13/132021北京豐臺高一（下）期末數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．（4分）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（4分）已知向量，且，則向量可以是A． B． C． D．3．（4分）在平行四邊形中，是對角線和的交點(diǎn)，則A． B． C． D．4．（4分）已知正三棱錐，底面的中心為點(diǎn)，給出下列結(jié)論：①底面；②棱長都相等；③側(cè)面是全等的等腰三角形．其中所有正確結(jié)論的序號是A．①② B．①③ C．②③ D．①②③5．（4分）已知，則A． B． C． D．6．（4分）已知，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題正確的是A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則7．（4分）如圖，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．若球的體積為，則圓柱的表面積為)A． B． C． D．8．（4分）在中，點(diǎn)在線段上，且，若，則A． B． C．2 D．39．（4分）在中，若，且，則A． B． C． D．10．（4分）從出生之日起，人的體力、情緒、智力呈周期性變化，在前30天內(nèi)，它們的變化規(guī)律如圖所示（均為正弦型曲線）體力、情緒、智力在從出生之日起的每個周期中又存在著高潮期（前半個周期）和低潮期（后半個周期）．它們在一個周期內(nèi)的表現(xiàn)如表所示：高潮期低潮期體力體力充沛疲倦乏力情緒心情愉快心情煩躁智力思維敏捷反應(yīng)遲鈍如果從同學(xué)甲出生到今日的天數(shù)為5850，那么今日同學(xué)甲A．體力充沛，心情煩躁，思維敏捷 B．體力充沛，心情愉快，思維敏捷 C．疲倦乏力，心情愉快，思維敏捷 D．疲倦乏力，心情煩躁，反應(yīng)遲鈍二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．（5分）已知，且，則．12．（5分）為調(diào)研某校學(xué)生的課外閱讀情況，通過隨機(jī)抽樣調(diào)查，獲得100名學(xué)生每天的課外閱讀時間，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間，（單位：上，其頻率分布表如下：分組頻率，0.05，0.35，，0.2，0.1則；根據(jù)以上數(shù)據(jù)，估計該校學(xué)生每天課外閱讀時間的分位數(shù)為．13．（5分）若復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則．14．（5分）將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的一個取值為．15．（5分）如圖，正方體的棱長為2，點(diǎn)為底面的中心，點(diǎn)在側(cè)面的邊界及其內(nèi)部運(yùn)動，且．給出下列結(jié)論：①；②三棱錐的體積為定值；③點(diǎn)在線段上為的中點(diǎn)）；④△面積的最大值為2．其中所有正確結(jié)論的序號是．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．（13分）已知向量，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求與夾角的大小；（Ⅲ）求．17．（14分）（身體質(zhì)量指數(shù)）是目前國際上常用的衡量人體胖瘦程度以及是否健康的一個標(biāo)準(zhǔn)，其計算公式是：．在我國，成人的數(shù)值參考標(biāo)準(zhǔn)為：為偏瘦；為正常；為偏胖；為肥胖．某公司有3000名員工，為了解該公司員工的身體肥胖情況，研究人員從公司員工體檢數(shù)據(jù)中，采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了100名男員工、50名女員工的身高體重數(shù)據(jù)，計算得到他們的，進(jìn)而得到頻率分布直方圖如下：（Ⅰ）該公司男員工和女員工各有多少人？（Ⅱ）根據(jù)及頻率分布直方圖，估計該公司男員工為肥胖的有多少人？（Ⅲ）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該公司男員工的平均數(shù)為，女員工的平均數(shù)為，比較與的大?。ㄖ苯訉懗鼋Y(jié)論，不要求證明）18．（14分）如圖，在中，是邊上一點(diǎn)，，，．（1）求的長；（2）若，求角的大?。?9．（15分）如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面．（Ⅲ）若，求異面直線與所成角的大?。?0．（14分）已知函數(shù)的最小正周期為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）再從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知條件，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．條件①：的圖象過點(diǎn)；條件②：的圖象關(guān)于直線對稱；條件③：在區(qū)間上單調(diào)遞增．21．（15分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，底面，，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動點(diǎn)．（Ⅰ）若平面交于點(diǎn)，求證：；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）判斷直線與平面所成角的大小是否可以為，并說明理由．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1．【分析】寫出復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)可解決此題．【解答】解：復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：．【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查直觀想象能力，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中向量是否與垂直，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于，，有，則有，符合題意；對于，，有，則不成立，不符合題意；對于，，有，則不成立，不符合題意；對于，，有，則不成立，不符合題意；故選：．【點(diǎn)評】本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量垂直的判斷方法，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】根據(jù)已知條件，可得，再結(jié)合向量的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解．【解答】解：四邊形為平行四邊形，，．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及向量的運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】利用正三棱錐的定義以及結(jié)構(gòu)特征，依次判斷即可．【解答】解：由正三棱錐的定義可知，頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心，所以底面，故選項①正確；由正三棱錐的定義可知，底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心，但是側(cè)棱長和底面邊長的大小關(guān)系不確定，故選項②錯誤；由正三棱錐的定義可知，側(cè)棱長均相等，所以側(cè)面是全等的等腰三角形，故選項③正確．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了正三棱錐的定義以及正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】由已知利用二倍角的余弦公式即可求解．【解答】解：因?yàn)?，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查了二倍角的余弦公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】由平行于同一平面的兩直線的位置關(guān)系判定；由平行于同一直線的兩平面的位置關(guān)系判定；由直線與平面垂直的性質(zhì)判斷；由空間中直線與平面垂直的關(guān)系判斷．【解答】解：若，，則或與相交或與異面，故錯誤；若，，則或與相交，故錯誤；若，，由直線與平面垂直的性質(zhì)可得，故正確；若，，因?yàn)榕c的位置關(guān)系不確定，所以與的位置關(guān)系不確定，故錯誤．故選：．【點(diǎn)評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題．7．【分析】利用球的體積公式求出球的半徑，從而得到圓柱的底面半徑和高．【解答】解：設(shè)球的半徑為，則，解得；所以圓柱的底面半徑為1，高為2，表面積為．故選：．【點(diǎn)評】本題考查球的體積公式和圓柱的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】由已知得，然后結(jié)合向量的線性表示及平面向量基本定理可求．【解答】解：因?yàn)椋?，所以，故，若，則，，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題主要考查了向量的線性表示及平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：在中，若，利用正弦定理：，整理得：，化簡得：，故或（舍去），由于，所以．故選：．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的變換，正弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】根據(jù)題意，由圖象分析體力、情緒、智力的周期，由此分析同學(xué)甲的狀態(tài)，即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，人的體力、情緒、智力呈周期性變化，由圖分析可得：體力的周期為23天，情緒的周期為28天，智力的周期為33天；從同學(xué)甲出生到今日的天數(shù)為5850，對于體力，有，處于高潮期，體力充沛，對于情緒，有，處于低潮期，心情煩躁，對于智力，有，處于高潮期，思維敏捷，故今日同學(xué)甲體力充沛，心情煩躁，思維敏捷；故選：．【點(diǎn)評】本題考查合情推理的應(yīng)用，注意由圖象分析體力、情緒、智力的周期，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11．【分析】由兩個向量共線的性質(zhì)可得，解方程求得的值．【解答】解：已知，且，則由兩個向量共線的性質(zhì)可得，解得，故答案為6．【點(diǎn)評】本題主要考查兩個向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12．【分析】利用頻率之和為1列式求解即可求出；由百分位數(shù)的定義求解即可．【解答】解：由題意可知，，解得；，又，，故該校學(xué)生每天課外閱讀時間的分位數(shù)為85．故答案為：0.3；85．【點(diǎn)評】本題考查了頻率分布表的應(yīng)用，頻率之和為1的應(yīng)用，百分位定義的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】可先將復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡，再求出的模即可．【解答】解：，．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的模，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，求得的一個取值．【解答】解：將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則，，則的一個取值為，故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，屬于中檔題．15．【分析】根據(jù)立體幾何中線線，線面，面面的位置關(guān)系，結(jié)合正方體的特征，逐個分析，即可得出答案．【解答】解：對于①：由正方體的特征可得，，又，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，故①正確；對于②：三棱錐的體積為，故②正確；對于③：當(dāng)位于點(diǎn)是，，當(dāng)位于的中點(diǎn)時，由已知得，，，，，所以，，，所以，得，又，所以平面，得到的軌跡在線段上，故③正確；對于④：由，，所以點(diǎn)到棱的最大值為，所以△面積的最大值為，故④錯誤．故答案為：①②③．【點(diǎn)評】本題考查空間中線線，線面，面面的位置關(guān)系，屬于中檔題．三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16．【分析】（Ⅰ）直接利用向量的數(shù)量積公式求解；（Ⅱ）利用向量的數(shù)列數(shù)量積公式；求解向量與夾角的大??；（Ⅲ）通過向量的模的議事規(guī)則求解即可．【解答】解：（Ⅰ）向量，．所以；（Ⅱ），，所以向量與夾角的大小為；（Ⅲ），，，．【點(diǎn)評】本題考查向量的數(shù)量積的求法，向量的夾角以及向量的模的求解，是基礎(chǔ)題．17．【分析】（Ⅰ）根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系可求得男女員工人數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)即可求出男員工肥胖人數(shù)；（Ⅲ）由圖計算出，即可．【解答】解：（Ⅰ）由題可得男員工人數(shù)為人，女員工人數(shù)為人；（Ⅱ）男員工肥胖人數(shù)為人；（Ⅲ）．由圖可得，，所以．【點(diǎn)評】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查學(xué)生計算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．【分析】（1）直接利用余弦定理求出結(jié)果．（2）利用余弦定理和正弦定理求出結(jié)果．【解答】解：（1）在中，，，．利用余弦定理，解得．（2）利用余弦定理，所以，在中，利用正弦定理，整理得，故．【點(diǎn)評】本題考查的知識要點(diǎn)：正弦定理和余弦定理，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．19．【分析】（Ⅰ）由三棱柱的性質(zhì)知，，再由線面平行的判定定理，得證；（Ⅱ）由面面，可推出面，再由面面垂直的判定定理，得證；（Ⅲ）易知，或其補(bǔ)角即為所求，由（Ⅱ）知，面，從而有，再由三角函數(shù)即可得解．【解答】（Ⅰ）證明：由三棱柱的性質(zhì)知，，平面，平面，平面．（Ⅱ）證明：面面，面面，且面，又平面，平面平面．（Ⅲ）解：，或其補(bǔ)角為異面直線與所成角，由（Ⅱ）知，面，面，，在△中，，異面直線夾角的范圍為，，，故異面直線與所成角的大小為．【點(diǎn)評】本題考查空間中線與面的位置關(guān)系，異面直線夾角的求法，熟練掌握線與面平行、垂直的判定定理或性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感、推理論證能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的周期公式，即可求解．選擇條件①，將點(diǎn)，代入中，可推得，即，運(yùn)用三角函數(shù)得恒等變換將化簡為，再根據(jù)的取值范圍和正弦函數(shù)的圖象，即可求解，選擇條件②，由于的圖象關(guān)于直線對稱，即，可推得，以下同選擇條件①，選擇條件③，根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得當(dāng)時，取得最大值，即，可推得，以下同選擇條件①．【解答】解：函數(shù)的最小正周期為，，．選擇條件①，的圖象過點(diǎn)，，，又，，，，，，當(dāng)時，即，取得最小值，選擇條件②，的圖象關(guān)于直線對稱，，，又，，以下同選擇條件①，選擇條件③，函數(shù)的最小正周期為，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，取得最大值，，，又，，以下同選擇條件①．【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)已知條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．21．【分析】（Ⅰ）利用線面平行的判定定理證明平面，平面，由線面平行的性質(zhì)定理即可證明；（Ⅱ）利用線面垂直的判定定理證明平面，進(jìn)而通過，，即可證明平面；（Ⅲ）由線面角的定義可得，即為直線與平面所成