專題2.4導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用〔二〕〔測試時間：120分鐘總分值：150分〕一、選擇題〔共12小題，每題5分，共60分〕1.設(shè),那么此函數(shù)在區(qū)間和內(nèi)分別為()A．單調(diào)遞增，單調(diào)遞增B．單調(diào)遞增，單調(diào)遞減C．單調(diào)遞減，單調(diào)遞增D．單調(diào)遞減，單調(diào)遞減【答案】B【解析】,當(dāng)時,,即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時,,即在上單調(diào)遞減．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2.函數(shù)只有一個零點(diǎn)，那么實數(shù)m的取值范圍是〔〕A． B．∪C． D．∪【答案】B【解析】考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2、函數(shù)的零點(diǎn)；3、解不等式.3.【2023吉林實驗中學(xué)二?！考僭O(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么實數(shù)的取值范圍為A.B.C.D.【答案】B4.設(shè)函數(shù)，假設(shè)存在唯一的正整數(shù)，使得，那么的取值范圍是〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】，那么，，由得在和上遞增，在上遞減，畫出兩個函數(shù)圖象如圖：由圖知要使存在唯一的正整數(shù)，使得，只要，即，解得，應(yīng)選B.【方法點(diǎn)睛】此題主要考查不等式的整數(shù)解、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決選擇題、填空題是發(fā)揮著奇特成效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將函數(shù)的性質(zhì)研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡，并迎刃而解.5.設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)時，，且，那么的解集是〔〕A.(－3，0)∪(3，+∞)B.(－3，0)∪(0，3)C.(－∞，－3)∪(3，+∞)D.(－∞，－3)∪(0，3)【答案】D【解析】考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法那么，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性6.關(guān)于的不等式有唯一整數(shù)解，那么實數(shù)的最小值為〔〕A.B.C.D.【來源】【全國校級聯(lián)考】吉林省百校聯(lián)盟2023屆高三九月聯(lián)考數(shù)學(xué)〔文〕試題【答案】A【解析】由，得：,令，∴，得到減區(qū)間為；得到增區(qū)間為，∴，，，且,∴要使不等式有唯一整數(shù)解，實數(shù)m應(yīng)滿足,∴實數(shù)的最小值為.應(yīng)選：A點(diǎn)睛：不等式有唯一整數(shù)解問題可以轉(zhuǎn)化為兩個圖像的位置關(guān)系問題，觀察與的圖象的上下關(guān)系，只要保證上方只有一個整數(shù)滿足即可.7.【2023江西宜春六校聯(lián)考】函數(shù)的圖象大致為〔〕A.B.C.D.【答案】B此題選擇B選項.點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．8.【2023貴州黔東南州聯(lián)考】函數(shù)，假設(shè)函數(shù)在上的最小值為，那么的值為〔〕A.B.C.D.【答案】A9.【2023陜西西安二模】定義在上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，滿足，，那么在上的零點(diǎn)個數(shù)為〔〕A.5B.3C.1或3D.【答案】D【解析】根據(jù)題意可構(gòu)造函數(shù)那么由題當(dāng)時，滿足，，，即函數(shù)在時是增函數(shù)，又∴當(dāng)成立，∵對任意是奇函數(shù)，∴時，即只有一個根就是0．應(yīng)選D10.定義在R上的函數(shù)滿足,為的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如右圖所示，假設(shè)兩個正數(shù)滿足,那么的取值范圍是〔〕A．〔-∞,-3〕B．〔-∞,〕∪〔3,+∞〕C．D．【答案】C【解析】試題分析：：由導(dǎo)數(shù)圖像可知，函數(shù)減，函數(shù)增，，即，即,等價于，如圖：表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到連線的斜率的取值范圍,所以取值范圍為，應(yīng)選C.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用；2.解不等式；3.線性規(guī)劃.11.【2023河北衡水中學(xué)九月聯(lián)考】函數(shù)為內(nèi)的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，記，，，那么，，間的大小關(guān)系是〔〕A.B.C.D.【答案】D【解析】函數(shù)是奇函數(shù)，那么，即當(dāng)時，，此題選擇D選項.點(diǎn)睛：對于比擬大小、求值或范圍的問題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號“f〞，轉(zhuǎn)化為考查函數(shù)的單調(diào)性的問題或解不等式(組)的問題，假設(shè)f(x)為偶函數(shù)，那么f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．12.定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為〔x〕，滿足，且為偶函數(shù)，，那么不等式的解集為〔〕[]A．B．C．D．【來源】【百強(qiáng)校】2023-2023山西省山大附中高二5月模塊診斷數(shù)學(xué)〔文〕卷〔帶解析〕【答案】B【解析】試題分析：令,那么∵，∴．∴在R上單調(diào)遞減．∵函數(shù)是偶函數(shù)，∴函數(shù)，∴函數(shù)圖象關(guān)于對稱，∴，應(yīng)選B.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；2函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【思路點(diǎn)晴】此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式、函數(shù)的奇偶性及對稱性，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)和即可得出其單調(diào)性．再利用函數(shù)的奇偶性和可得，即可得出.二．填空題〔共4小題，每題5分，共20分〕13.函數(shù)f〔x〕=x﹣lnx的單調(diào)減區(qū)間為．【來源】2023-2023學(xué)年福建省永安一中高二下期中文科數(shù)學(xué)試卷〔帶解析〕【答案】〔0,1〕【解析】試題分析：∵．函數(shù)f〔x〕=x﹣lnx的單調(diào)減區(qū)間為〔0,1〕．考點(diǎn)：此題考查函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系14.假設(shè)函數(shù)在區(qū)間只有1個極值點(diǎn)，那么曲線在點(diǎn)處切線的方程為__________．【來源】【全國省級聯(lián)考word】2023屆河南省高三下學(xué)期質(zhì)量檢測文科數(shù)學(xué)試題【答案】點(diǎn)睛：求曲線的切線方程是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一，用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點(diǎn)及斜率，其求法為：設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，那么以的切點(diǎn)的切線方程為：．假設(shè)曲線在點(diǎn)的切線平行于軸〔即導(dǎo)數(shù)不存在〕時，由切線定義知，切線方程為．15.【2023河南天一聯(lián)考】假設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞增，那么實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】在上恒成立，所以最大值令，那么，當(dāng)時點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性問題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)符號是否變號或怎樣變號問題，即轉(zhuǎn)化為方程或不等式解的問題〔有解，恒成立，無解等〕，而不等式有解或恒成立問題，又可通過適當(dāng)?shù)淖兞縿e離轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題.16.【2023遼寧省莊河市聯(lián)考一】函數(shù)，，假設(shè)使得，那么__________.【答案】【解析】令，令，故在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，當(dāng)時有最小值，而當(dāng)且僅當(dāng)，即故，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪r成立，故即點(diǎn)睛：根據(jù)題目意思給出的解析式，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，運(yùn)用根本不等式求出的最小值，從而說明，由等號成立的條件計算出三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.函數(shù),且．〔1〕討論函數(shù)的單調(diào)性；〔2〕求函數(shù)在上的最大值和最小值．【來源】2023-2023學(xué)年甘肅省天水市秦安縣一中高二上學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試卷〔帶解析〕【答案】〔1〕在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減〔2〕【解析】試題解析：〔1〕因為，，所以．令，得或．所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．〔2〕極大值為極小值為，又考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性，極值最值18.函數(shù)圖象上一點(diǎn)P〔2，〕處的切線方程為〔1〕求的值〔2〕假設(shè)方程在內(nèi)有兩個不等實根，求的取值范圍〔其中為自然對數(shù)的底〕【答案】a＝2，b＝1，【解析】〔2〕，令那么，令，得x＝1〔x＝－1舍去〕在內(nèi)，當(dāng)x∈時，，∴h(x)是增函數(shù)當(dāng)x∈時，，∴h(x)是減函數(shù)．……7分那么方程在內(nèi)有兩個不等實根的充要條件是……10分即． ……………13分考點(diǎn)：1.函數(shù)的幾何意義；2.函數(shù)的零點(diǎn)19.函數(shù).〔1〕當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；〔2〕當(dāng)時，假設(shè)不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【來源】【百強(qiáng)?！?023屆河北定州中學(xué)高三上學(xué)期周練7.8數(shù)學(xué)試卷〔帶解析〕【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】試題分析：〔1〕根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在處的切線方程的斜率就是，寫出點(diǎn)斜式方程即可；〔2〕因為，根據(jù)分類討論，分類討論時，恒成立，在上單調(diào)遞增，所以，符合題意．假設(shè)，那么當(dāng)時，，單調(diào)遞減，分析定義域端點(diǎn)與的大小關(guān)系，假設(shè)，那么當(dāng)，即時，那么當(dāng)時，，符合題意.當(dāng)，即時，那么當(dāng)時，單調(diào)遞增，，不符合題意.試題解析：〔1〕當(dāng)時，，即曲線在處的切線的斜率，又所以所求的切線方程是〔2〕易知假設(shè)，那么恒成立，在上單調(diào)遞增；假設(shè)，那么當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增.又，所以假設(shè)，那么當(dāng)時，，符合題意.假設(shè)，那么當(dāng)，即時，那么當(dāng)時，，符合題意.當(dāng)，即時，那么當(dāng)時，單調(diào)遞增，，不符合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍是考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、最值；3分類討論．【方法點(diǎn)晴】此題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、分類討論的思想和方法，屬于難題．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②對求導(dǎo)；③求方程的所有實數(shù)根；④列表格．此題可以通過分類討論，知函數(shù)在所求區(qū)間上增或者減，或者先增后減，從而求出最大值．20.【2023山東臨沂一中調(diào)研】設(shè)函數(shù)討論的單調(diào)性；假設(shè)有最大值-ln2，求m+n的最小值.【答案】(1)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減;(2).〔1〕函數(shù)定義域為，當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，得，∴在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.(2)由〔1〕知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.∴∴，∴令那么∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴.點(diǎn)睛：討論函數(shù)的單調(diào)性即討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),導(dǎo)函數(shù)中有參數(shù)m，需要對m進(jìn)行討論，來判斷正負(fù)；第二問函數(shù)最值可以求得兩個變量的關(guān)系，，最終將轉(zhuǎn)化成一個變量的表達(dá)式，，根據(jù)的范圍來求出函數(shù)式子的范圍即可.21.【2023河南林州市一?！亢瘮?shù)在點(diǎn)處的切線為.〔1〕求函數(shù)的解析式；〔2〕假設(shè)，且存在，使得成立，求的最小值.【解析】試題分析：〔1〕由可得，；〔2〕原不等式化為，令，，使得，那么，．令，利用導(dǎo)數(shù)工具判斷有一零點(diǎn)，進(jìn)而求出是極小值點(diǎn)，從而求出最小值為，又．的最小值為．試題解析：解：〔1〕的定義域為，，．〔2〕可化為，令，，使得，那么，．令，那么，在上為增函數(shù)．又，故存在唯一的使得，即．當(dāng)時，，，在上為減函數(shù)；當(dāng)時，，，在上為增函數(shù)．，．．的最小值為5．考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性；3、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值；4、函數(shù)的零點(diǎn).【方法點(diǎn)晴】此題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值；和函數(shù)的零點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，屬于難題.研究第二小題時首先應(yīng)將原不等式轉(zhuǎn)化為，再求最小值，而在求最小值時，求導(dǎo)得，將其分子記為，再求得零點(diǎn)，進(jìn)而求得該零點(diǎn)就是的最