初中數(shù)學(xué)幾何最值問題（完整版）資料(可以直接使用，可編輯優(yōu)秀版資料，歡迎下載）初中數(shù)學(xué)幾何最值問題面面觀在平面幾何的動(dòng)態(tài)問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變本文針對(duì)不同類型的幾何最值問題作一總結(jié)與分析，希望對(duì)大家有所幫助.最值問題的解決方法通常有如下兩大類:一、應(yīng)用幾何性質(zhì)1例1 如圖1，MON90，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM,ON上.當(dāng)分在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB2,BC1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為( )255252

(A)

1 (B)

(c)1455145分析 如圖1，取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)OE,DE,OD.ODOEDE,當(dāng)ODE三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)DO的距離最大，此時(shí)，AB2,BC1,AD2AE212122OEAE1AB1.DEAD2AE2121222Z2OD2故選A.

1.兩點(diǎn)間線段最短例2 如圖圓柱底面半徑為2cm,高為點(diǎn)B分別是回柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且B在同一母線上用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B求棉線長度最短為 .分析 如圖3，將圓柱展開后可見，棉線最短是三條斜的長度，第一條斜線與底面回周長、圓柱的三分之一高組成直角三角形.由周長公式知底面圓一周長為4cm，圓柱的三分之一高為cm，根據(jù)勾股定理，得一條斜線長為cm四邊形的性質(zhì)，棉線長度最短為cm.垂線段最短2例3 如圖點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)點(diǎn)B在直線yx運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為( )2(A)

(0,0)

(1,1

(C)

, 2)(D)

2, 2)2

2 2 2 22 2分析 如圖4，過點(diǎn)A作AB'OB，垂足為點(diǎn)B'，過B'作B'Cx軸，垂足為C.由垂線段最短可知，當(dāng)B'與點(diǎn)B重合時(shí)，AB最短.∵點(diǎn)Byx上運(yùn)動(dòng)，∴AOB是等腰直角三角形∴B'CO為等腰直角三角形∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，OCCB'1OA111，2 2 2B的坐標(biāo)為(11)2 2∴當(dāng)線段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,1)2 2故選B.利用軸對(duì)稱例4 如圖5，正方形ABCD，AB4，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PEPB的最小值為 分析 連結(jié)DE，交BD于點(diǎn)P，連結(jié)BD.∵點(diǎn)B與點(diǎn)DAC對(duì)稱，DE的長即為PEPB的小值A(chǔ)B4E是BC的中點(diǎn)，CE2在Rt CDE中CD2CE24222CD2CE242225二、代數(shù)證法利用配方法例5 如圖6是半圓與矩形結(jié)合而成的窗戶，如果窗戶8分析 設(shè)x表示半圓半徑， y表示矩形邊長2x2yx8,

，則有y于是， 82x ①y2若窗戶的最大面積為S，則S2xy1x2 ②2把①代入②，有882x2S2x

x228xx22x2

1x228x(24

)x228 32 2 (x4)24 32 .4x上式中，只有x這時(shí)，由①有

84

時(shí)，等號(hào)成立.y(8 84

2 84

)2

84

x，即當(dāng)窗戶周長一定時(shí)，窗戶下部矩形寬恰為半徑時(shí)，窗戶面積最大.利用一元二次方程根的判別式例6 已知：x0，y0且12

1，求

2xy

的最小值.x y解 令2xyt，yt2x12

1，x y，1 2， 1x t2x2x2txt0∵x為實(shí)數(shù)，t20t8或t0∵x0，y0t8.初中數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何模型（模型即套路）【應(yīng)用上面模型解決如下問題】“最值問題”集錦●平面幾何中的最值問題… 01●幾何的定值與最值……… 07●最短路線問題…………… 14●對(duì)稱問題………………… 18●巧作“對(duì)稱點(diǎn)”妙解最值題…………… 22●數(shù)學(xué)最值題的常用解法… 26●求最值問題……………… 29●有理數(shù)的一題多解……… 344道經(jīng)典題……………… 37●平面幾何中的最值問題時(shí)它和不等式聯(lián)系在一起，統(tǒng)稱最值問題．如果把最值問題和生活中的經(jīng)濟(jì)問題聯(lián)系起來，可以達(dá)到最經(jīng)濟(jì)、最節(jié)約和最高效率．下面介紹幾個(gè)簡例．量（如線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。最值問題的解決方法通常有兩種：（1）應(yīng)用幾何性質(zhì)：①三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；②兩點(diǎn)間線段最短；③連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；④定圓中的所有弦中，直徑最長。⑵運(yùn)用代數(shù)證法：①運(yùn)用配方法求二次三項(xiàng)式的最值；②運(yùn)用一元二次方程根的判別式。1ABlLPA+PB最小。分析：在直線L上任取一點(diǎn)P’，連結(jié)AP’，BP’，在△ABP’中＞B＝,則AB上，而線段ABLALA’，AP’＝AP，在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,當(dāng)P’移到A’B與直線LPA’P’+B’P’＝A’B，PA+PB最小。1已知AB是半圓的直徑，如果這個(gè)半圓是一塊鐵皮，ABDC是內(nèi)接半圓的梯形，試問怎樣剪這個(gè)梯形，才能使梯形ABDC的周長最大(圖3－91)？分析本例是求半圓AB為R．AB∥CD，AC=BDCD=2y，AC=x，那么ABDCu=x+y+R解作DE⊥AB于E，則 2R2-2Ry，所以所以求u的最大值，只須求-x2+2Rx+2R2最大值即可．-x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，上式只有當(dāng)x=R時(shí)取等號(hào)，這時(shí)有所以 2y=R=x．所以把半圓三等分，便可得到梯形兩個(gè)頂點(diǎn)C，D，這時(shí)，梯形的底角恰為60°和120°．23－92米(m)，怎樣才能得出最大面積，使得窗戶透光最好？分析與解設(shè)x表示半圓半徑，y表示矩形邊長AD，則有 2x+2y+πx=8，若窗戶的最大面積為S，則把①代入②有積最大．P點(diǎn)是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試問P3－93)？分析與解因?yàn)镻點(diǎn)是半圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P近于A或B時(shí)，顯然PA+PB漸小，在極限P與A重合時(shí))等于BP取最大值．PAPCCBCBPA+PBPP′A，P′B，APC′，使P′C′=BPC′B，CC′，則∠P′C′B=∠P′BC=∠PCB=45°，所以A，B，C′，CCC′A=∠CBA=90°，AC＞ACPA+PB＞P′A+P′B．4如圖3－94，在直角△ABCADM，NMN于證連結(jié)AM，BM，DM，AN，DN，CN．因?yàn)樵凇鰽BC中，∠A=90°，AD⊥BC于D，所以∠ABD=∠DAC，∠ADB=∠ADC=90°．因?yàn)镸，NABDACD∠1=∠2=45°，∠3=∠4，所以 △ADN∽△BDM，又因?yàn)椤螹DN=90°=∠ADB，所以 △MDN∽△BDA，所以 ∠BAD=∠MND．由于∠BAD=∠LCD，所以 ∠MND=∠LCD，所以四點(diǎn)共圓所以 ∠ALK=∠NDC=45°．同理，∠AKL=∠1=45°，所以AK=AL．因?yàn)?ADM，所以 AK=AD=AL．而而從而所以S△ABC≥S△AKL．3－95ABCQ．求證：PQ≤AB．證設(shè)過PQ的直線與BC分別交于QC，顯然，PQ≤P1Q1．因?yàn)椤螦Q1P1+∠P1Q1C=180°，所以∠AQ1P1和∠P1Q1C中至少有一個(gè)直角或鈍角若∠AQ1P1≥90°，則 PQ≤P1Q1≤AP1≤AB；若∠P1Q1C≥90°，則 PQ≤P1Q1≤P1C．同理，∠AP1C和∠BP1C中也至少有一個(gè)直角或鈍角，不妨設(shè)∠BP1C≥90°，則 P1C≤BC=AB．對(duì)于P，QPQ≤AB．設(shè)△ABC6的正三角形，過頂點(diǎn)Al，頂點(diǎn)B，Cld1，d2d1+d2的最大值(1992解如圖3－96BABAB′=ABB′C，則過AlBCB′C情況討論．lBCD，則所以只有當(dāng)l⊥BC時(shí)，取等號(hào)．lB′CD′，則所以上式只有l(wèi)′⊥B′C時(shí)，等號(hào)成立．3－97．已知直角△AOBOABCD解設(shè)⊙O與AB相切于E，有OE=1，從而即 AB≥2．當(dāng)AO=BO時(shí)，AB有最小值2．從而所以，當(dāng)AO=OB時(shí)，四邊形ABCD面積的最小值為●幾何的定值與最值解幾何定值問題的基本方法是：分清問題的定量及變量，運(yùn)用特殊位置、極端位置，直接計(jì)算等方法，先探求出定值，再給出證明．幾何中的最值問題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個(gè)確定的量(如線段長度、角度大小、圖形面積)等的最大值或最小值，求幾何最值問題的基本方法有：特殊位置與極端位置法；幾何定理(公理)法；數(shù)形結(jié)合法等．注：幾何中的定值與最值近年廣泛出現(xiàn)于中考競賽中，由冷點(diǎn)變時(shí)需要運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般相結(jié)合、邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法．【例題就解】【例1】如圖，已知AB=10，P是線段AB上任意一點(diǎn)，在B的同側(cè)分別以P和B為邊作等邊△C和等邊△D則長度的最小值為 ．思路點(diǎn)撥 如圖，作于C，DD′⊥AB于D′，1AB一常數(shù)，當(dāng)CQ越小2越小，APxPB=10xCD突破口，特殊位置與極端位置是指：(1)中點(diǎn)處、垂直位置關(guān)系等；(2)端點(diǎn)處、臨界位置等．2⌒

的高，此圓在沿底邊AB滾動(dòng)，切點(diǎn)為T，圓交AC、BC于M、N，則對(duì)于所有可能的圓的位置而言，MTN為的度數(shù)（ ）A．從30°到60°變動(dòng) B．從60°到90°變動(dòng)C．保持30°不變 D．保持60°不變思路點(diǎn)撥 先考慮當(dāng)圓心在正三角形的頂點(diǎn)C時(shí)其弧的度數(shù)，再證明一般情形，從而作出判斷．動(dòng)與靜是相對(duì)的，我們可以研究問題中的變量，考慮當(dāng)變化的元素運(yùn)動(dòng)到特定的位置，使圖形變化為特殊圖形時(shí)，研究的量取得定值與最值．【例3】 如圖已知平行四邊形(>)，a b a bP為AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，直線DP交CB的延長線于Q，求AP+BQ的最小值．x 思路點(diǎn)撥 設(shè)AP=，把AP、BQ分別用的代數(shù)式表示，用不等式a2b22ab (當(dāng)且僅當(dāng)abx 【例4】如圖，已知等邊△ABC⌒

AB上取異于ABMACBMKCBAM交于點(diǎn)N，證明：線段AK和BN的乘積與M點(diǎn)的選擇無關(guān)思路點(diǎn)撥 即要證AK·BN是一個(gè)定值，在圖形中△ABC的邊長是一個(gè)定值，說明AK·BN與AB有關(guān)，從圖知AB為△ABM與△ANB的公共邊，作一個(gè)大膽的猜想，AK·BN=AB2，從而我們的證明目標(biāo)更加明確．般的幾何證明問題．【例5】 已知△XYZ是直角邊長為1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三邊上，求△ABC直角邊長的最大可能值．x y 思路點(diǎn)撥頂點(diǎn)ZCACBZABxyZ(ACCBx y 注：數(shù)形結(jié)合法解幾何最值問題，即適當(dāng)?shù)剡x取變量，建立幾何求解．常見的解題途徑是：最值；構(gòu)造二次函數(shù)求幾何最值．學(xué)力訓(xùn)練如圖，正方形ABCD1，點(diǎn)PBC（可與B點(diǎn)或C點(diǎn)重合，分別過BCD作射線P的垂線，足分別是B′C′D′，則BB′+CC′+DD′的最大值為 ，小值為 ．如圖，∠AOB=45P，PO=10，在角的兩邊Q，RO)，則△PQR為 ．如圖，兩點(diǎn)A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD=4，P在直線MN上運(yùn)動(dòng)，則PAPB的最大值等于 ．如圖，ABANMNO1AP+BP為()A．1 B．2

C．2 D．31ABCD4P從A點(diǎn)出發(fā)，沿看圓柱的側(cè)面移動(dòng)到BC的中點(diǎn)S的最短距離( )A．212 B．212 C．412 D．242ABCD，R，PDC、BCE，F(xiàn)分別是AP、RP的中點(diǎn)，當(dāng)P在BC上從B向C移動(dòng)而R不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是( )A．線段EF的長逐漸增大 B．線段EF的長逐漸減C．線段EF的長不改變 線段EF的長不能確定CABCABAC、BCABACDBCE，AECDM，BDCEN．求證：MN∥AB；ABCABCMNCMN(2002年云南省中考題)STABMST是SAB作垂線的垂足，求證：不管ST已知△ABCOOABPBCBTE，ACF．PABPBA(1)題的結(jié)論還成立嗎?如果成立，請(qǐng)證明，如果不成立，請(qǐng)說明理由．如圖已知邊長為4的正方形截去一角成為五邊形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一點(diǎn)P，使矩形PNDM有最大面積，則矩形PNDM的面積最大值是( )A．8 B．12 C．25 D．142如圖，AB是半圓的直徑，線段CA上AB于點(diǎn)A，線段DB上AB于點(diǎn)B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則封閉圖形ACPDB的最大面積是( )A．2 2 B．1 2 C．3 2 D．3 2AB、ACDDEABC1VABCDAVDUP，BVCUQ．求PUQV利用兩個(gè)相同的噴水器，修建一個(gè)矩形花壇，使花壇全部l0何設(shè)計(jì)(求出兩噴水器之間的距離和矩形的長、寬)，才能使矩形花壇的面積最大?某住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民生活質(zhì)量，要建一個(gè)MNPQ800ABx(米)，AMy(米)，用含xy為 ．現(xiàn)計(jì)劃在正方形區(qū)域上建雕塑和花壇，平均每平方米造價(jià)為210010540①設(shè)該工程的總造價(jià)為S(元)，求S關(guān)于工的函數(shù)關(guān)系式．②若該工程的銀行貸款為235000元，僅靠銀行貸款能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)?若能，請(qǐng)列出設(shè)計(jì)方案；若不能，請(qǐng)說明理由．73000能，請(qǐng)說明理由．(鎮(zhèn)江市中考題)某房地產(chǎn)公司擁有一塊“缺角矩形”荒地ABCDE方向如圖，欲在這塊地上建一座地基為長方形東西走向的公寓，請(qǐng)1m2)．參考答案●最短路線問題為原則引申出來的．人們?cè)谏a(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題．同一平面內(nèi)，那么所求的最短路線是線段；如果它們位于凸多面體的不同平面上，而允許走的路程限于凸多面體表面，那么所求的最短路線是折線段；如果它們位于圓柱和圓錐面上，那么所求的最短路線是曲線段；但允許上述哪種情況，它們都有一個(gè)共同點(diǎn)：當(dāng)研究曲面僅限于可展開為平面的曲面時(shí)，例如圓柱面、圓錐面和棱柱面等，將它們展開在一個(gè)平面上，兩點(diǎn)間的最短路線則是連結(jié)兩點(diǎn)的直線段．這里還想指出的是，我們常遇到的球面是不能展成一個(gè)平面的．例如，在地球（近似看成圓球）A、BABO球表面留下的截痕為圓周（稱大圓），A、BA、B最短距離問題，而兩點(diǎn)之間直線段最短，從而找到所需的最短路是數(shù)學(xué)中一種常用的重要思想方法．1如下圖，偵察員騎馬從AB地之前需要先飲一次馬，如果途中沒有重要障礙物，那么偵察員選擇怎樣的路線最節(jié)省時(shí)間，請(qǐng)你在圖中標(biāo)出來．解：要選擇最節(jié)省時(shí)間的路線就是要選擇最短路線．A關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)，即作AA于點(diǎn)A′B，這時(shí)PPA，此時(shí)PA＋PBPP′A′．∵P′A+P′B＝P′A′+P′B＞A′B=PA′+PB=PA+PB，而這里不等式P′A′＋P′B＞A′B成立的理由是連接兩點(diǎn)的折線段大于直線段，所以PA+PB是最短路線．APB線段A′B，所以這種方法也叫做化直法，其他還有旋轉(zhuǎn)法、翻折法等．看下面例題．2如圖一只壁虎要從一面墻壁αA墻壁βB路線呢？Bβ90°（如下頁右圖），Aα處在同一平面上，此時(shí)β轉(zhuǎn)過來的位置記為BBA、BAB′，設(shè)這4PBABPPAP′B90AP′BAPB這條線段所構(gòu)成的折線，就是所求的最短路線．3長方體ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，DB樣爬距離最短？（見圖（1））解：因?yàn)樾∠x是在長方體的表面上爬行的，所以必需把含D′兩點(diǎn)的兩個(gè)相鄰的面“展開”在同一平面上，在這個(gè)“展開”后的平面上D′BD′BD′B這時(shí)在這個(gè)平面上D′D′BD′B2=D′A2+AB2=（1+2）2＋42=25，∴D′B=5．D′B5．D′BDB最短路線（上頁圖（3）），有：D′B2＝22+（1+4）2=29．D′B29．⑤從D′點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過左側(cè)面，然后進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)，將這兩個(gè)平面攤開在同一平面上，同理可求得在這個(gè)平面上D′、B兩點(diǎn)間的最短路線（見圖），D′B2=（2+4）2+12=37．⑥容易知道，從D′出發(fā)經(jīng)過上側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離的平方也是37．D′B（上頁圖（2）），B523A和B（下左圖AB（下右圖），A、BAP1P2B，P1、P2ABAP1P2BAB線稱為螺旋線．因?yàn)樗哂凶疃痰男再|(zhì)，所以在生產(chǎn)和生活中有著很廣泛的應(yīng)用．如：螺釘上的螺紋，螺旋輸粉機(jī)的螺旋道，旋風(fēng)除塵器的導(dǎo)灰槽，槍膛里的螺紋等都是螺旋線，看下面例題．例4景泰藍(lán)廠的工人師傅要給一個(gè)圓柱型的制品嵌金線，如下左圖，如果將金線的起點(diǎn)固定在A點(diǎn)，繞一周之后終點(diǎn)為B點(diǎn)，問沿什么線路嵌金線才能使金線的用量最少？ABA′、B′分別與AB），連接AB′，再將上頁右圖還原成上頁左圖的形狀，則ABAB例題．5有一圓錐如下圖，A、BBAOAB解：將圓錐面沿母線AO剪開，展開如上右圖（把右圖中的扇形卷成上圖中的圓錐面時(shí)，A′、B′分別與A、B重合），在扇形中連AB′，則將扇形還原成圓錐之后，AB′所成的曲線為所求．例6 如下圖在圓柱形的桶外有一只螞蟻要從桶外的A點(diǎn)到桶內(nèi)的B點(diǎn)去尋找食物，已知A點(diǎn)沿母線到桶口C點(diǎn)的距離是12厘米，B點(diǎn)沿母線到桶口D點(diǎn)的距離是8厘米，而CD兩之間的（桶口）弧長是15厘米如果螞蟻爬行的是最短路線應(yīng)該怎么走？路程總長是多少？分析我們首先想到將桶的圓柱面展開成矩形平面圖（下圖），由于B點(diǎn)在里面，不便于作圖，設(shè)想將BD延長到F，使DF＝BD，即以直線CD為對(duì)稱軸，作出點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)F，用F代替B，即可找出最短路線了．（上圖BDDF=BD，即作點(diǎn)B關(guān)于直線D的對(duì)稱點(diǎn)FD于O．CD是B、FOB＝OFA、FAFAF=AO＋OFA、BO內(nèi)BACECE=DF，易知△AEFAF，根據(jù)勾股定理，＋8）2＋152＝625=252，解得AF=25．即螞蟻爬行的最短路程是25厘米．例7A、B兩個(gè)村子，中間隔了一條小河（如下圖），現(xiàn)在要在小河上架一座小木橋，使它垂直于河岸．請(qǐng)你在河的兩岸選擇合適的架橋地點(diǎn)，使A、B兩個(gè)村子之間路程最短．分析因?yàn)闃虼怪庇诤影?，所以最短路線必然是條折線，直接找出這條折線很困難，于是想到要把折線化為直線．由于橋的長度相AAC找出B、CAACBCDDEE8在河中有A、B（如下圖），六年級(jí)一班組織一次劃A到B島，最后回到AAB和BA′、BE、FA→E→F→B→A是最短路線，即最短路程為：AE＋EF＋FB＋BA．證明：由對(duì)稱性可知路線A→E→F→B的長度恰等于線段A′B′的長度．而從A島到甲岸，又到乙岸，再到BA′B′之間的折線，它們的長度都大于線段A→E′→F′→BAE′F′BA′B′的長度，所以A→E→F→B→A●對(duì)稱問題軸對(duì)稱問題、中心對(duì)稱問題有一個(gè)比較深入的認(rèn)識(shí)，可以通過對(duì)稱的性質(zhì)及三角形兩邊之和與第三邊的關(guān)系找到證明的方法。一、點(diǎn)關(guān)于一條直線的對(duì)稱問題問題超市：一天，天氣很熱，小明想回家，但小狗想到河邊去喝水。有什么辦法能讓小狗到河邊喝上水，同是回家又最近？問題數(shù)學(xué)化：設(shè)小明與小狗在A處，家在 LB處，小河為L，小明要在直線L上找一個(gè)點(diǎn) A小狗在C處飲水使得AC+BC最短（如 圖所示）段的和變?yōu)橐粭l線段來研究，利用兩點(diǎn)之間的線段最短，可以得出結(jié)果。MPQNMMOPQO，MONMPQ點(diǎn)。A' A'OACOACDBC L L直于直 OB線L于點(diǎn)OO到點(diǎn)’，ABLCACB足小狗喝上水，同時(shí)又使回家的路程最短。問題的證明方法：三角形兩邊之和大于第三邊及對(duì)稱的性質(zhì)。1LPL點(diǎn)A、BPA+PB（m為定值）ABAB提示：作PC平行于AB，且PC==AB，則問 L題變?yōu)椋涸谥本€LBCPBCPP1LL1PBCP12C兩點(diǎn)的距離之和最短。L2 2問題的延伸2：在兩條 L相交線之外有一個(gè)定點(diǎn)P，分別在兩條直線上找點(diǎn)BCPB+BC+CPB、C的位置？PL1L2P1P2，連接P1P2BCPB+BC+PC二、橋該建在哪里：兩個(gè)加工廠，農(nóng)場主經(jīng)常要在這兩個(gè)工廠之間來回奔波。農(nóng)場新買了一輛汽車，想在農(nóng)場內(nèi)建造一條馬路，同A時(shí)在河上修建一座橋。要求橋與河岸垂直，2可是橋應(yīng)該建在何處才能使兩個(gè)加工廠之 L1L2間的路程最短？ BL1L2CD，BC+CD+DA知識(shí)介紹：關(guān)于最短距離，我們有下面幾個(gè)相應(yīng)的結(jié)論：（；三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；在三角形中，大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊。利用兩點(diǎn)之間線段最短或者三角形兩邊之和大于第三邊來加以證明。另外，在平移線段的時(shí)候，一般要用到平行四邊形的判定和性質(zhì)。（）問題分析：由于CD的長度一定，所以BC+CD+DA最短，只需BC+DA最短既可。我們想辦法把線段AD

A'DQA'DQCPBAA'DCBL1 L1L2 L2平移到和線段BC共線的位置，于是變化為下面兩圖。近的位置，然后利用三角形和對(duì)稱的性質(zhì)去證明你所選取的位置是題目中所要求的位置即可。問題的延伸：如果有兩條河，需要建A

AA'D L1C L2F L3L1－L2

L4的寬度把B向上平移到B’的位 B' E4BB

－L4

的寬度。 BL2C，交L3F。過CF段CD、FE，就是建橋的位置。如果有三條河又如何？更多的河流建更多的橋又如何呢？三、對(duì)稱問題的進(jìn)一步延伸。我們已經(jīng)可以應(yīng)用軸對(duì)稱的特點(diǎn)找到一些特殊位置使得線段和呢？A'BCA'BCAL LA1LA、BLC，使得：A、BC2性質(zhì)？等腰三角形、矩形、正多邊形等。四、如何平分土地：E問題超市水渠旁有一大塊耕地要畫一 F DE條直線為分界線，把耕地平均分成兩塊，分 AC邊是灌溉用的水渠的一CBC岸。兩個(gè)人不知道怎么平分土地最能滿足個(gè)人的需要，你看這個(gè)土地的形狀（比較規(guī)則的L形（如右圖所示，應(yīng)該怎樣平分呢？問題數(shù)學(xué)化：如何在由兩個(gè)矩形所組成（割、補(bǔ)）一條直線，使得圖形被分成兩部分，且兩部分的面積相等而且均含有BC邊的一部分。A M D問題分析： N O Q1、如何才能把一個(gè)矩形的面積等分。如 B P圖，可以應(yīng)用矩形的兩條對(duì)角線所在的直線AC、BD，每組對(duì)邊的MP對(duì)稱中心。即經(jīng)過對(duì)稱中心O的任意一條直線都可以平分矩形的面積。2FElAElFElAElBClAFDEBCAB C這條直線就可以把這兩個(gè)矩形的面積進(jìn)行平分，分別如上面三個(gè)圖形所示：BCBC（如右圖所示）直線QR就是原來的分界線l，取線段 QR的中點(diǎn)為S，取線段BC的中點(diǎn)為P，則

F T RES直線PS就是滿足兩個(gè)農(nóng)民要求的分界線。 B Q P CTRS與PQS中，三組內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等，且RS=PS，P分土地的方案？五、臺(tái)球桌上的數(shù)學(xué)問題對(duì)稱問題。臺(tái)球從球桌的一個(gè)角出發(fā)，若沿著45角將球打到對(duì)邊，然后，球經(jīng)過幾次碰撞，最后到另外的三個(gè)角落之一。如果臺(tái)球桌2:1，需要碰撞幾次？如果臺(tái)球桌的長和寬之比為3:2、4:3、5:2、5:3……情況又會(huì)怎樣？上的時(shí)候，光線會(huì)被鏡子反射。把反射光線和入射光線看成兩條直線的話，那么入射角等于反射角。這在數(shù)學(xué)上就是軸對(duì)稱。在臺(tái)球桌（長方形，由于入射角是45，所以反射角也是45，這樣入射線和反射線形成一個(gè)直角，相應(yīng)的，在臺(tái)球桌上就構(gòu)成了一個(gè)等腰直角三角形，利用這一性質(zhì)我們可以得到一些有趣的結(jié)論。問題分析：我們分下面幾種情況進(jìn)行分析：2:113:2，如圖，則要碰撞34:35345345211321始 終1321終5:310310367924581終63632541

和7:5，終臺(tái)球桌的長臺(tái)球桌的寬碰撞的次可能的6臺(tái)球桌的長臺(tái)球桌的寬碰撞的次可能的b數(shù)c2b數(shù)c2113234355367510ab?2+1－2=13+2－2=34+3－2=55+3－2=67+5－2=10ab2c問題的猜想：如果臺(tái)球桌的長和寬之比為m:n（其中m、n互質(zhì)的正整數(shù)，那么碰撞的次數(shù)是：mn2●巧作“對(duì)稱點(diǎn)”妙解最值題求解有一定的難度，但只要通過作“對(duì)稱點(diǎn)”都可迎刃而解的，現(xiàn)舉例說明如下：例1 如圖1，點(diǎn)A、B表示兩個(gè)村莊，直線L表示一條公路，（村莊A、B在公路的同側(cè)）現(xiàn)要在公路L上建造一個(gè)汽車站，使車站到A、B兩個(gè)村莊的距離之和最短，問車站應(yīng)建在何處？解 作A點(diǎn)于L的對(duì)稱點(diǎn)A，連結(jié)B交L于C，則點(diǎn)C就是所建車站的位置。證明 在直線L上另取一點(diǎn)C連結(jié)AC，AC，AC，C，因?yàn)橹本€L是點(diǎn)A、A的對(duì)稱軸，點(diǎn)C在對(duì)稱軸上，所以AC=AC，AC=AC，AC+CBAC+CBB，AC中，BACC，AC+CB<ACCAC+CB例2 已知定點(diǎn)（12（4，在x軸的點(diǎn)，使點(diǎn)P到A、B兩點(diǎn)距離之和最短，求P點(diǎn)坐標(biāo)。解 由例1啟發(fā)如圖2作關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A（1，）則過點(diǎn)A（，、B（3，4）兩點(diǎn)的直線解析為：y3x5，x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)P（證略）3例3 如圖在正方形ABCD中在BC上P在BD上，求PE與PC的長度和的最小值。解因?yàn)锳BCDA、CBDAP，由對(duì)稱性知：AP=PCPC+PEAP+PEAP+PE1線段AE。 在RtABE中AE AB2BE2 2232 13。4ABEBD的對(duì)稱點(diǎn)E，連PE，CE，同樣有PCPEPCPECE BE2BC2 13。例4 三角形ABC的邊長為2，M是AB邊上的中點(diǎn)，P是邊BC上任意一點(diǎn)，PA+PM的最大值和最小值分別記為S和t則S2t2= 分析 本題比上例更有一定的難度，S還好求，因?yàn)镻M≤CM，所以PAPMCACM2成立，所以S2 3。

3PC關(guān)鍵在于T，以BC為邊作正三角形ABC，如圖5，作M關(guān)于BCM，連結(jié)PM、AM，因?yàn)锳BCCBA，所以M在BA上，且BMBM1，PMPM，PA+PM=PA+PMAM，連結(jié)CM，則ACM900，所以所以S2t2(2 3)2( 7)24 3

AC2CM2 43 7所以t 7。例5 矩形ABCD中，AB=20厘米，BC=10厘米，若在、AB上各取一點(diǎn)M、N，使MB+MN值最小，求這個(gè)最小值。解 如圖6，作B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B，連結(jié)AB，則N點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)N在ABBM+MNBM+MNBM+MNBABBH?，F(xiàn)在求BH的長，設(shè)AB與DC交于P點(diǎn)，連結(jié)BP，則S 1APBH1S 12010100(平方厘米)ABP 2 2 矩形ABCD 2關(guān)對(duì)稱2 PAPCDC//AB2設(shè)AP=PC=x，則DP=20-x在Rt△APD中，由勾股定理，得PA2=DP2+DA2即x2(20x)2102，解得5（厘米，即5（厘米。所以BH100 2 16(厘米)，12.5即BM+MN的最小值是16厘米。類難題得到順利解決。此法簡單明了，直觀易懂，而對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維和創(chuàng)新能力，提高學(xué)生空間想象能力確有一定的幫助?！駭?shù)學(xué)最值題的常用解法在中學(xué)數(shù)學(xué)題中，最值題是常見題型，圍繞最大（?。?shù)學(xué)題是各種各樣，就其解法，主要為以下幾種：一.二次函數(shù)的最值公式

ax2 xc（a、b、c為常數(shù)且

0）其性質(zhì)中有①若a②若a

0當(dāng)xb2a0當(dāng)xb2a

min

4acb2；4a4acb2。4a二次函數(shù)，再利用二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，從而達(dá)到解決實(shí)際問題之目的。140xR（元（元RP與x的關(guān)系式分別為P1702x。

50030x，（1）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，每日獲得的利潤為1750元；（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤？最大利潤是多少？解（）根據(jù)題意得 1750xR(1702x)x(50030x)1750整理得x270x11250解得x1

25，x2

45（不合題意，舍去）（2）由題意知，利潤為PxR2x25002( 35)21950所以當(dāng)x35時(shí)，最大利潤為1950元。二.一次函數(shù)的增減性一次函數(shù)ykxb(k0)的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，圖象是一條直線，因而沒有最大（小）值；但當(dāng)mxn時(shí)，則一次函數(shù)的圖象是一條線段，根據(jù)一次函數(shù)的增減性，就有最大（小）值。21506001000的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍，問甲、乙兩種工種各招聘多少人時(shí)可使得每月所付的工資最少？xx)人，由題意得： 150x2x 所以0x50設(shè)所招聘的工人共需付月工資y元，則有：y600xx)400x150000（0x50）因?yàn)閥x所以當(dāng)x

50

min

130000（元）三.判別式法例3.求x2x1的最大值與最小值。x2x1分析：此題要求出最大值與最小值，直接求則較困難，若根據(jù)題xx0yyxx2

xx

y，整理得x

x1yxyxy即

y)x

y)

x y0因?yàn)閤是實(shí)數(shù)，所以0y即y

4(1y)20解得1y33所以x2x1的最大值是3，最小值是1。x2x1 3四.構(gòu)造函數(shù)法往往離不開函數(shù)。1x2解：設(shè)1x2解：設(shè)1x2，1x1，再令sin 2 2sin1x21x21sin2

sin cos

1sin2所以得y的最大值為1，最小值為1五.利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，顯然有a

2b2

2kk，當(dāng)且僅當(dāng)

b0時(shí)，等號(hào)成立，即a

b2

kk。5.設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，那么aabb2

a的最小值為 。a2abb2

aa2

(bb2(a

b

)2 b2

3b132 4 2 43b1(a )2

(b1)21132 43當(dāng)ab10，b10，即2

0，b1時(shí)，上式等號(hào)成立。故所求的最小值為－1。六.零點(diǎn)區(qū)間討論法例6.求函數(shù)y

|xx的最大值。分析：本題先用“零點(diǎn)區(qū)間討論法”消去函數(shù)y中絕對(duì)值符號(hào)，然后求出y在各個(gè)區(qū)間上的最大值，再加以比較，從中確定出整個(gè)定義域上的最大值。解：易知該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x

1、

4當(dāng)x4時(shí)y(x1)(x4)50當(dāng)4x1時(shí)y(x1)(x4)52x8當(dāng)4x1得102 80當(dāng)x1時(shí)，y( 4)510綜上所述，當(dāng)x4時(shí)，y

0max七.利用不等式與判別式求解在不等式x值。

a

a是最大值，在不等式xb

b是最小例7.已知xy為實(shí)數(shù)，且滿足m5，xyymmx3，求實(shí)數(shù)m解：由題意得xy5mxy3m(xy)m23所以x、yt的方程t根，所以

(5m)t(m2

5m3)0的兩實(shí)數(shù)[(5m)]24(m2

0即3m210m13解得1m133133133

，m的最小值是－1。八.“夾逼法”求最值在某一數(shù)值范圍內(nèi)，再通過解不等式獲取問題的答案，這一方法稱例8.不等邊三角形ABC的兩邊上的高分別為4和12且第三邊上的高為整數(shù)，那么此高的最大值可能為 。解：設(shè)a、b、c三邊上高分別為4、12、h因?yàn)?S 4a12bch，所以ABC

3b又因?yàn)閏ab，代入h得12b4bh，所以h3又因?yàn)閏ab，代入h得12b2bh，所以h6所以3<h<6，故整數(shù)h的最大值為5。●求最值問題生活、貼近社會(huì)，有利于體現(xiàn)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和社會(huì)價(jià)值，有利于考查學(xué)生的分析、猜想、建模和綜合應(yīng)用等各方面的能力。本文舉幾例求最值的問題。利用一次函數(shù)的性質(zhì)來求最值問題對(duì)于一般的一次函數(shù)，由于自變量的取值范圍可以是全體實(shí)數(shù)，因此不存在最大最小值（，但在實(shí)際問題中，因題目求解這類問題除正確確定函數(shù)表達(dá)式外，利用自變量取值范圍可以確定最大值或最小值。（2021紅星服裝廠準(zhǔn)備生產(chǎn)一批AB兩種型號(hào)的演出服，已知每小時(shí)生產(chǎn)AB218套A24BAaa24套Ba8（8AB50AB30AB才能使獲得的總利潤最大？最大的總利潤是多少元？分析（１） ①24或18a2 a②2418解得a6a2 a（２）設(shè)生產(chǎn)A型演出服x套，依題意得x50x

8，解得x42

利潤＝40xx10x15006 8W利潤是x一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的增減性∵k100∴W隨x的增大而增大，∵x42，∴當(dāng)x42時(shí)，W＝104215001920例２某房地產(chǎn)開發(fā)公司計(jì)劃建、B8020902096成本(萬元/套)A成本(萬元/套)A2B258售價(jià)(萬元/套)3304

房，兩種戶型的如下表：(2)該公司如何建房獲得利潤最大?(3B型住房的售價(jià)不會(huì)改變，每套A型住房的售價(jià)將會(huì)提高a萬元(a>0)，且所建的兩種住房可全部售出，該公司又將如何建房獲得利潤最大?注：利潤=售價(jià)-成本)設(shè)A種戶型的住房建xB種戶型的住房建-)2090x的取值范圍，x(2(3)要應(yīng)用分類討論的數(shù)學(xué)思想.從而做到不重復(fù)不遺漏,注意思維的縝密性.)設(shè)A種戶型的住房建xB種戶型的住房建-)套．由題意知2090≤25x+28(80-x)≤209648≤x≤50∵x取非負(fù)整數(shù)， ∴x為48，49，50．∴有三種建房方案：A4832A49B31型50套，B型30套(2)設(shè)該公司建房獲得利潤Ｗ(萬元)．由題意知Ｗ=5x+6(80-x)=480-x最大∴當(dāng)時(shí)，Ｗ =432(萬元)最大即A48B32(3)由題意知Ｗ=(5+a)x+6(80-x)=480+(a-1)x∴當(dāng)時(shí)， 最大即A型住房建48套，B型住房建32套當(dāng)a-1=0當(dāng)最大，即A50B30答:略.說明:此題的第(1)問是利用一元一次不等式組解決的,第(2)、(3)問是利用一次函數(shù)的增減性解決問題的,要注意三問相互聯(lián)系.二、利用反比例函數(shù)的性質(zhì)來求最值問題玩具４００個(gè)，那么須招聘工人多少名？xyy400（３x5，x且x為整數(shù)）∵當(dāng)x 0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴400y400，即80y13315 3 3∵y為正整數(shù)，∴y?。福爸粒保常?。即須招聘工人為80至134人。三、利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題抽象為二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，建立起二次函數(shù)的關(guān)系式，應(yīng)用二次函數(shù)最值性質(zhì)，可以解決許多實(shí)際問題。0元的商品按0110解：設(shè)利潤為y元，每個(gè)售價(jià)為x元，則每個(gè)漲（x－50）元，從而銷售量減少10(x50)個(gè),共售出500-10(x-50)=100-10x(個(gè))∴y=(x-40)(1000-10x)9000 (50x＜100）70

x

y 9000 答：為了賺取最大利潤，售價(jià)應(yīng)定為max例２（泉州市2021某產(chǎn)品第一季度每件成本為50元，第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低成本的百分率為x⑴ 請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示第二季度每件產(chǎn)品的成本；⑵ 如果第三季度該產(chǎn)品每件成本比第一季度少9.5元，試求x的值⑶ 該產(chǎn)品第二季度每件的銷售價(jià)為60價(jià)比第二季度有所下降，若下降的百分率與第二、第三季度每件產(chǎn)品平均降低成本的百分率相同，且第三季度每件產(chǎn)品的銷售價(jià)不低于48yy與x的函數(shù)y（銷售價(jià)本）分析）51x⑵51x2505 解得x0.1（3）x解得x0.2而x00x0.2y601x

而 ＝50x240x而 ＝5x04218∵當(dāng)x0.4y隨x的增大而增大，而0x0.2，∴當(dāng)x0.2時(shí)，y最大值＝18（元）取得最值，而當(dāng)自變量取值范圍為某一區(qū)間時(shí)，二次函數(shù)的最值應(yīng)注意下列兩種情形：若拋物線頂點(diǎn)在該區(qū)間內(nèi)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最值。的值為該函數(shù)的最值。四、利用對(duì)稱性來求最值問題。類這題涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，解答有一定的難度。（一）在幾何題組中的應(yīng)用例１、如圖，菱形ABCD中，AB＝2，∠BADＤＡP1ＰＣＥＭＢＤＡP1ＰＣＥＭＢ分析：由菱形的性質(zhì)知：點(diǎn)Ｂ與點(diǎn)Ｄ關(guān)于ＡＣ對(duì)稱。因?yàn)椋性冢粒蒙现н\(yùn)動(dòng)，所以Ｄ。要求PE+PB的最小最，即求PＤ+PB的最小值。連接ＤＥ交ＡＣ于點(diǎn)P1ＡＤ，Ｅ為1 23ＡＢ的中點(diǎn)所以而所以ＤＥ＝ ，33即 PＤ+PB的最小值為3例２、如圖，∠ＡＯＢ＝４５°角內(nèi)有一點(diǎn)Ｐ，ＯＰ＝１０，的兩邊上有兩點(diǎn)Ｑ、Ｒ（均不同于點(diǎn)ＯP周長Ａ最小1ＱＰ值為ＱＰ分析：作Ｐ關(guān)于ＯＡ，ＯＢ的對(duì)稱點(diǎn)PP。連接P1

1 2P，分別交ＯＡ，ＯＢ于Ｑ，Ｒ。Ｏ Ｒ Ｂ2如圖所示，再連接ＰＱ，ＰＲ。 P2易知 PＱ＝ＰＱ，

Ｒ＝ＰＲ，1 2所以△ＰＱＲ的周長＝PPＲ。1 2根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，△ＰＱＲ的周長＝P1

P，而∠ＰＯＡ＝∠PＯＡ，2 1∠ＰＯＢ＝∠

ＯＢ，且ＯＰ＝ＯP＝Ｏ

＝１０，2 1 2又∠ＡＯＢ＝４５°，P

＝９０°1 2P

為等腰直角三角形，故△ＰＱＲ的周長的最小值為1021 22（二）在代數(shù)題組中應(yīng)用1，如圖，拋物線y1x2bx2與xAB兩點(diǎn)，與Y2交于C點(diǎn)， Y且（－，0。求拋物線的解析式及頂點(diǎn)Ｄ的坐標(biāo)E判斷△ＡＢＣ的形狀，證明你的結(jié)論。點(diǎn)Ｍ（m，0）A 是Ｘ軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ＭＣ+ＭＤ的值最小時(shí)O B A 求m）將A（－，0）

C1y x2bx212 D得b3，所以拋物線的解析式y(tǒng)1x23x22 y1(x3)225，所以頂點(diǎn)

2D3,25 2 2 8

2 8520（2）求出AC= 520

，而AB=5∴AC2BC2AB2，故△ＡＢＣ為RT△（）作點(diǎn)C關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)（2，0，DEXM，DEy41x2y=0時(shí)，解得x2412 41∴Ｍ（24m24YPYPF1C2N1FBNEPDMMA13XE1例2、如圖以矩形ＯＡＢＣ的頂點(diǎn)Ｏ為原點(diǎn)，ＯＡ所在的直線為Ｘ軸，ＯＣ所在的直線為Ｙ軸，建立平面直角坐標(biāo)系。已知ＯＡ＝３，ＯＣ＝２，點(diǎn)Ｅ是ＡＢ的中點(diǎn)，在ＯＡ上取一點(diǎn)Ｄ，將△ＢＡＤ沿ＢＤ翻折，使點(diǎn)Ａ落在ＢＣ邊上的點(diǎn)Ｆ處。直接寫出點(diǎn)Ｅ、Ｆ的坐標(biāo)：點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；周長最?。咳绻嬖?，求出周長的最小值；如果不存在，請(qǐng)說明理由。）Ｅ（，，F(xiàn)（，2）5在RT△FEB中，F(xiàn)B=2，BE=1，∴EF= ，5當(dāng)1EP當(dāng)1當(dāng)EP

P（0，0）不合題意515時(shí)，如圖所示P（0，4）51設(shè)拋物線的解析式為ya(x)22，且過點(diǎn)P（，4，代入得4a(01)22∴a2，∴y

2(x

1)22作點(diǎn)F關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)FE關(guān)于X軸的對(duì)稱點(diǎn)

FE1 1 1 1XY軸于點(diǎn)M，N。此時(shí)四邊形ＭＮＦＥ的周長最小，∵FE=FN+MN+ME=FNMN∵

F

M

ME1 1FE 1 1

13243242

1 1

1 1 1 1F∴四邊形ＭＮＦＥ的周長最小值=F1

E+EF=5515●有理數(shù)的一題多解有理數(shù)是學(xué)生進(jìn)入初中階段接觸的第一塊系統(tǒng)學(xué)習(xí)的代數(shù)知識(shí)，它不僅在知識(shí)體系上讓學(xué)生第一次領(lǐng)略了系統(tǒng)性、層次性，而且也是指答案的多樣性或方法的多樣性。本文試就本章出現(xiàn)的一題多解問題作一歸類說明。絕對(duì)值方程中的一題多解點(diǎn)的距離相同，故方程|x|=a(a>0)的解有兩個(gè)：x1=a或x2=—a,他們是一對(duì)互為相反數(shù)。例1解方程|x+1|=2解：∵|x+1|=2 ，∴x+1=2或—2，∴x=1或—3.評(píng)注 ：若|x|=0,則x=0,此時(shí)方程只有一解，注意區(qū)別。例2方程|x-2|+|x-3|=1的解的個(gè)數(shù)是 ( )A0 B1 C23 E、多于3（第41屆美國高中數(shù)競賽，第4屆初中祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題）解：該題的幾何意義是：點(diǎn)x到2的距離與到3的距離的和等1

間（含這兩點(diǎn)，0 1 2 3即方程的解是2≤x≤3 ,故選E最值問題中的一題多解是與絕對(duì)值相關(guān)的距離的最值，在競賽中會(huì)有所涉及。例3求y=|x-1|+|x+3|的最值，并求此時(shí)x的取值范圍。解：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，y表示數(shù)軸上的一點(diǎn)x到兩點(diǎn)1和3之間的距離之和，從數(shù)軸上看，到最大、最小值，當(dāng)1≤x≤32

A當(dāng)B1或3y取不0 2y點(diǎn)分布在線段AB上，即1≤x≤3.例4求y=|x-1|-|x-3|的最值，并求此時(shí)x的取值范圍。解:同例3,y表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)1、3的距離之差，分情況討論如下：x01x01最小值x30130132)1≤x≤3時(shí),-2≤y≤23)x<1時(shí)，y=-2.故y取最大值為2，此時(shí)x≥3,取-2，此時(shí)x≤1.x相差一個(gè)34x相差一個(gè)符號(hào)，而結(jié)果卻大相徑庭。但這一點(diǎn)從幾問題，我們可以借助于圖形，以獲得直觀的理解。乘方運(yùn)算中的一題多解在乘法運(yùn)算中，根據(jù)符號(hào)法則——同好得正，異號(hào)得負(fù)，故有11=1，(-1)(-1)=1，故解方程x2=11-1方程x2=11例5解方程(x-3)2=9解：∵32=9,(-3)2=9,∴x-3=3或-3，∴x=0或6.評(píng)注：由于所學(xué)知識(shí)有限，現(xiàn)階段我們只能利用乘方的含義求解諸如“x2=a2,a為有理數(shù)”的二次方程，更一般的二次方程的解法構(gòu)成了初中數(shù)學(xué)的一大分支，將在以后學(xué)到。例6解方程x3=x解:由x3=xx3-x=0,即：x(x2-1)=0,故，x=0或x2=1x=1-1，綜上，原方程的解為x=0，1，-1.評(píng)注：并非所有的形如xn=a(a≥0)的方程都有多解，如x4=64x=4xn=a(a>0n2n四則運(yùn)算中的一題多解此處的“一題多解”取多種解法的意思。我們知道，四則運(yùn)算中，7137-778)4 8 12 8 3解一：原式=（777）88422114884 8 12

3 24 7 3=78824 7 3

=-3解二：原式=（77-7）88)4 8 12 7 33 =7 8 7 8 7 8 8=-2+1+2-8=-33 4 7 8 7 12 7 3評(píng)注：解法一在括號(hào)內(nèi)通分后計(jì)算，是通常的路子；解法二注意易于口算。因而快捷一些。例8求S=1-2+3-4+5-6+…-2002+2003的值.解一：S=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2001-2002)+2003=(-1)+(-1)+(-1)+…(-1)+2003=-1001+2003=1002解二：S=(1