相似三角形:形狀相同,大小不相等的兩個(gè)三角形相似;

2、尋找相似模型的大前提是平行線:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相

交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。

3、相似三角形性質(zhì)：

①相似三角形的一切相應(yīng)線段（相應(yīng)高、相應(yīng)邊）的比等于相似比;

②相似三角形周長的比等于相似比；

③相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似模型大體分為金字塔模型、沙漏模型這兩大類,注意這兩大類中都具有ＢＣ平行DE這樣的一對(duì)平行線!

例、如圖，已知在平行四邊形ABCD中,AB=16、AD=10、BE=４，那么FC的長度是多少?

（５）燕尾模型

由于陰影部分的形狀像一只燕子的尾巴,所以在數(shù)學(xué)上把這樣的幾何圖形叫做燕尾模型，看一下它都有哪些性質(zhì)：S［ｓub]△ＡBG[／sｕb]：S[suｂ]△ACＧ[/sｕｂ]＝Ｓ［suｂ]△ＢGE［/sub]:Ｓ[sｕb]△CGE［／sub]＝BE：CES［sub]△BGA［/ｓub]：S[sub］△BGＣ[/sub]=S[suｂ]△GＡF[／suｂ］:S[sｕb]△GCＦ［/suｂ]＝ＡF:ＣFS[sｕb]△AGＣ[/ｓub]:Ｓ[sｕb]△BＧC［/ｓｕｂ]=S［sub]△AＧD[/sub]:S[sｕb]△BＧD[/sub]＝ＡD：BＤ例、如圖，E、D分別在AC、BＣ上,且AE:EＣ=２:3，ＢＤ：DC=１:2，AD與BE交于點(diǎn)F,四邊形DＦEC的面積等于22平方厘米,求三角形ABＣ的面積。

二、五大模型經(jīng)典例題詳解（1)等積變換模型例1、圖中的E、Ｆ、G分別是正方形ＡBＣD三條邊的三等分點(diǎn),假如正方形的邊長是１2，那么陰影部分的面積是多少？

例2、如圖所示,Q、E、P、M分別為直角梯形ABCD兩邊AＢ、CD上的點(diǎn),且DQ、CP、ＭE彼此平行,已知ＡD=5、ＢＣ＝７、ＡE=5、EＢ=3,求陰影部分三角形ＰＱM的面積。

(2）鳥頭（共角)定理模型例１、如圖所示,平行四邊形ABCD,BE=AB、CＦ=２CＢ、GD=3ＤＣ、HA=4AD,平行四邊形ABCD的面積為2,求平行四邊形ＡBCD與四邊形EＦGH的面積比。

例2、如圖所示，△ABＣ的面積為1，BC=5BＤ、AC=4EＣ、DG=GS＝SE、AＦ=FG,求△ＦＧS的面積。

(3）蝴蝶模型例1、如圖，正六邊形面積為1,那么陰影部分面積為多少？

例2、如圖,長方形ＡBCＤ被ＣE、ＤF提成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、５、８平方厘米，求余下的四邊形ＯＦBC的面積。

例3、如圖，已知正方形ABCD的邊長為１0厘米,Ｅ為ＡD的中點(diǎn),F為CE的中點(diǎn)，G為BF的中點(diǎn)，求三角形BDG的面積。

(4）相似模型例１、如圖,正方形的面積為1，Ｅ、Ｆ分別為AＢ、BD的中點(diǎn)，ＧＣ=1/3FC,求陰影部分的面積。

例2、如圖,長方形AＢCＤ,E為ＡD的中點(diǎn),ＡF與ＢD、BE分別交于Ｇ和H，ＯＥ垂直于AD，交AD于E點(diǎn),交AＦ于O點(diǎn),已知ＡＨ=5,HF=３，求AG的長。

(５）燕尾模型例1、如圖,正方形ＡBＣD的面積是12０平方厘米,Ｅ是AB的中點(diǎn),Ｆ是BC的中點(diǎn),求四邊形BGHF的面積。

例２、如圖，在△ABC中,ＢD＝2DＡ、ＣE=2EB、ＡＦ=２ＦC，那么△ＡＢC的面積是陰影△GＨＩ面積的幾倍?

例3、如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn),點(diǎn)Ｅ、F是BＣ的三等分點(diǎn),若△ＡBC的面積是１,求四邊形CＤMF的面積。

三、鞏固練習(xí)1、如圖,在角MON的兩邊上分別有Ａ、Ｃ、E、B、Ｄ、F六個(gè)點(diǎn),并且△OAB、△ＡBＣ、△BCＤ、△CDE、△DEF的面積都等于１,求△DCF的面積。

2、如下圖，ABCＤ為平行四邊形，EF平行AC,假如△AＤE的面積為4平方厘米,求三角形CDF的面積。

3、如下圖,在三角形AＢC中,ＢD＝2AD，AG=2CG，BE=EF=ＦC，求四邊形DGFE面積占三角形AＢC的幾分之幾?

4、如圖,四邊形EFＧH的面積是66平方米,EＡ=AB、CB=BＦ、DC＝CG、HＤ=ＤA,求四邊形ＡBＣD的面積。

5、邊長為1的正方形AＢCＤ中,BE=２ＥC、FC=DＦ，求三角形AGE的面積。

6、如圖，一個(gè)長方形被一些直線提成了若干個(gè)小塊,已知三角形AＤG的面積為1１,三角形BＣH的面積為23，求四邊形EGＦＨ的面積。

7、如圖，三角形AＢＣ是一塊銳角三角形余料,BC=１2０毫米，高ＡD=８０毫米。現(xiàn)在要把它加工成一個(gè)正方形零件，是正方形的一邊在BＣ上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上,這個(gè)正方形零件的邊長是多少？

8、如圖，已知正方形ＡＢＣＤ的面積為１20平方厘米，E是AB邊的中點(diǎn)，Ｆ是BC邊的中點(diǎn),求四邊形ＢGＨF的面積。