層級(jí)快練(四十四)1．如圖是2023年元宵節(jié)燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉(zhuǎn)閃爍所成的三個(gè)圖形，照此規(guī)律閃爍，下一呈現(xiàn)出來的圖形是()答案A解析該五角星對(duì)角上的兩盞花燈依次按逆時(shí)針方向亮一盞，故下一個(gè)呈現(xiàn)出來的圖形是A.2．如下圖，是某小朋友在用火柴拼圖時(shí)呈現(xiàn)的圖形，其中第1個(gè)圖形用了3根火柴，第2個(gè)圖形用了9根火柴，第3個(gè)圖形用了18根火柴，……，那么第2016個(gè)圖形用的火柴根數(shù)為()A．2014×2017 B．2015×2016C．2015×2017 D．3024×2017答案D解析由題意，第1個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3×1；第2個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3×(1＋2)；第3個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3×(1＋2＋3)；……由此，可以推出，第n個(gè)圖形需要火柴的根數(shù)為3×(1＋2＋3＋…＋n)．所以第2016個(gè)圖形所需火柴的根數(shù)為3×(1＋2＋3＋…＋2016)＝3×eq\f(2016×〔1＋2016〕,2)＝3024×2017，應(yīng)選D.3．(2023·深圳一摸)a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，那么a2019＝()A．3 B．－3C．6 D．－6答案A解析∵a1＝3，a2＝6，∴a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，…，∴{an}是以6為周期的周期數(shù)列．又2019＝6×336＋3，∴a2019＝a3＝3.選A.4．定義一種運(yùn)算“*〞：對(duì)于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：①1*1＝1，②(n＋1)*1＝n*1＋1，那么n*1等于()A．n B．n＋1C．n－1 D．n2答案A解析由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝1*1＋(n－1)．又∵1*1＝1，∴n*1＝n.5．(2023·邯鄲一中月考)兩旅客坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，火車上的座位如下圖，那么以下座位號(hào)碼符合要求的應(yīng)當(dāng)是()窗口12過道345窗口6789101112131415……………A.48，49 B．62，63C．75，76 D．84，85答案D解析由圖中座位的排序規(guī)律可知，被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號(hào)靠窗，由于兩旅客希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，分析答案中的4組座位號(hào)知，只有D項(xiàng)符合條件．6．(2023·珠海二模)觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：假設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，那么g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)答案D解析由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)．7．eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))(a，b均為實(shí)數(shù))，那么可推測(cè)a，b的值分別為()A．6，35 B．6，17C．5，24 D．5，35答案A解析觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可得出a＝6，b＝35，應(yīng)選A.8．(2023·安徽合肥二模)有6名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測(cè)：4號(hào)或5號(hào)選手得第一名；觀眾乙猜測(cè)：3號(hào)選手不可能得第一名；觀眾丙猜測(cè)：1，2，6號(hào)選手中的一位得第一名；觀眾丁猜測(cè)：4，5，6號(hào)選手都不可能獲得第一名．比賽后發(fā)現(xiàn)沒有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜比照賽結(jié)果，此人是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁答案D解析根據(jù)題意，6名選手比賽結(jié)果甲、乙、丙、丁猜測(cè)如下表：1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)6號(hào)甲不可能不可能不可能可能可能不可能乙可能可能不可能可能可能可能丙可能可能不可能不可能不可能可能丁可能可能可能不可能不可能不可能由表知，假設(shè)甲猜對(duì)，那么4號(hào)或5號(hào)選手得第一名，那么乙也猜對(duì)了，不符合題意，所以甲沒有猜對(duì)，得第一名的是1，2，3或6號(hào)．假設(shè)乙猜對(duì)，那么1，2或6號(hào)得第一名，那么丙也猜對(duì)了，所以乙沒有猜對(duì)，所以得第一名的是3號(hào)，所以丙也沒有猜對(duì)，只有丁猜對(duì)了比賽結(jié)果，應(yīng)選D.9．(2023·廣東江門月考)an＝2n－1(n∈N*)，把數(shù)列{an}的各項(xiàng)排成如下圖的三角形數(shù)陣，記S(m，n)表示該數(shù)陣中第m行中從左到右的第n個(gè)數(shù)，那么S(8，6)＝()135791113151719……A．67 B．69C．73 D．75答案A解析由數(shù)陣可知，S(8，6)是數(shù)陣中第1＋2＋3＋…7＋6＝34個(gè)數(shù)，也是數(shù)列{an}中的第34項(xiàng)，而a34＝2×34－1＝67，所以S(8，6)＝67.應(yīng)選A.10．a(chǎn)，b，c是△ABC的內(nèi)角A，B，C對(duì)應(yīng)的三邊，假設(shè)滿足a2＋b2＝c2，即(eq\f(a,c))2＋(eq\f(b,c))2＝1，那么△ABC為直角三角形，類比此結(jié)論可知，假設(shè)滿足an＋bn＝cn(n∈N，n≥3)，那么△ABC的形狀為()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．以上都有可能答案A解析由題意知角C最大，an＋bn＝cn(n∈N，n≥3)即(eq\f(a,c))n＋(eq\f(b,c))n＝1(n∈N，n≥3)，又c>a，c>b，所以(eq\f(a,c))2＋(eq\f(b,c))2>(eq\f(a,c))n＋(eq\f(b,c))n＝1，即a2＋b2>c2，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)>0，所以0<C<eq\f(π,2)，故△ABC為銳角三角形．11．學(xué)習(xí)合情推理后，甲、乙兩位同學(xué)各舉了一個(gè)例子．甲：由“假設(shè)三角形周長為l，面積為S，那么其內(nèi)切圓半徑r＝eq\f(2S,l)〞，類比可得“假設(shè)三棱錐外表積為S，體積為V，那么其內(nèi)切球半徑r＝eq\f(3V,S)〞；乙：由“假設(shè)直角三角形兩直角邊長分別為a，b，那么其外接圓半徑r＝eq\f(\r(a2＋b2),2)〞，類比可得“假設(shè)三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)棱長分別為a，b，c，那么其外接球半徑r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),3)〞．這兩位同學(xué)類比得出的結(jié)論是()A．兩人都對(duì) B．甲錯(cuò)、乙對(duì)C．甲對(duì)、乙錯(cuò) D．兩人都錯(cuò)答案C解析利用等面積與等體積法可推得甲同學(xué)類比推理的結(jié)論是正確的；把三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，那么此三棱錐的外接球半徑等于長方體的外接球半徑，可求得其半徑r＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2)，因此乙同學(xué)類比推理的結(jié)論是錯(cuò)誤的，應(yīng)選C.12．(2023·西安八校聯(lián)考)觀察一列算式：1?1，1?2，2?1，1?3，2?2，3?1，1?4，2?3，3?2，4?1，…，那么式子3?5是第()A．22項(xiàng) B．23項(xiàng)C．24項(xiàng) D．25項(xiàng)答案C解析兩數(shù)和為2的有1個(gè)，和為3的有2個(gè)，和為4的有3個(gè)，和為5的有4個(gè)，和為6的有5個(gè)，和為7的有6個(gè)，前面共有21個(gè)，3?5是和為8的第3項(xiàng)，所以是第24項(xiàng)．應(yīng)選C.13．觀察以下事實(shí)：|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為12，…，那么|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解(x，y)的個(gè)數(shù)為()A．76 B．80C．86 D．92答案B解析由|x|＋|y|＝1的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4，|x|＋|y|＝2的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為8，|x|＋|y|＝3的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為12，歸納推理得|x|＋|y|＝n的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為4n，故|x|＋|y|＝20的不同整數(shù)解的個(gè)數(shù)為80.應(yīng)選B.14．(2023·青島一質(zhì)檢)中國有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外．〞其中的“籌〞原意是指?孫子算經(jīng)?中記載的算籌，古代是用算籌來進(jìn)行計(jì)算，算籌是將幾寸長的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算，算籌的擺放有縱橫兩種形式，如圖，表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位、百位、萬位數(shù)用縱式表示，十位、千位、十萬位用橫式表示，以此類推，例如6613用算籌表示就是，那么8335用算籌可表示為()答案B解析由題意得千位和十位用橫式表示，百位和個(gè)數(shù)用縱式表示，所以千位的8表示為，百位的3表示為，十位的3表示為，個(gè)位的5表示為，應(yīng)選B.15．為提高信息在傳輸中的抗干擾能力，通常在原信息中按一定規(guī)那么參加相關(guān)數(shù)據(jù)組成傳輸信息．設(shè)確定原信息為a0a1a2，ai∈{0，1}(i＝0，1，2)，傳輸信息為h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕運(yùn)算規(guī)那么為：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕A．11010 B．01100C．10111 D．00011答案C解析對(duì)于選項(xiàng)C，傳輸信息是10111，對(duì)應(yīng)的原信息是011，由題目中運(yùn)算規(guī)那么知h0＝0⊕1＝1，而h1＝h0⊕a2＝1⊕1＝0，故傳輸信息應(yīng)是10110.16．(2023·河北冀州中學(xué)期末)如下圖，坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長為1，由下往上的六個(gè)點(diǎn)：1，2，3，4，5，6的橫、縱坐標(biāo)分別對(duì)應(yīng)數(shù)列{an}(n∈N*)的前12項(xiàng)，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此規(guī)律下去，那么a2017＝()A．502 B．503C．504 D．505答案D解析由a1，a3，a5，a7，…組成的數(shù)列恰好對(duì)應(yīng)數(shù)列{xn}，即xn＝a2n－1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，xn＝eq\f(n＋1,2).所以a2017＝x1009＝505.17．(2023·太原模擬)有一個(gè)游戲：將標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的四張卡片分別隨機(jī)發(fā)給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人一張，并請(qǐng)這4個(gè)人在看自己的卡片之前進(jìn)行預(yù)測(cè)：甲說：乙或丙拿到標(biāo)有3的卡片；乙說：甲或丙拿到標(biāo)有2的卡片；丙說：標(biāo)有1的卡片在甲手中；丁說：甲拿到標(biāo)有3的卡片．結(jié)果顯示：甲、乙、丙、丁4個(gè)人的預(yù)測(cè)都不正確，那么甲、乙、丙、丁4個(gè)人拿到卡片上的數(shù)字依次為______．答案4、2、1、3解析由甲、丁的預(yù)測(cè)不正確可得丁拿到標(biāo)有3的卡片，由乙的預(yù)測(cè)不正確可得乙拿到標(biāo)有2的卡片，由丙的預(yù)測(cè)不正確可知甲拿到標(biāo)有4的卡片，故丙拿到標(biāo)有1的卡片，即甲、乙、丙、丁4個(gè)人拿到卡片上的數(shù)字依次為4、2、1、3.18．顧客請(qǐng)一位工藝師把A，B兩件玉石原料各制成一件工藝品．工藝師帶一位徒弟完成這項(xiàng)任務(wù)．每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工藝師進(jìn)行精加工完成制作，兩件工藝品都完成后交給顧客．兩件原料每道工序所需時(shí)間(單位：工作日)如下：工序時(shí)間原料粗加工精加工原料A915原料B621那么最短交貨期為________個(gè)工作日．答案42解析最短交貨期為先由徒弟完成原料B的粗加工，共需6天，然后工藝師加工該件工藝品，需21天；徒弟可在這幾天中完成原料A的粗加工；最后由工藝師完成原料A的精加工，需15個(gè)工作日．故交貨期為6＋21＋15＝42個(gè)工作日．1．觀察以下各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，那么a10＋b10＝()A．28 B．76C．123 D．199答案C解析記an＋bn＝f(n)，那么f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，那么f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.2．觀察圖中各正方形圖案，每條邊上有n(n≥2)個(gè)圓點(diǎn)，第n個(gè)圖案中圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是an，按此規(guī)律推斷出所有圓點(diǎn)總和Sn與n的關(guān)系式為()A．Sn＝2n2－2n B．Sn＝2n2C．Sn＝4n2－3n D．Sn＝2n2＋2n答案A解析事實(shí)上由合情推理的本質(zhì)：由特殊到一般，當(dāng)n＝2時(shí)，有S2＝4，分別代入即可排除B、C、D三項(xiàng)，從而選A.也可以觀察各個(gè)正方形圖案可知圓點(diǎn)個(gè)數(shù)可視為首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，因此所有圓點(diǎn)總和即為等差數(shù)列前(n－1)項(xiàng)和，即Sn＝(n－1)×4＋eq\f(〔n－1〕〔n－2〕,2)×4＝2n2－2n.3．觀察以下各式：55＝3125，56＝15625，57＝78125，…，那么52011的末四位數(shù)字為()A．3125 B．5625C．0625 D．8125答案D解析∵55＝3125，56＝15625，57＝78125，58＝390625，59＝1953125，510＝9765625，…，∴5n(n∈Z，且n≥5)的末四位數(shù)字呈周期性變化，且最小正周期為4，記5n(n∈Z，且n≥5)的末四位數(shù)字為f(n)，那么f(2011)＝f(501×4＋7)＝f(7)，∴52011與57的末四位數(shù)字相同，均為8125.應(yīng)選D.4．(2023·遼寧丹東聯(lián)考)“整數(shù)對(duì)〞按如下規(guī)律排列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，那么第70個(gè)“整數(shù)對(duì)〞為()A．(3，9) B．(4，8)C．(3，10) D．(4，9)答案D解析因?yàn)?＋2＋…＋11＝66，所以第67個(gè)“整數(shù)對(duì)〞是(1，12)，第68個(gè)“整數(shù)對(duì)〞是(2，11)，第69個(gè)“整數(shù)對(duì)〞是(3，10)，第70個(gè)“整數(shù)對(duì)〞是(4，9)．應(yīng)選D.5．觀察以下圖中圖形的規(guī)律，在其右下角的空格內(nèi)畫上適宜的圖形為()答案A解析表格中的圖形都是矩形、圓、正三角形的不同排列，規(guī)律是每一行中只有一個(gè)圖形是空心的，其他兩個(gè)都是填充顏色的，第三行中已經(jīng)有正三角形是空心的了，因此另外一個(gè)應(yīng)該是陰影矩形．6．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列，那么有等式a1－2a2＋a3＝0，a1－3a2＋3a3－a4＝0，a1－4a2＋6a3－4a4＋a5＝0.(1)假設(shè)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，通過類比，那么有等式______；(2)通過歸納，試寫出等差數(shù)列{an}的前n＋1項(xiàng)a1，a2，…，an，an＋1之間的關(guān)系為________．答案(1)a1a2－2a3＝1，a1a2－3a33a4－1＝1，a1a(2)Cn0a1－Cn1a2＋Cn2a3－…＋(－1)nCnna解析因等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的區(qū)別是前者是加法運(yùn)算，后者是乘法運(yùn)算，所以類比規(guī)律是由低一級(jí)運(yùn)算轉(zhuǎn)化到高一級(jí)運(yùn)算，從而解出第(1)問；通過觀察發(fā)現(xiàn)，等式的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)相同，解出第(2)問．7．對(duì)?a，b∈R，定義運(yùn)算：a⊕b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a<b；))a?b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b，a≥b，,b－a，a<b.))那么以下判斷正確的選項(xiàng)是________．①2015⊕(2014?2015)＝2014；②(a⊕a)?a＝0；③(a⊕b)?a＝a⊕(b?a)．答案②解析對(duì)于①，由定義的運(yùn)算可知，2014?2015＝2015－2014＝1，故2015⊕(2014?2015)＝2015⊕1＝2015，故①錯(cuò)誤．對(duì)于②，因?yàn)閍⊕a＝a，故(a⊕a)?a＝a?a＝a－a＝0，故②正確．由于③，當(dāng)a≥b時(shí)，a⊕b＝a，故(a⊕b)?a＝a?a＝0，而b?a＝a－b，故a⊕(b?a)＝a⊕(a－b)．顯然，假設(shè)b≥0，那么a≥a－b，所以a⊕(a－b)＝a，假設(shè)b<0，那么a<a－b，所以a⊕(a－b)＝a－b.故(a⊕b)?a≠a⊕(b?a)．故③錯(cuò)誤．8．(2023·福建)一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串x1x2…xn(n∈N*)，其中xk(k＝1，2，…，n)稱為第k位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?)．某種二元碼x1x2…x7的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0，,x2⊕x3⊕x6⊕x7＝0，,x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0，))其中運(yùn)算⊕定義為：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.現(xiàn)一個(gè)這種二元碼在通信過程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于________．答案5解析由題意得相同的數(shù)字運(yùn)算后結(jié)果為0，不同的數(shù)字運(yùn)算后結(jié)果為1.假設(shè)后四位碼元為1101，根據(jù)定義的運(yùn)算，那么有x4⊕x5＝1⊕1＝0，x4⊕x5⊕x6＝0⊕0＝0，x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0⊕1＝1，顯然不符合方程x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0，所以后四位碼元出錯(cuò)．同理，第2，3，6，7位碼元依次為1001.假設(shè)這四位都正確，那么x2⊕x3＝1⊕0＝1，所以x2⊕x3⊕x6＝1⊕0＝1，所以x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1⊕1＝0，顯然滿足校驗(yàn)方程組，所以這四位碼元正確．故最后兩位碼元正確，出錯(cuò)的碼元只能是第四位或第五位．同理，第1，3，5，7位的碼元依次為1011，所以x1⊕x3＝1⊕0＝1，x1⊕x3⊕x5＝1⊕1＝0，x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0⊕1＝1，顯然不滿足校驗(yàn)方程組．所以出錯(cuò)的碼元是第5位，即k＝5.9．(2023·陜西理)觀察分析下表中的數(shù)據(jù)：多面體面數(shù)(F)頂點(diǎn)數(shù)(V)棱數(shù)(E)三棱柱569五棱錐6610立方體6812猜測(cè)一般凸多面體中F，V，E所滿足的等式是________．答案F＋V－E＝2解析三棱柱中5＋6－9＝2；五棱錐中6＋6－10＝2；立方體中6＋8－12＝2，由此歸納可得F＋V－E＝2.10．分形幾何學(xué)是數(shù)學(xué)家伯努瓦·曼得爾布羅在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路，按照?qǐng)D甲所示的分形規(guī)律可得圖乙所示的一個(gè)樹形圖．易知第三行有白圈5個(gè)，黑圈4個(gè)，我們采用“坐標(biāo)〞來表示各行中的白圈、黑圈的個(gè)數(shù)．比方第一行記為(1，0)，第二行記為(2，1)，第三行記為(5，4)．(1)第四行的白圈與黑圈的“坐標(biāo)〞為________；(2)照此規(guī)律，第n行中的白圈、黑圈的“坐標(biāo)〞為________．答案(1)(14，13)(2)(eq\f(3n－1＋1,2)，eq\f(3n－1－1,2))(n∈N*)解析(1)從題中的條件易知白圈、黑圈的變化規(guī)律：一個(gè)白圈的下一行對(duì)應(yīng)兩個(gè)白圈和一個(gè)黑圈，一個(gè)黑圈的下一行對(duì)應(yīng)一個(gè)白圈和兩個(gè)黑圈，因此第4行的白圈個(gè)數(shù)為5×2＋4×1＝14，黑圈個(gè)數(shù)為5×1＋4×2＝13，所以第四行的白圈與黑圈的“坐標(biāo)〞為(14，13)．(2)第n行中的白圈和黑圈總數(shù)為3n－1個(gè)，設(shè)“坐標(biāo)〞為(an，3n－1－an)，那么第n＋1行中的白圈和黑圈總數(shù)為3n個(gè)，設(shè)“坐標(biāo)〞為(an＋1，3n－an＋1)＝(an＋3n－1，2×3n－1－an)，即a1＝1，an＋1＝an＋3n－1?an＝eq\f(3n－1＋1,2)，從而得到第n行中的白圈、黑圈的“坐標(biāo)〞為(eq\f(3n－1＋1,2)，eq\f(3n－1－1,2))(n∈N*)．11．(2023·北京，文)某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：(1)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；(2)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；(3)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)．①假設(shè)教師人數(shù)為4，那么女學(xué)生人數(shù)的最大值為________．②該小組人數(shù)的最小值為________．答案①6②12解析令男學(xué)生、女學(xué)生、教師人數(shù)分別為x，y，z，且x>y>z，①假設(shè)教師人數(shù)為4，那么4<y<x<8，當(dāng)x＝7時(shí)，y取得最大值6.②當(dāng)z＝1時(shí)，1＝z<y<x<2，不滿足條件；當(dāng)z＝2時(shí)，2＝z<y<x<4，不滿足條件；當(dāng)z＝3時(shí)，3＝z<y<x<6，y＝4，x＝5，滿足條件．所以該小組人數(shù)的最小值為3＋4＋5＝12.12．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個(gè)三角恒等式，并證明你的結(jié)論．答案(1)eq\f(3,4)(2)sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4)解析方法一：(1)選擇②式，計(jì)算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\