第1課時勾股定理太湖縣白沙中學(xué)李敬勝1．經(jīng)歷探索勾股定理及驗證勾股定理的過程，體會數(shù)形結(jié)合的思想；(重點)2．掌握勾股定理，并運用它解決簡單的計算題．(重點)一、情境導(dǎo)入如圖所示的圖形像一棵枝葉茂盛、姿態(tài)優(yōu)美的樹，這就是著名的畢達哥拉斯樹，它由若干個圖形組成，而每個圖形的基本元素是三個正方形和一個直角三角形．各組圖形大小不一，但形狀一致，結(jié)構(gòu)奇巧．你能說說其中的奧秘嗎？二、合作探究探究點一：勾股定理的證明作8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，將它們像下圖所示拼成兩個正方形．求證：a2＋b2＝c2.解析：從整體上看，這兩個正方形的邊長都是a＋b，因此它們的面積相等．我們再用不同的方法來表示這兩個正方形的面積，即可證明勾股定理．證明：由圖易知，這兩個正方形的邊長都是a＋b，∴它們的面積相等．左邊的正方形面積可表示為a2＋b2＋eq\f(1,2)ab×4，右邊的正方形面積可表示為c2＋eq\f(1,2)ab×4.∵a2＋b2＋eq\f(1,2)ab×4＝c2＋eq\f(1,2)ab×4，∴a2＋b2＝c2.方法總結(jié)：根據(jù)拼圖，通過對拼接圖形的面積的不同表示方法，建立相等關(guān)系，從而驗證勾股定理．探究點二：勾股定理【類型一】直接利用勾股定理求長度如圖，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB交AB于點D，求CD的長．解析：先運用勾股定理求出AC的長，再根據(jù)S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)AC·BC，求出CD的長．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，∴由勾股定理得AC2＝AB2－BC2＝52－32＝42，∴AC＝4cm.又∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)AC·BC，∴CD＝eq\f(AC·BC,AB)＝eq\f(4×3,5)＝eq\f(12,5)(cm)，故CD的長是eq\f(12,5)cm.方法總結(jié)：由直角三角形的面積求法可知直角三角形兩直角邊的積等于斜邊與斜邊上高的積，它常與勾股定理聯(lián)合使用．【類型二】利用勾股定理求面積如圖，以Rt△ABC的三邊長為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3，則圖中△ABE的面積為________，陰影部分的面積為________．解析：因為AE＝BE，∠E＝90°，所以S△ABE＝eq\f(1,2)AE·BE＝eq\f(1,2)AE2.又因為AE2＋BE2＝AB2，所以2AE2＝AB2，所以S△ABE＝eq\f(1,4)AB2＝eq\f(1,4)×32＝eq\f(9,4)；同理可得S△AHC＋S△BCF＝eq\f(1,4)AC2＋eq\f(1,4)BC2.又因為AC2＋BC2＝AB2，所以陰影部分的面積為eq\f(1,4)AB2＋eq\f(1,4)AB2＝eq\f(1,2)AB2＝eq\f(1,2)×32＝eq\f(9,2).故分別填eq\f(9,4)，eq\f(9,2).方法總結(jié)：求解與直角三角形三邊有關(guān)的圖形面積時，要結(jié)合圖形想辦法把圖形的面積與直角三角形三邊的平方聯(lián)系起來，再利用勾股定理找到圖形面積之間的等量關(guān)系．【類型三】勾股定理與數(shù)軸如圖所示，數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a，則a的值是()eq\r(5)＋1B．－eq\r(5)＋1\r(5)－1\r(5)解析：先根據(jù)勾股定理求出三角形的斜邊長，再根據(jù)兩點間的距離公式即可求出A點的坐標(biāo)．圖中的直角三角形的兩直角邊為1和2，∴斜邊長為eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，∴－1到A的距離是eq\r(,5).那么點A所表示的數(shù)為eq\r(5)－1.故選C.方法總結(jié)：本題考查的是勾股定理及兩點間的距離公式，解答此題時要注意，確定點A的符號后，點A所表示的數(shù)是距離原點的距離．【類型四】利用勾股定理證明等式如圖，已知AD是△ABC的中線．求證：AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．解析：結(jié)論中涉及線段的平方，因此可以考慮作AE⊥BC交BC于點E.在△ABC中構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理進行證明．證明：如圖，過點A作AE⊥BC交BC于點E.在Rt△ABE、Rt△ACE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2(AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－2ED2＋DB2－2DB·DE＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．方法總結(jié)：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理把需要證明的線段聯(lián)系起來．一般地，涉及線段之間的平方關(guān)系問題時，通常沿著這個思路去分析問題．【類型五】運用勾股定理解決折疊中的有關(guān)計算如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點B落在CD邊上的B′處，點A對應(yīng)點為A′，且B′C＝3，則AM的長是()A．B．2C．D．解析：連接BM，MB′.設(shè)AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故選B.方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵是設(shè)出適當(dāng)?shù)木€段的長度為x，然后用含有x的式子表示其他線段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【類型六】分類討論思想在勾股定理中的應(yīng)用在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD為BC邊上的高，且AD＝12，求△ABC的周長．解析：應(yīng)考慮高AD在△ABC內(nèi)和△ABC外的兩種情形．解：當(dāng)高AD在△ABC內(nèi)部時，如圖①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周長為25＋20＋15＝60；當(dāng)高AD在△ABC外部時，如圖②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周長為7＋20＋15＝42.綜上所述，△ABC的周長為42或60.方法總結(jié)：題中未給出圖形，作高構(gòu)造直角三角形時，易漏掉原三角形為鈍角三角形的情況．如在本例題中，