：—————————————————————————–答：—————————————————————————–答題時(shí)不要超過(guò)此線—————————————————————————–中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)題號(hào)一二三四五六總分得分復(fù)評(píng)人(1)給定空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A(0,1,1)，B(1,2,3)，C(1,1,3)及D(1,3,5)，則(a)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,C的平面的一般方程為；(b)四面體ABCD的體積為。向量。若det(A)=2，則det(B)=。/121、(3)已知A=ì012↓，則A_1=。(4)設(shè)A為正交矩陣，A*為A的伴隨矩陣。則det(A*)=。/x12、(5)已知矩陣A=ì.1067↓的特征值為λ1=λ2=1，λ3=2。(y.2.1．則x=，y=。(6)已知矩陣A=\是正定矩陣，則t必須滿足的條件是。=。(8)設(shè)P3[x]為次數(shù)小于等于3的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體構(gòu)成的線性空間。定PPxpxxpxxxx下dx(9)在線性空間Mn(R)中(運(yùn)算為矩陣的加法和數(shù)乘)，記V1為所有對(duì)稱矩陣V陣構(gòu)成的子空間。則dimV1=，dimV2=。+x2+2x2x2+4x2+x3+x3+2x3+3x3+x4+x4+2x4+3x4+x5=a.3x5=0+6x5=b.x5=2(2)當(dāng)方程組有解時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的齊次方程組的一組基礎(chǔ)解系。(3)當(dāng)方程組有解時(shí)，求出方程組的全部解?！C—————————————————————————–答題時(shí)不要超過(guò)此線—————————————————————————–在線性空間M2(R)中，設(shè)α1=11\和β1在線性空間M2(R)中，設(shè)α1=11\和β1=1\,β2=1\,α2=1\,β3=1\,α4=\分別為M2(R)的兩組基。β3,β4的過(guò)渡矩陣T。(2)設(shè)A去M2(R)在β1,β2,β3,β4下的坐標(biāo)為(1,.2,3,0)T，求A在α1,α2,α3,考慮分塊矩陣M=1\，其中A為n階可逆方陣。證明：rank(M)=n+rank(D.CA_1B)?！C—————————————————————————–答題時(shí)不要超過(guò)此線—————————————————————————–已知二次型Q(x1,x2,x3)=3x+2x+3x.2x1x3。x(2)求正交變換P，使x=Py把Q(x1,x2,x3)化為標(biāo)準(zhǔn)形。(3)二次型是正定的、負(fù)定的還是不定的，為什么？(4)指出Q(x1,x2,x3)=1的幾何意義。nk=1nk=1βi=─akibk(i=1,2,×××,m)，A=(aij)n3m。證明：(1)(a)2x.z+1=0;(b)ì(AB±AC).ADì=.(2)det(B)=.48./1.23、(．.(3)A—1=ì0(．.01(4)A*=士1.(5)x=.1,y=4.(6)0<t<2.(7)1./0100、ì0120↓(8)ì0023↓000003(9)dimV1=,dimV2=./11111a、A=3211.30初.等.變.ì01226b↓(5433.12．(1)即a=1,b=3時(shí)原方程有解.(2)當(dāng)a=1,b=3時(shí)，/111111、/1B=012263初.等.變.0ì000000↓ì0(000000．(0所以同原方程組導(dǎo)出組同解的方程組為：/1ì0ìì0ì0(00.1111226000000.1.5260000a、3a=Bb.3a↓2.2a．.2、3↓↓0．/1、/1、/5、/x3、/1、/0、/0、(x5．(0．,(0．,(1．,010取ìx4↓分別為ì0↓ì1↓ì0↓得基礎(chǔ)解系：ξ(x5．(0．,(0．,(1．,010(0．(0．(1．(3)由(2)知與原方程組同解的方程組為：/.2、ì3↓ì↓令x3=x4=x5=0,得一特解：η0=0.ì↓ì0↓(0．故原方程的通解為：η0+c1ξ1+c2ξ2+c3ξ3(ci為任意常數(shù)).β1=.α1+α4β2=α1.α2+α4β3=α2.α3+α4β4=α3/.1與(β與(β1β2β3β4)=(α1α2α3α4)ì0(11.10101.110、0↓↓11↓0．/.1100、ì0.110↓所以過(guò)渡矩陣T=ì00.11↓(1110．/1、/1、/x1、(2)A=(β1β2β3β4).2=(α1α2α3α4)T.2=(α1α2α3α4)x2.ì3↓ì3↓ìx3↓(0．(0．(x4．/x1、/1、/.1100、/1、/.3、由坐標(biāo)的唯一性：=T==ìx2↓ì.2↓ì0.1由坐標(biāo)的唯一性：=T==ìx3↓ì3↓ì00.11↓ì3↓ì.3↓x40111002(．x40111002/30.1、/30.1、/x1、因?yàn)閈M1A所以A所以rank(M)=rankì=n+rank(D.CA—1B)..A—I1B\=\,注意相抵的方陣秩相同.0↓0↓=rank(A)+rank(D.CA—1B)D.CA—1B．(1)Q(x1,x2,x3)=xTAx,其中A=ì(2)因?yàn)閨λI.A|=(λ.4)(λ.2)2,所以A的特征值為λ1=4,λ2=λ3=2.相應(yīng)的正交向量組：x1=1/ì、↓x2=1/ì、↓x3=/ì、↓^2．.1．,^2．1．,．0．.令P=(x1x2x3)=001,P為正交矩陣.ì則Q(x1,x2,x3)ì=4y+2y+2y.ìx=Py(3)Q是正定的，因?yàn)檎龖T性指數(shù)r=n=3.(4)Q(x1,x2,x3)=1表示橢球面.設(shè)rank(A)=r,不妨設(shè)A的前r列線性無(wú)關(guān),則A的第j列(j>r)都可由前r列線性表示.n/a1j、k=1(anj．因?yàn)棣耲