理論力學(xué)教程第九章第一頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日引言一、動(dòng)力學(xué)的任務(wù)：研究物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)與作用力之間的關(guān)系二、力學(xué)模型：1.質(zhì)點(diǎn)：

具有一定質(zhì)量而不考慮其形狀大小的物體。例如：研究衛(wèi)星的軌道時(shí)，衛(wèi)星質(zhì)點(diǎn)；剛體作平動(dòng)時(shí),剛體質(zhì)點(diǎn)。第二頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日2.質(zhì)點(diǎn)系：由有限或無限個(gè)有著一定聯(lián)系的質(zhì)點(diǎn)組成的

系統(tǒng)。

剛體:-----是一個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)系，由無數(shù)個(gè)相互間保持距離不變的質(zhì)點(diǎn)組成。又稱為不變質(zhì)點(diǎn)系。自由質(zhì)點(diǎn)系：-----質(zhì)點(diǎn)系中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)不受約束的限制。

非自由質(zhì)點(diǎn)系：-----質(zhì)點(diǎn)系中的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)受到約束的限制。

質(zhì)點(diǎn)系是力學(xué)中最普遍的抽象化模型；包括剛體,彈性體,流體。第三頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日三、動(dòng)力學(xué)分類:質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)。四、.動(dòng)力學(xué)的基本問題：大體上可分為兩類：

第一類：已知物體的運(yùn)動(dòng)情況，求作用力；第二類：已知物體的受力情況，求物體的運(yùn)動(dòng)。

綜合性問題：已知部分力，部分運(yùn)動(dòng)求另一部分力、部分運(yùn)動(dòng)。已知主動(dòng)力，求運(yùn)動(dòng)，再由運(yùn)動(dòng)求約束反力。第四頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日第三篇《動(dòng)力學(xué)》第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程第十章動(dòng)量定理第十一章動(dòng)量矩定理第十二章動(dòng)能定理第十三章達(dá)朗貝爾原理第十四章虛位移原理★第五頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日第九章質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的基本方程§9-1動(dòng)力學(xué)的基本定律§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程§9-3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題第六頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日一、牛頓定律：

第一定律不受力作用的任何質(zhì)點(diǎn)，將永遠(yuǎn)保持其靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。該定律表明：任何物體都具有慣性，而力是改變物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的原因。通常亦稱作慣性定律。

第二定律質(zhì)點(diǎn)受力作用時(shí)將產(chǎn)生加速度，加速度的方向與作用力方向相同，其大小則與力的大小成正比，與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成反比。該定律表明：質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性大小的度量；物體機(jī)械運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變，不僅決定于作用于物體上的力，同時(shí)也與物體的慣性有關(guān)。它定量地描述了質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變與作用力之間的關(guān)系。第一定律可視為第二定律的特殊情況。

第二定律重力力的單位:牛[頓],§9-1動(dòng)力學(xué)的基本定律第七頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日由于上式是推導(dǎo)其它動(dòng)力學(xué)方程的出發(fā)點(diǎn)，所以通常稱上式為動(dòng)力學(xué)基本方程。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受幾個(gè)力的作用時(shí)上式中的應(yīng)理解為這些力的合力。該定律表明：

1、力與加速度的關(guān)系是瞬時(shí)關(guān)系，即力在某瞬時(shí)對(duì)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的改變是通過該瞬時(shí)確定的加速度表現(xiàn)的。作用力并不直接決定質(zhì)點(diǎn)的速度，速度的方向可以完全不同于作用力的方向。

2、若相等的兩個(gè)力作用在質(zhì)量不同的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)上，則質(zhì)量越大，加速度越小；質(zhì)量越小，加速度越大。第八頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

這說明：質(zhì)量越大，保持其原來運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的能力越強(qiáng)，即質(zhì)量越大，慣性也越大。因此，質(zhì)量是質(zhì)點(diǎn)慣性大小的度量。在重力場(chǎng)中，物體均受重力作用。物體在重力作用下自由下落所獲得的加速度稱為重力加速度，用表示。由第二定律有式中是物體所受重力的大小，稱為物體的重量，是重力加速度的大小。通常取。

必須指出的是：質(zhì)點(diǎn)受力與坐標(biāo)無關(guān)，但質(zhì)點(diǎn)的加速度與坐標(biāo)的選擇有關(guān)，因此牛頓第一、第二定律不是任何坐標(biāo)都適用的。凡牛頓定律適用的坐標(biāo)系稱為慣性坐標(biāo)系。反之為非慣性坐標(biāo)系。第九頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日二、慣性參考系牛頓定律僅適用于慣性參考系，所以，在應(yīng)用牛頓定律時(shí)，可以選擇日心參考系、地心參考系和地球參考系（地面參考系）為慣性參考系，具體選用哪一種，需要根據(jù)研究對(duì)象、問題的特點(diǎn)、實(shí)際要求的精度來確定。

三、單位制國(guó)際單位制(SI)。長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間為基本量，對(duì)應(yīng)的基本單位是米(m)、千克(kg)、秒(s)，力是導(dǎo)出量，力的導(dǎo)出單位是牛頓(N)。1N=1kg·1m/s2=1kg·m/s2工程單位制(EU)。長(zhǎng)度、力、時(shí)間為基本量，對(duì)應(yīng)的基本單位是米(m)、千克力(kgf)、秒(s)。

第三定律任何兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力總是大小相等，方向相反，沿著同一直線，且分別作用在這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)上。該定律也稱為作用與反作用定律。該定律表明：兩物體間相互作用力的關(guān)系；它不僅對(duì)物體處于平衡狀態(tài)時(shí)適用，對(duì)物體作任何運(yùn)動(dòng)也適用；該定律是研究解決質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題的依據(jù)。第十頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日四、量綱在國(guó)際單位制中，長(zhǎng)度、質(zhì)量、時(shí)間是基本量，它們的量綱分別用[L]、[M]、[T]表示。加速度、力是導(dǎo)出量，它們的量綱分別是[a]＝[L][T]-2、[F]＝[M][L][T]-2。任何一個(gè)力學(xué)方程，它的等號(hào)兩側(cè)的量綱應(yīng)該是相同的。這一結(jié)論，常用來校核力學(xué)方程正確與否，在科學(xué)計(jì)算中非常重要。在我國(guó)，重力加速度一般選取g=9.80m/s2。在工程單位制和國(guó)際單位制中，力的換算關(guān)系為1kgf=9.80kg·m/s2即1kgf=9.80N第十一頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

將質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)基本方程表示為微分形式的方程，稱為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程。

二、直角坐標(biāo)形式§9-2質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程)((

trr

為質(zhì)點(diǎn)矢徑形式的運(yùn)動(dòng)方程）式中=

一、矢徑形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程

由動(dòng)力學(xué)基本方程：由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知：于是可得：或

)

tzztyytxx

運(yùn)動(dòng)方程為質(zhì)點(diǎn)直角坐標(biāo)形式的式中???íì===)()()((Zdtydm?=22Ydtydm?=22Xdtxdm?=22第十二頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

三、自然形式

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程除以上三種基本形式外,還可有極坐標(biāo)形式,柱坐標(biāo)形式等等。應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程，可以求解質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類問題。第十三頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日§9-3質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類基本問題第一類問題：已知運(yùn)動(dòng)求力，求作用在質(zhì)點(diǎn)上的力。這類問題其實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的求導(dǎo)問題。第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。這類問題其實(shí)質(zhì)可歸結(jié)為數(shù)學(xué)上的解微分方程或求積分問題?；旌蠁栴}：第一類與第二類問題的混合。第十四頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)電梯以不變的加速度a

上升,求放在電梯地板上重W的物塊M

對(duì)地板的壓力。解:

將物體

M

看成為自由質(zhì)點(diǎn),它受重力

W

和地板約束力

FN

的作用。ma=FN

W注意到m=W/g,則由上式解得M給地板的壓力F'N與地板約束力FN等值而反向。MaMFNWx例題

第一類問題：已知運(yùn)動(dòng)求力.第十五頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日上式第一部分稱為靜壓力，第二部分稱為附加動(dòng)壓力，F(xiàn)'N稱為動(dòng)壓力。令則n＞1,動(dòng)壓力大于靜力，這種現(xiàn)象稱為超重。n＜1,

動(dòng)壓力小于靜力，這種現(xiàn)象稱為失重。MaMFNWx例題

第一類問題：已知運(yùn)動(dòng)求力.第十六頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日第一類問題解題步驟和要點(diǎn)：

①正確選擇研究對(duì)象（一般選擇聯(lián)系已知量和待求量的質(zhì)點(diǎn)）。

②正確進(jìn)行受力分析,畫出受力圖(應(yīng)在一般位置上進(jìn)行分析)。

③正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析（分析質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的特征量）。

④選擇并列出適當(dāng)形式的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程（建立坐標(biāo)系）。

⑤求解未知量。第十七頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

單擺

M

的擺錘重

W

,繩長(zhǎng)

l

,懸于固定點(diǎn)

O

,繩的質(zhì)量不計(jì)。設(shè)開始時(shí)繩與鉛垂線成偏角0

≤

/2

,并被無初速釋放，求繩中拉力的最大值。例題2OMM0φφ0例題第一類問題：已知運(yùn)動(dòng)求力.第十八頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日解:采用自然形式的運(yùn)動(dòng)微分方程。

任意瞬時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的加速度在切向和法向的投影為寫出質(zhì)點(diǎn)的自然形式的運(yùn)動(dòng)微分方程

考慮到則式(1)化成OMM0φφ0enetanatOMM0φφ0FWanat例題

第一類問題：已知運(yùn)動(dòng)求力.第十九頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)上式采用定積分,把初條件作為積分下限從而得F=W(3cos2cos0)顯然,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)M到達(dá)最低位置=0時(shí),有最大值。故

Fmax=W(32cos0)把式(4)代入式

，有例題

第一類問題：已知運(yùn)動(dòng)求力.第二十頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日例題3

小球質(zhì)量為m，懸掛于長(zhǎng)為l的細(xì)繩上，繩重不計(jì)。小球在鉛垂面內(nèi)擺動(dòng)時(shí)，在最低處的速度為v；擺到最高處時(shí)，繩與鉛垂線夾角為φ，如圖所示，此時(shí)小球速度為零。試分別計(jì)算小球在最低和最高位置時(shí)繩的拉力。Oφvv=0例題

第一類問題：已知運(yùn)動(dòng)求力.第二十一頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

小球作圓周運(yùn)動(dòng)，受有重力W=mg和繩拉力F1。在最低處有法向加速度，由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程沿法向的投影式，有則繩拉力

小球在最高處φ角時(shí)，速度為零，法向加速度為零，則其運(yùn)動(dòng)微分方程沿法向投影式為則繩拉力解:Oφvv=0mgmgF1F2例題

第一類問題：已知運(yùn)動(dòng)求力.第二十二頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

曲柄連桿機(jī)構(gòu)如圖所示。曲柄OA以勻角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)，OA=r，AB=l，當(dāng)λ=r/l比較小時(shí)，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，滑塊B的運(yùn)動(dòng)方程可近似寫為如滑塊的質(zhì)量為m，忽略摩擦及連桿AB的質(zhì)量，試求當(dāng)和時(shí)，連桿AB所受的力。xyOABφβω例題4例題

第一類問題：已知運(yùn)動(dòng)求力.第二十三頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

以滑塊B為研究對(duì)象，當(dāng)φ=ωt

時(shí)，受力如圖。連桿應(yīng)受平衡力系作用，由于不計(jì)連桿質(zhì)量，AB

為二力桿，它對(duì)滑塊B的拉力F沿AB方向。由題設(shè)的運(yùn)動(dòng)方程，可以求得

當(dāng)時(shí)，且，得AB桿受的拉力xBmgFNFβ解：寫出滑塊沿x軸的運(yùn)動(dòng)微分方程xyOABφβω例題

第一類問題：已知運(yùn)動(dòng)求力.第二十四頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日得

時(shí)，而，AB桿受壓力。xBmgFNFβ則有xyOABφβω例題

第一類問題：已知運(yùn)動(dòng)求力.第二十五頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

質(zhì)量是

m

的物體

M

在均勻重力場(chǎng)中沿鉛直線由靜止下落，受到空氣阻力的作用。假定阻力FR

與速度平方成比例，即

FR=cv2

，阻力系數(shù)

c

單位取kg·m－1

，數(shù)值由試驗(yàn)測(cè)定，試求物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。例題5xxFRmgvM例題

第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng).1、力是速度函數(shù)的情形第二十六頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日解：

取坐標(biāo)軸Ox鉛直向下，原點(diǎn)在物體的初始位置。寫出物體

M的運(yùn)動(dòng)微分方程。以

m除式(1)兩端,并代入

v0

的值,得xxFRmgv當(dāng)時(shí)，加速度為零。這個(gè)v1就是物體的極限速度。M例題

第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng).第二十七頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日分離變量,并取定積分,有由上式求解v，得于是物體速度隨時(shí)間而變化的規(guī)律為th是雙曲正切。例題

第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng).第二十八頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日于是求得物體的運(yùn)動(dòng)方程為為了求出物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，只需把(3)再積分一次，有例題

第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng).第二十九頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日第二類問題解題步驟如下：①正確選擇研究對(duì)象。②正確進(jìn)行受力分析，畫出受力圖。判斷力是什么性質(zhì)的力（應(yīng)放在一般位置上進(jìn)行分析，對(duì)變力建立力的表達(dá)式）。③正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。

除應(yīng)分析質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征外，還要確定出其運(yùn)動(dòng)初始條件。第三十頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日選擇并列出適當(dāng)?shù)馁|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程。

如力是常量或是時(shí)間及速度函數(shù)時(shí)，可直接分離變量。

求解未知量。應(yīng)根據(jù)力的函數(shù)形式?jīng)Q定如何積分，并利用運(yùn)動(dòng)的初始條件，求出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。如力是位置的函數(shù)，需進(jìn)行變量置換第三十一頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

質(zhì)量為m的小球以水平速度v0

射入靜水之中，如圖所示。如水對(duì)小球的阻力F與小球速度v的方向相反，而大小成正比，即F=-cv。c為阻力系數(shù)。忽略水對(duì)小球的浮力，試分析小球在重力和阻力作用下的運(yùn)動(dòng)。xyxmaxv0vFmgOM例題6例題

第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng).1、力是速度函數(shù)的情形第三十二頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

小球在任意位置M處，受力有重力mg和阻力F=

–cvxi–cvyj。為求vx，vy將上兩式分離變量，得解：小球沿x，y軸的運(yùn)動(dòng)微分方程為xyxmaxv0vFmgOM例題

第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng).第三十三頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日上兩式的不定積分為按題意，t=0時(shí)，vx=v0，vy=0

。代入上兩式求得兩個(gè)定分積常數(shù)將C1值代入式改寫為可得xyxmaxv0vFmgOM例題

第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng).第三十四頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日整理為或可得將D1值代入式可得可得

xyxmaxv0vFmgOM例題

第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng).第三十五頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日取初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，即t=0時(shí)，x=y=0

。代入上兩式，求得常數(shù)再積分得xyxmaxv0vFmgOM例題6例題

第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng).第三十六頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日則質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為

如忽略介質(zhì)阻力，應(yīng)有μ=0。當(dāng)μ→0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為xyxmaxv0vFmgOM例題

第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng).第三十七頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日例題7

質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)帶有電荷e，以速度v0進(jìn)入強(qiáng)度按E=Acoskt變化的均勻電場(chǎng)中，初速度方向與電場(chǎng)強(qiáng)度垂直，如圖所示。質(zhì)點(diǎn)在電場(chǎng)中受力F=-eE作用。已知常數(shù)A，k，忽略質(zhì)點(diǎn)的重力，試求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡E例題

第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng).2、力是時(shí)間函數(shù)的情形第三十八頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

取質(zhì)點(diǎn)的初始位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，取x，y軸如圖所示，而z軸與x

，y軸垂直。于是力在三軸上投影為Fx=Fz=0

因?yàn)榱统跛俣仍趜軸上的投影均等于零，質(zhì)心的軌跡必定在Oxy平面內(nèi)。寫出質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程在x軸和y軸上的投影式解：交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡E例題

第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng).第三十九頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日得按題意，時(shí)，以此為下限，式和交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡E的定積分分別為例題

第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng).第四十頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日從以上兩式中消去時(shí)間t，得軌跡方程軌跡為余弦曲線，如圖所示。對(duì)以上兩式分離變量，并以t=0時(shí)，x=y=0為下限，做定積分交流電源平板電容器xyOmv0vF質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡E得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程例題

第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng).第四十一頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

物塊在光滑水平面上與彈簧相連，如圖所示。物塊質(zhì)量為m，彈簧剛度系數(shù)為k。在彈簧拉長(zhǎng)變形量為a時(shí)，釋放物塊。求物塊的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。mOxFx例題8例題

第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng).3、力是坐標(biāo)函數(shù)的情形第四十二頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日或上式化為自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式解：

以彈簧未變形處為坐標(biāo)原點(diǎn)O，物塊在任意坐標(biāo)x處彈簧變形量為│x│

，彈簧力大小為，并指向點(diǎn)O，如圖所示。則此物塊沿x軸的運(yùn)動(dòng)微分方程為令mOxFx例題

第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng).第四十三頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日此微分方程的解可寫為由此解出mOxFx其中A，θ為任意常數(shù)，應(yīng)由運(yùn)動(dòng)的初始條件決定。由題意，取x=a處的時(shí)間為t=0，且此時(shí)有。代入上式，有例題11-8例題

第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng).第四十四頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

代入則此物塊的運(yùn)動(dòng)方程為可見此物塊做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)中心為O，振幅為a，周期。稱為圓頻率，應(yīng)由其標(biāo)準(zhǔn)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程直接確定。將mOxFx例題

第二類問題：已知力求運(yùn)動(dòng).第四十五頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

一圓錐擺，如圖所示。質(zhì)量m=0.1kg的小球系于長(zhǎng)l=0.3m的繩上，繩的一端系在固定點(diǎn)O，并與鉛直線成θ=60o

角。如小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求小球的速度v與繩的張力F的大小。Olθ例題9例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第四十六頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日Olθ

以小球?yàn)檠芯康馁|(zhì)點(diǎn)，作用于質(zhì)點(diǎn)的力有重力mg和繩的拉力F。因，于是解得繩的張力與拉力F的大小相等。enetebmgF解：

選取在自然軸上投影的運(yùn)動(dòng)微分方程，得例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第四十七頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

粉碎機(jī)滾筒半徑為R，繞通過中心的水平軸勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，筒內(nèi)鐵球由筒壁上的凸棱帶著上升。為了使鐵球獲得粉碎礦石的能量，鐵球應(yīng)在θ=θ0

時(shí)（如圖）才掉下來。求滾筒每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)n。θ0n例題10例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第四十八頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日θ

視鐵球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)。鐵球被旋轉(zhuǎn)的滾筒帶著沿圓弧上向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)鐵球到達(dá)某一高度時(shí)，會(huì)脫離筒壁而沿拋物線下落。

質(zhì)點(diǎn)在上升過程中，受到重力mg，筒壁的法向力FN和切向力F的作用。mgFNF解：列出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程在主法線上的投影式質(zhì)點(diǎn)在未離開筒壁前的速度等于筒壁的速度。即n例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第四十九頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日于是解得當(dāng)θ=θ0時(shí)，鐵球?qū)⒙湎拢@時(shí)FN=0，于是得顯然，越小，要求n

越大。當(dāng)時(shí)，，鐵球就會(huì)緊貼筒壁轉(zhuǎn)過最高點(diǎn)而不脫離筒壁落下，起不到粉碎礦石的作用。θmgFNF例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第五十頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

如圖所示單擺，擺長(zhǎng)為l，小球質(zhì)量為m，其懸掛點(diǎn)O以加速度a0向上運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)單擺作微振動(dòng)的周期。a0Oφm例題11例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第五十一頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

在懸掛點(diǎn)O上固結(jié)一平動(dòng)參考系Ox'y'，小球相對(duì)于此動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于懸掛固定的單擺振動(dòng)。

分析小球受力：重力，繩子張力F。運(yùn)動(dòng)：因動(dòng)參考系作平動(dòng)，牽連加速度，科氏加速度。解：建立相對(duì)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)基本方程例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.a0Oφmy'x'WetF第五十二頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日將上式投影到切向軸et上，得當(dāng)擺作微振動(dòng)時(shí)，φ角很小，有，且，上式成為例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.a0Oφmy'x'WetF第五十三頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日令：，則上式可寫為自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)式其解的形式為，而振動(dòng)周期為例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.a0Oφmy'x'WetF第五十四頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

設(shè)車廂以均加速度a沿水平直線軌道向右行駛。求由車廂棚頂

M0

處自由落下的質(zhì)點(diǎn)

M

的相對(duì)運(yùn)動(dòng)。O1M0ahMx1y1z1例題12例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第五十五頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日解:取動(dòng)坐標(biāo)系O1x1y1z1固連車廂。因?yàn)閯?dòng)坐標(biāo)系作直線平動(dòng),有mar+mae=W(1)ae=ae,方向與車廂加速度

a相同把式(1)向動(dòng)坐標(biāo)系各軸上投影,得相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程即根據(jù)所選坐標(biāo)系,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的初始條件寫成當(dāng)t=0

時(shí),O1M0ahaeWx1y1z1例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第五十六頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

將式(2)積分,并利用初始條件(3)確定積分變量,求得質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為消去時(shí)間t后,得到相對(duì)軌跡方程這表示軌跡是一條向后方偏斜的直線。例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第五十七頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日

一質(zhì)量是m的小環(huán)M套在半徑是R的光滑圓環(huán)上，并可沿大圓環(huán)滑動(dòng)，而大圓環(huán)在水平面內(nèi)以勻角速度

繞通過點(diǎn)O的鉛垂軸轉(zhuǎn)動(dòng)。在初瞬時(shí)，=0，=2

，試寫出小環(huán)M相對(duì)于大圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程，并求出大圓環(huán)對(duì)小環(huán)M的約束力。（不計(jì)小環(huán)重力的影響）OCO'RMωθR例題13例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第五十八頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日解:

取動(dòng)坐標(biāo)系與大圓環(huán)固連，小環(huán)M

相對(duì)于大圓環(huán)的位置用弧坐標(biāo)s=R表示。作用于小環(huán)

M的力有大圓環(huán)的約束力

F

。

寫出小環(huán)相對(duì)運(yùn)動(dòng)微分方程在相對(duì)切向和法向的投影式中OCO'RMωθaenFaCR例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第五十九頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日由式(1)得這就是小環(huán)M

相對(duì)于大圓環(huán)的運(yùn)動(dòng)微分方程。,將式(a)的變量分離并代入初始條件進(jìn)行積分應(yīng)用循環(huán)變換例題

混合問題：第一類與第二類問題的混合.第六十頁(yè)，共七十二頁(yè)，2022年，8月28日于是有將上式代入式(2)得而所以,大圓環(huán)對(duì)小環(huán)的約束力為]2cos4)cos1(3[2qqw-+=mRF例題

混合問題：第