學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1．拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0）y2＝－2px(p〉0)x2＝2py（p>0)x2＝－2py（p>0）p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O（0，0）對(duì)稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（p,2)，0）)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f(p,2)，0）)Feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f(p，2）)）Feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，－\f(p，2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p，2)x＝eq\f（p，2）y＝－eq\f（p，2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0,y∈Rx≤0，y∈Ry≥0,x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下【知識(shí)拓展】1．拋物線y2＝2px(p>0）上一點(diǎn)P（x0，y0)到焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(p,2），0)）的距離|PF｜＝x0＋eq\f（p,2)，也稱為拋物線的焦半徑．2．y2＝ax的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(a，4），0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f（a,4).3．設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p>0）焦點(diǎn)F的弦，若A（x1，y1)，B(x2，y2），則(1）x1x2＝eq\f(p2,4),y1y2＝－p2.(2)弦長(zhǎng)｜AB｜＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)（α為弦AB的傾斜角）．(3）以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．（4）通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長(zhǎng)等于2p,通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦．【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確（請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)（1）平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．(×)（2）方程y＝ax2（a≠0）表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線,且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是（eq\f(a,4），0）,準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(a，4）.（×）（3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形,又是軸對(duì)稱圖形．（×）(4）AB為拋物線y2＝2px(p〉0)的過(guò)焦點(diǎn)F（eq\f（p，2），0)的弦，若A（x1,y1)，B(x2，y2）,則x1x2＝eq\f(p2,4），y1y2＝－p2,弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p.(√）1．（2016·四川)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(）A．(0,2) B．(0,1)C．(2,0) D．（1,0)答案D解析∵對(duì)于拋物線y2＝ax，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（a，4），0))，∴對(duì)于y2＝4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)．2．(2016·金華一診)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1）,Q（x2,y2）兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，則|PQ|等于()A．9B．8C．7D．6答案B解析拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0），準(zhǔn)線方程為x＝－1。根據(jù)題意可得，|PQ｜＝｜PF｜＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8。3．設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是（)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1（－\f(1,2)，\f（1,2））) B．－2，2]C．－1，1] D．－4，4]答案C解析Q(－2，0)，設(shè)直線l的方程為y＝k（x＋2），代入拋物線方程,消去y整理得k2x2＋（4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64（1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.4．(2016·合肥模擬)已知拋物線y2＝2px(p>0）的準(zhǔn)線與圓x2＋y2－6x－7＝0相切,則p的值為________．答案2解析拋物線y2＝2px(p〉0)的準(zhǔn)線為x＝－eq\f（p，2），圓x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16,則圓心為(3,0），半徑為4.又因?yàn)閽佄锞€y2＝2px（p〉0)的準(zhǔn)線與圓x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋eq\f(p,2）＝4,解得p＝2。題型一拋物線的定義及應(yīng)用例1(1)已知F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，｜AF｜＋｜BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()A。eq\f(3，4)B．1C。eq\f(5,4）D。eq\f（7,4）（2)設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若B（3，2）,則|PB|＋|PF|的最小值為________．答案(1）C(2)4解析(1）∵|AF｜＋｜BF｜＝xA＋xB＋eq\f（1，2）＝3,∴xA＋xB＝eq\f（5,2)，∴線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為eq\f(xA＋xB,2）＝eq\f(5，4）。(2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，則|P1Q|＝｜P1F|.則有｜PB|＋|PF｜≥|P1B｜＋｜P1Q｜＝｜BQ｜＝4.即｜PB|＋|PF｜的最小值為4.引申探究1．若將本例(2)中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(3，4），試求｜PB｜＋｜PF｜的最小值．解由題意可知點(diǎn)（3,4)在拋物線的外部．∵|PB|＋|PF｜的最小值即為B，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離，∴｜PB｜＋|PF|≥｜BF｜＝eq\r(42＋22）＝eq\r(16＋4)＝2eq\r(5）,即|PB|＋｜PF｜的最小值為2eq\r（5).2．若將本例(2）中的條件改為：已知拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋5＝0，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1＋d2的最小值．解由題意知,拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0）．點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d1＝｜PF｜－1,所以d1＋d2＝d2＋|PF｜－1。易知d2＋｜PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離,故d2＋|PF|的最小值為eq\f（|1＋5｜，\r(12＋(－1）2））＝3eq\r(2），所以d1＋d2的最小值為3eq\r（2）－1.思維升華與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題,一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性，因此此類問(wèn)題也有一定的難度．“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線"，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的重要途徑．設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1，1)的距離與點(diǎn)P到直線x＝－1的距離之和的最小值為________．答案eq\r(5)解析如圖，易知拋物線的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線是x＝－1，由拋物線的定義知：點(diǎn)P到直線x＝－1的距離等于點(diǎn)P到F的距離．于是，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在拋物線上求一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A(－1,1）的距離與點(diǎn)P到F（1，0)的距離之和最小，顯然，連接AF與拋物線相交的點(diǎn)即為滿足題意的點(diǎn)，此時(shí)最小值為eq\r（［1－(－1)］2＋(0－1)2）＝eq\r（5）。題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)命題點(diǎn)1求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2已知雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2）＝1(a>0，b>0）的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py（p>0）的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為()A．x2＝eq\f（8\r（3），3)y B．x2＝eq\f（16\r（3），3）yC．x2＝8y D．x2＝16y答案D解析∵eq\f(x2,a2）－eq\f(y2,b2)＝1的離心率為2，∴eq\f（c,a)＝2，即eq\f（c2，a2)＝eq\f（a2＋b2,a2)＝4，∴eq\f（b2，a2）＝3,eq\f(b,a)＝eq\r(3）.x2＝2py(p〉0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0,\f(p,2)))，eq\f（x2,a2)－eq\f（y2,b2）＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a）x，即y＝±eq\r(3)x。由題意得eq\f(\f(p，2),\r（1＋（\r（3））2））＝2，∴p＝8.故C2的方程為x2＝16y。命題點(diǎn)2拋物線的幾何性質(zhì)例3已知拋物線y2＝2px（p>0)的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1）,B（x2,y2）是過(guò)F的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：（1）y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2，4）；（2）eq\f（1,|AF|)＋eq\f(1，｜BF｜)為定值；(3）以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．證明（1)由已知得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(p,2),0）．由題意可設(shè)直線方程為x＝my＋eq\f（p，2)，代入y2＝2px，得y2＝2peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（my＋\f(p，2）））,即y2－2pmy－p2＝0.（＊)則y1,y2是方程(*)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,所以y1y2＝－p2。因?yàn)閥eq\o\al（2,1)＝2px1，yeq\o\al（2,2)＝2px2,所以yeq\o\al(2,1）yeq\o\al（2，2）＝4p2x1x2，所以x1x2＝eq\f（y\o\al(2,1）y\o\al（2,2)，4p2）＝eq\f（p4，4p2)＝eq\f（p2,4).(2)eq\f（1,｜AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f（1，x1＋\f(p,2））＋eq\f（1，x2＋\f（p，2）)＝eq\f(x1＋x2＋p，x1x2＋\f（p,2)（x1＋x2)＋\f(p2，4）).因?yàn)閤1x2＝eq\f(p2,4）,x1＋x2＝|AB|－p，代入上式,得eq\f（1，|AF｜)＋eq\f(1，|BF|)＝eq\f(|AB|，\f(p2,4）＋\f(p,2）（｜AB|－p)＋\f（p2,4)）＝eq\f(2,p）(定值）．(3)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，分別過(guò)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，D,過(guò)M作準(zhǔn)線的垂線,垂足為N，則|MN|＝eq\f（1，2)(｜AC|＋｜BD｜)＝eq\f（1,2）(｜AF|＋｜BF|)＝eq\f(1,2)｜AB｜。所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．思維升華（1)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法,其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p,只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí),要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題更是如此．（1)（2016·全國(guó)乙卷)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知｜AB｜＝4eq\r(2），|DE｜＝2eq\r(5)，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A．2B．4C．6D．8（2）（2016·昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考)拋物線y2＝2px（p〉0）的焦點(diǎn)為F,已知點(diǎn)A、B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠AFB＝120°。過(guò)弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN,垂足為N，則eq\f(｜MN|，|AB｜)的最大值為（）A。eq\f（\r(3），3）B．1C。eq\f(2\r(3),3)D．2答案(1)B（2）A解析（1)不妨設(shè)拋物線C：y2＝2px（p>0），則圓的方程可設(shè)為x2＋y2＝r2（r〉0），如圖，又可設(shè)A(x0，2eq\r（2））,eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（p，2）,\r（5））），點(diǎn)A（x0，2eq\r(2）)在拋物線y2＝2px上,∴8＝2px0， ①點(diǎn)A（x0，2eq\r(2))在圓x2＋y2＝r2上，∴xeq\o\al（2，0)＋8＝r2， ②點(diǎn)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p，2），\r(5）)）在圓x2＋y2＝r2上，∴5＋eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(p,2)）)2＝r2， ③聯(lián)立①②③,解得p＝4，即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p＝4，故選B.(2）設(shè)｜AF｜＝a,|BF|＝b，分別過(guò)A、B作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為Q、P，由拋物線的定義知，|AF｜＝|AQ|，|BF｜＝｜BP｜，在梯形ABPQ中，2｜MN｜＝|AQ｜＋|BP|＝a＋b。|AB|2＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b）2－ab.又ab≤（eq\f(a＋b，2）)2，所以（a＋b)2－ab≥（a＋b)2－eq\f(1，4）（a＋b）2＝eq\f（3,4)（a＋b）2,得到|AB|≥eq\f（\r（3),2)（a＋b)，所以eq\f(｜MN｜，｜AB｜)≤eq\f（\f（1,2)（a＋b），\f(\r（3），2)（a＋b））＝eq\f（\r(3),3)，即eq\f(|MN｜，｜AB｜)的最大值為eq\f（\r(3）,3)。題型三直線與拋物線的綜合問(wèn)題命題點(diǎn)1直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題例4已知拋物線C:y2＝8x與點(diǎn)M(－2，2），過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A、B兩點(diǎn)．若eq\o(MA，\s\up6（→))·eq\o(MB,\s\up6(→））＝0，則k＝________。答案2解析拋物線C的焦點(diǎn)為F(2，0),則直線方程為y＝k(x－2），與拋物線方程聯(lián)立,消去y化簡(jiǎn)得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0。設(shè)點(diǎn)A(x1，y1）,B(x2,y2)．則x1＋x2＝4＋eq\f（8，k2),x1x2＝4。所以y1＋y2＝k(x1＋x2）－4k＝eq\f（8，k）,y1y2＝k2x1x2－2（x1＋x2）＋4］＝－16.因?yàn)閑q\o（MA，\s\up6（→)）·eq\o(MB，\s\up6(→))＝（x1＋2，y1－2）·（x2＋2，y2－2）＝（x1＋2）(x2＋2)＋(y1－2）(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，將上面各個(gè)量代入,化簡(jiǎn)得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.命題點(diǎn)2與拋物線弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題例5(2016·全國(guó)丙卷）已知拋物線C：y2＝2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)．（1）若F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明：AR∥FQ；（2）若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程．(1)證明由題意知,Feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，2)，0))，設(shè)l1:y＝a，l2:y＝b，則ab≠0，且Aeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（a2，2），a）),Beq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（b2，2）,b)），Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2)，a）)，Qeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（1,2），b）），Req\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2)，\f(a＋b，2)）).記過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線為l,則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0.由于F在線段AB上,故1＋ab＝0.記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，則k1＝eq\f（a－b，1＋a2)＝eq\f(a－b，a2－ab)＝eq\f（1，a）＝－eq\f（ab,a）＝－b＝eq\f(b－0，－\f（1，2)－\f（1,2）)＝k2.所以AR∥FQ.(2)解設(shè)過(guò)AB的直線為l,設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0），則S△ABF＝eq\f(1,2)｜b－a｜|FD|＝eq\f（1,2）｜b－a|eq\b\lc\｜\rc\｜(\a\vs4\al\co1（x1－\f（1,2））），S△PQF＝eq\f（｜a－b|,2）。由題意可得|b－a｜eq\b\lc\｜\rc\｜（\a\vs4\al\co1(x1－\f（1,2)））＝eq\f（｜a－b｜，2)，所以x1＝1，x1＝0（舍去）．設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E（x,y）．當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由kAB＝kDE可得eq\f（2，a＋b)＝eq\f(y，x－1)（x≠1)．而eq\f(a＋b,2)＝y(tǒng)，所以y2＝x－1(x≠1）．當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D重合,此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0），所以,所求軌跡方程為y2＝x－1（x≠1）．思維升華(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．（2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式｜AB｜＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn),則必須用一般弦長(zhǎng)公式．（3）涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體代入”等解法．提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法"求解．(2016·天津模擬)已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F,直線l過(guò)點(diǎn)M(4，0)．(1)若點(diǎn)F到直線l的距離為eq\r（3)，求直線l的斜率；（2)設(shè)A,B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不垂直于x軸,若線段AB的垂直平分線恰過(guò)點(diǎn)M，求證:線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值．（1）解由已知，得x＝4不合題意,設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4）,由已知，得拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），因?yàn)辄c(diǎn)F到直線l的距離為eq\r(3），所以eq\f(｜3k｜，\r（1＋k2)）＝eq\r（3），解得k＝±eq\f(\r(2)，2)，所以直線l的斜率為±eq\f（\r（2），2).(2）證明設(shè)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為N（x0，y0),A（x1,y1)，B（x2，y2)，因?yàn)锳B不垂直于x軸，則直線MN的斜率為eq\f(y0,x0－4），直線AB的斜率為eq\f(4－x0，y0），直線AB的方程為y－y0＝eq\f（4－x0，y0）（x－x0),聯(lián)立方程eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y－y0＝\f（4－x0，y0)(x－x0），,y2＝4x，)）消去x得（1－eq\f(x0，4)）y2－y0y＋yeq\o\al（2，0)＋x0(x0－4)＝0，所以y1＋y2＝eq\f(4y0，4－x0），因?yàn)镹是AB中點(diǎn),所以eq\f（y1＋y2，2）＝y(tǒng)0,即eq\f(2y0，4－x0)＝y(tǒng)0,所以x0＝2，即線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值2。7．直線與圓錐曲線問(wèn)題的求解策略典例（14分）已知拋物線C：y＝mx2（m>0)，焦點(diǎn)為F,直線2x－y＋2＝0交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn),過(guò)P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q.（1）求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若拋物線C上有一點(diǎn)R（xR,2)到焦點(diǎn)F的距離為3，求此時(shí)m的值；（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．思維點(diǎn)撥(3)中證明eq\o(QA，\s\up6（→））·eq\o(QB,\s\up6(→)）＝0。規(guī)范解答解（1)∵拋物線C:x2＝eq\f（1,m)y，∴它的焦點(diǎn)F(0，eq\f（1,4m))．3分］（2）∵|RF｜＝y(tǒng)R＋eq\f（1，4m)，∴2＋eq\f(1，4m)＝3,得m＝eq\f（1，4)。5分](3)存在,聯(lián)立方程eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝mx2，,2x－y＋2＝0，））消去y得mx2－2x－2＝0，依題意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2）>0?m〉－eq\f(1,2）。7分］設(shè)A(x1，mxeq\o\al（2,1）)，B（x2，mxeq\o\al(2,2)），則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f（2,m），，x1·x2＝－\f(2,m)。))（*)∵P是線段AB的中點(diǎn),∴P(eq\f(x1＋x2,2）,eq\f(mx\o\al（2，1）＋mx\o\al（2,2)，2）)，即P（eq\f（1,m)，yP),∴Q(eq\f(1，m），eq\f(1,m））．9分]得eq\o（QA,\s\up6(→））＝（x1－eq\f(1,m),mxeq\o\al(2，1）－eq\f（1,m）），eq\o（QB，\s\up6（→)）＝(x2－eq\f(1，m)，mxeq\o\al(2，2）－eq\f(1,m）），若存在實(shí)數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則eq\o（QA，\s\up6（→)）·eq\o（QB,\s\up6(→))＝0,即(x1－eq\f（1，m）)·（x2－eq\f（1,m)）＋（mxeq\o\al(2，1）－eq\f（1，m))（mxeq\o\al（2,2）－eq\f（1，m)）＝0,12分］結(jié)合(＊）化簡(jiǎn)得－eq\f(4,m2）－eq\f(6，m)＋4＝0，即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－eq\f（1，2），而2∈（－eq\f(1，2），＋∞)，－eq\f（1，2)?(－eq\f(1,2），＋∞）．∴存在實(shí)數(shù)m＝2,使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形．14分］解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟第一步:聯(lián)立方程，得關(guān)于x或y的一元二次方程;第二步:寫出根與系數(shù)的關(guān)系，并求出Δ〉0時(shí)參數(shù)范圍（或指出直線過(guò)曲線內(nèi)一點(diǎn)）；第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的關(guān)系式，求得結(jié)果;第四步:反思回顧,查看有無(wú)忽略特殊情況。1．（2016·太原模擬)若拋物線y＝ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），則a等于（)A．1B.eq\f（1，2)C．2D。eq\f(1，4)答案D解析因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(1,a）y，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,eq\f（1,4a)），則有eq\f(1，4a)＝1，a＝eq\f（1,4)，故選D。2．（2016·浙江統(tǒng)一檢測(cè))已知拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，經(jīng)過(guò)F的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，如果eq\o（OA,\s\up6(→)）·eq\o(OB,\s\up6(→））＝－12,那么拋物線C的方程為(）A．x2＝8y B．x2＝4yC．y2＝8x D．y2＝4x答案C解析由題意,設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p〉0),直線方程為x＝my＋eq\f(p,2），聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝2px，,x＝my＋\f(p,2)，）)消去x得y2－2pmy－p2＝0，設(shè)A（x1，y1)，B(x2，y2),則y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，得eq\o（OA，\s\up6（→))·eq\o(OB,\s\up6（→)）＝x1x2＋y1y2＝（my1＋eq\f(p,2)）·（my2＋eq\f(p,2））＋y1y2＝m2y1y2＋eq\f(pm,2)(y1＋y2）＋eq\f(p2，4)＋y1y2＝－eq\f（3，4)p2＝－12?p＝4,即拋物線C的方程為y2＝8x.3．已知拋物線y2＝2px(p〉0），過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2答案B解析∵y2＝2px(p〉0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f（p，2），0），∴過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y＝x－eq\f(p，2)，即x＝y(tǒng)＋eq\f（p,2），將其代入y2＝2px,得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2),則y1＋y2＝2p,∴eq\f（y1＋y2，2)＝p＝2，∴拋物線的方程為y2＝4x,其準(zhǔn)線方程為x＝－1。4．（2016·綿陽(yáng)模擬）已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和l2的距離之和的最小值為（)A。eq\f(37，16)B.eq\f（11，5）C．3D．2答案D解析直線l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F（1，0)，則點(diǎn)P到直線l2:x＝－1的距離等于｜PF|，過(guò)點(diǎn)F作直線l1：4x－3y＋6＝0的垂線，和拋物線的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，所以點(diǎn)P到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離和直線l2:x＝－1的距離之和的最小值就是點(diǎn)F（1,0）到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，所以最小值為eq\f（|4－0＋6|，\r(32＋42））＝2，故選D。5．（2016·九江一模）過(guò)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C,若|AF｜＝6，eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(FB，\s\up6（→)），則λ的值為（）A。eq\f（3，4）B.eq\f（3,2)C。eq\r(3)D．3答案D解析設(shè)A(x1，y1)(y1〉0)，B(x2，y2),C（－2，y3)，則x1＋2＝6，解得x1＝4，則y1＝4eq\r(2)，則直線AB的方程為y＝2eq\r(2)(x－2),令x＝－2,得C(－2，－8eq\r（2）），聯(lián)立eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝2\r（2）(x－2),））解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝4，，y＝4\r(2)))或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝1，,y＝－2\r（2)，)）則B(1，－2eq\r(2)),∴|BF｜＝1＋2＝3，｜BC｜＝9,∴λ＝3,故選D.＊6.(2016·濟(jì)南模擬)已知直線y＝k（x＋2)（k〉0)與拋物線C：y2＝8x相交于A,B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|＝2｜FB|，則k的值為（)A。eq\f(1,3)B。eq\f(\r(2),3）C。eq\f（2\r(2)，3)D.eq\f（2,3）答案C解析拋物線C的準(zhǔn)線為l：x＝－2，直線y＝k（x＋2)恒過(guò)定點(diǎn)P(－2，0)，如圖,過(guò)A,B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由｜FA|＝2|FB|，得|AM|＝2|BN｜，從而點(diǎn)B為AP的中點(diǎn),連接OB，則|OB|＝eq\f(1，2）｜AF｜,所以|OB｜＝｜BF｜，從而點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2eq\r(2））,所以k＝eq\f（2\r（2)－0，1－(－2））＝eq\f（2\r(2），3)，故選C。7．設(shè)F為拋物線C:y2＝3x的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，則｜AB｜＝________.答案12解析焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3，4）,0))，方法一直線AB的斜率為eq\f（\r（3),3),所以直線AB的方程為y＝eq\f（\r（3）,3)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（x－\f（3，4）)），即y＝eq\f(\r（3）,3）x－eq\f（\r(3),4)，代入y2＝3x,得eq\f（1,3)x2－eq\f（7，2)x＋eq\f(3，16)＝0。設(shè)A(x1，y1），B（x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(21，2)，所以|AB｜＝x1＋x2＋p＝eq\f（21，2)＋eq\f（3，2）＝12。方法二由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得｜AB|＝eq\f（2p，sin2θ)＝eq\f(3,sin230°）＝12。8．已知拋物線C：y2＝2px（p〉0)的準(zhǔn)線為l,過(guò)M(1,0)且斜率為eq\r(3）的直線與l相交于點(diǎn)A，與C的一個(gè)交點(diǎn)為B，若eq\o(AM,\s\up6（→)）＝eq\o(MB,\s\up6（→)),則p＝________。答案2解析如圖,由AB的斜率為eq\r（3）,知∠α＝60°,又eq\o（AM，\s\up6(→)）＝eq\o（MB,\s\up6（→)），∴M為AB的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)B作BP垂直準(zhǔn)線l于點(diǎn)P，則∠ABP＝60°,∴∠BAP＝30°，∴|BP｜＝eq\f（1，2)｜AB｜＝|BM｜。∴M為焦點(diǎn)，即eq\f（p，2)＝1，∴p＝2.9．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為eq\f（1,2），E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn),則｜AB｜＝________.答案6解析拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0），準(zhǔn)線方程為x＝－2。設(shè)橢圓方程為eq\f(x2，a2)＋eq\f(y2,b2）＝1（a〉b>0），由題意，c＝2，eq\f（c,a)＝eq\f(1，2），可得a＝4，b2＝16－4＝12.故橢圓方程為eq\f（x2,16)＋eq\f(y2,12）＝1。把x＝－2代入橢圓方程，解得y＝±3.從而|AB｜＝6。＊10。設(shè)直線l與拋物線y2＝4x相交于A,B兩點(diǎn)，與圓(x－5）2＋y2＝r2（r〉0）相切于點(diǎn)M,且M為線段AB的中點(diǎn)．若這樣的直線l恰有4條，則r的取值范圍是________________．答案（2，4)解析如圖，設(shè)A（x1，y1）,B(x2，y2），M(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y\o\al（2,1）＝4x1，,y\o\al（2,2）＝4x2，））兩式相減得,(y1＋y2）（y1－y2）＝4(x1－x2）．當(dāng)l的斜率k不存在時(shí)，符合條件的直線l必有兩條．當(dāng)k存在時(shí)，x1≠x2，則有eq\f（y1＋y2，2)·eq\f（y1－y2，x1－x2)＝2,又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2。由CM⊥AB，得k·eq\f（y0－0，x0－5)＝－1,即y0k＝5－x0,因此2＝5－x0，x0＝3，即M必在直線x＝3上．將x＝3代入y2＝4x，得y2＝12，則有－2eq\r（3）<y0<2eq\r(3).因?yàn)辄c(diǎn)M在圓上,所以(x0－5)2＋yeq\o\al(2,0)＝r2，故r2＝y(tǒng)eq\o\al（2,0）＋4<12＋4＝16.又yeq\o\al（2，0)＋4>4(為保證有4條，在k存在時(shí),y0≠0)，所以4<r2<16，即2〈r<4.11．(2016·沈陽(yáng)模擬）已知過(guò)拋物線y2＝2px（p>0）的焦點(diǎn)，斜率為2eq\r（2）的直線交拋物線于A（x1，y1)，B（x2，y2）(x1〈x2）兩點(diǎn)，且｜AB｜＝9.(1)求該拋物線的方程;（2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若eq\o（OC,\s\up6（→）)＝eq\o(OA，\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6（→)），求λ的值．解(1)直線AB的方程是y＝2eq\r（2)(x－eq\f(p,2)），與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0。所以x1＋x2＝eq\f(5p，4）,由拋物線定義得|AB｜＝x1＋x2＋p＝eq\f（5p,4）＋p＝9，所以p＝4，從而拋物線方程為y2＝8x。（2)由于p＝4,則4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，從而x1＝1,x2＝4，于是y1＝－2eq\r(2），y2＝4eq\r（2)，從而B(4,4eq\r（2）)．設(shè)C（x3，y3），則eq\o(OC，\s\up6（→)）＝(x3，y3）＝（1，－2eq\r（2）)＋λ(4，4eq\r（2））＝(4λ＋1，4eq\r(2）λ－2eq\r（2）)．又yeq\o\al(2,3）＝8x3，即2eq\r（2)（2λ－1）]2＝8（4λ＋1），整理得(2λ－1）2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．（2016·金華十校模擬)拋物線E:x2＝2py(p>0）的焦點(diǎn)為F，以A（x1，y1）(x1≥0)為直角頂點(diǎn)的等腰直角△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C均在拋物線E上．(1）過(guò)Q(0，－3）作拋物線E的切線l,切點(diǎn)為R，點(diǎn)F到切線l的距離為2，求拋物線E的方程;(2）求△ABC面積的最小值．解（1)設(shè)過(guò)點(diǎn)Q(0，－3)的拋物線E的切線l:y＝kx－3，聯(lián)立拋物線E：x2＝2py（p〉0）得x2－2pkx＋6p＝0，Δ＝4p2k2－4×6p＝0，即pk2＝6。∵點(diǎn)F(0，eq\f（p,2)），點(diǎn)F到切線l的距離d＝eq\f(|\f(p,2）＋3|,\r(k2＋1)）＝2，化簡(jiǎn)得(p＋6)