相關(guān)分析和回歸分析第一頁，共三十五頁，2022年，8月28日【問題引入】

A化妝品公司對(duì)L品牌制定了以銷售額最大化為目標(biāo)的競(jìng)爭(zhēng)策略，采取了一系列措施：（1）廣告營銷：廣告投入（2）產(chǎn)品研發(fā)：研發(fā)投入（3）降價(jià)營銷：降低銷售價(jià)格2023/2/162第二頁，共三十五頁，2022年，8月28日 經(jīng)過兩年的經(jīng)營，L品牌的銷售額翻了三番，市場(chǎng)部收集了近兩年L品牌每個(gè)月的產(chǎn)品銷售額、研發(fā)投入、廣告支出、平均銷售價(jià)格數(shù)據(jù)（見表8-1）。 分析這兩年來L品牌的銷售額與廣告營銷、產(chǎn)品研發(fā)和降價(jià)營銷等是否有關(guān)系？如果有關(guān)系，他們有是什么樣的關(guān)系？各項(xiàng)措施中，哪項(xiàng)措施對(duì)銷售額的影響最大？2023/2/163第三頁，共三十五頁，2022年，8月28日【問題分析】L品牌的銷售額與廣告營銷、產(chǎn)品研發(fā)和降價(jià)營銷等是否有關(guān)系？”如果有關(guān)系，他們有是什么樣的關(guān)系？各項(xiàng)措施中，哪項(xiàng)措施對(duì)銷售額的影響最大？

——相關(guān)分析和回歸分析那么變量之間的關(guān)系有哪些呢？2023/2/164第四頁，共三十五頁，2022年，8月28日變量之間的關(guān)系變量之間的關(guān)系按照關(guān)系的強(qiáng)弱程度，可以分為三類：確定性的函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系沒有關(guān)系統(tǒng)計(jì)學(xué)所研究的2023/2/165第五頁，共三十五頁，2022年，8月28日用相關(guān)分析方法分析變量之間的相關(guān)關(guān)系，通常有兩個(gè)角度：相關(guān)關(guān)系的描述相關(guān)關(guān)系的度量第一節(jié)相關(guān)分析

第六頁，共三十五頁，2022年，8月28日一、相關(guān)關(guān)系的描述——散點(diǎn)圖 描述變量的相關(guān)關(guān)系的方法有很多，其中最常用、最直觀的方法是作變量之間的散點(diǎn)圖。2023/2/167第七頁，共三十五頁，2022年，8月28日【例題8-1】用Excel分別繪制本章問題引入中的產(chǎn)品銷售額對(duì)廣告支出、研發(fā)投入和平均銷售價(jià)格的散點(diǎn)圖?！井嬌Ⅻc(diǎn)圖的Excel操作】2023/2/168第八頁，共三十五頁，2022年，8月28日相關(guān)關(guān)系的類型①變量個(gè)數(shù)：簡單相關(guān)、多重相關(guān)（“復(fù)相關(guān)”）②相關(guān)關(guān)系的表現(xiàn)形式：線性相關(guān)、非線性相關(guān)③相關(guān)關(guān)系變化的方向：正相關(guān)、負(fù)相關(guān)④相關(guān)的程度：完全相關(guān)、不相關(guān)、不完全相關(guān)2023/2/169第九頁，共三十五頁，2022年，8月28日二、簡單線性相關(guān)關(guān)系的度量

——相關(guān)系數(shù)總體的簡單線性相關(guān)系數(shù)：樣本的簡單線性相關(guān)系數(shù)：其中：x和y是樣本觀測(cè)值，和是對(duì)應(yīng)樣本的平均值?！纠}8-2】2023/2/1610第十頁，共三十五頁，2022年，8月28日相關(guān)系數(shù)的特點(diǎn)1、關(guān)系類型——定性取值范圍-1≤r≤1r=-1：完全負(fù)相關(guān)

r=1：完全正相關(guān)

r=0：不存在線性相關(guān)關(guān)系

-1r<0：負(fù)相關(guān)

0<r1：正相關(guān)2、關(guān)系的強(qiáng)弱——定量

|r|<0.5：較弱相關(guān)

0.5

≤|r|≤0.8：一般程度相關(guān)

|r|>0.8：高度相關(guān)|r|→1：相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)，|r|→0：相關(guān)關(guān)系越弱2023/2/1611第十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日注意相關(guān)系數(shù)中的x和y都是相互對(duì)稱的隨機(jī)變量；線性相關(guān)系數(shù)只反映變量間的線性相關(guān)程度，不能說明非線性相關(guān)關(guān)系；相關(guān)系數(shù)只能反映線性相關(guān)程度，不能確定因果關(guān)系，不能說明相關(guān)關(guān)系具體接近哪條直線【思考】變量間的因果關(guān)系及隱藏在隨機(jī)性后面的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性如何測(cè)量？

——回歸分析2023/2/1612第十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日關(guān)于回歸統(tǒng)計(jì)分析方法的基礎(chǔ)方法高爾頓子代尺寸與父代尺寸關(guān)系的研究在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們把通過一個(gè)或多個(gè)自變量的值來確定因變量平均值的研究稱為回歸分析。第二節(jié)回歸分析：一元線性回歸

第十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日 按照自變量的個(gè)數(shù)不同一元回歸分析多元回歸分析 按照變量之間的關(guān)系形式不同線性回歸分析非線性回歸分析

2023/2/1614第十四頁，共三十五頁，2022年，8月28日 回歸分析的四個(gè)步驟：一、模型的設(shè)定二、模型參數(shù)的估計(jì)三、模型的檢驗(yàn)四、模型的應(yīng)用2023/2/1615第十五頁，共三十五頁，2022年，8月28日一、一元線性回歸模型的設(shè)定 一般來說，我們是通過確定回歸模型的回歸函數(shù)來對(duì)模型進(jìn)行設(shè)定。總體回歸函數(shù)條件均值形式：E(y)=0+1x個(gè)別值形式：y=0+1

x+其中，0和1稱為模型的參數(shù)，

是誤差項(xiàng)2023/2/1616第十六頁，共三十五頁，2022年，8月28日樣本回歸函數(shù)條件均值形式：個(gè)別值形式：其中： 是樣本回歸直線在y軸上的截距； 是直線的斜率； 是y的估計(jì)值； 是樣本回歸模型的殘差，是樣本回歸函數(shù)預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際值的差?！纠}8-3】2023/2/1617第十七頁，共三十五頁，2022年，8月28日二、一元線性回歸模型參數(shù)的估計(jì) 在給定一組樣本數(shù)據(jù)時(shí)，對(duì)一元線性回歸模型的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，我們是先估計(jì)樣本回歸函數(shù)中的和，然后用和來估計(jì)總體回歸函數(shù)中的和。

在估計(jì)模型參數(shù)之前，我們需要對(duì)設(shè)定的一元線性回歸模型進(jìn)行一些假定。2023/2/1618第十八頁，共三十五頁，2022年，8月28日一元線性回歸模型的基本假定1、對(duì)模型形式設(shè)定的假定：假定因變量y與自變量x之間具有線性關(guān)系；2、對(duì)自變量x的假定：假定在重復(fù)抽樣中，自變量x的取值是固定的，即x非隨機(jī)；2023/2/1619第十九頁，共三十五頁，2022年，8月28日一元線性回歸模型的基本假定3.對(duì)誤差項(xiàng)ε的假定：零均值：E(ε)=0同方差：對(duì)所有的x值，ε的方差σ2都相同正態(tài)性：誤差項(xiàng)ε~N(0,σ2)無自相關(guān)：誤差項(xiàng)ε的逐次值互不相關(guān)，即Cov(εi,εj)=0，（i≠j）ε與x不相關(guān)：誤差項(xiàng)ε與x值不相關(guān)

在滿足以上假定時(shí)，我們就可以使用最小二乘法來估計(jì)模型的參數(shù)。2023/2/1620第二十頁，共三十五頁，2022年，8月28日最小二乘估計(jì) 所謂最小二乘法，就是使因變量的觀察值與估計(jì)值之間的離差平方和達(dá)到最小時(shí)，估計(jì)和的方法。 用公式表達(dá)：即：最小2023/2/1621第二十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日最小二乘估計(jì)根據(jù)最小二乘法的要求，可以得到和的計(jì)算公式如下：【例題8-4】2023/2/1622第二十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日最小二乘估計(jì)式的性質(zhì)最小二乘法擬合的直線代表x與y之間的關(guān)系與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差比其他任何直線都小。最小二乘法計(jì)算的一元線性回歸模型的結(jié)果具有以下特點(diǎn)：線性特征無偏特性最小方差性：在所有的線性無偏估計(jì)中，OLS

估計(jì)具有最小方差。結(jié)論：在古典假定下，一元線性回歸的OLS估計(jì)式是最佳線性無偏估計(jì)式。2023/2/1623第二十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日三、一元線性回歸模型的檢驗(yàn) 對(duì)一元線性回歸模型，我們通常作兩個(gè)檢驗(yàn)：擬合優(yōu)度檢驗(yàn)回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)（在一元線性模型中，“回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)”也可以稱為“線性關(guān)系檢驗(yàn)”）2023/2/1624第二十四頁，共三十五頁，2022年，8月28日一元線性回歸模型的檢驗(yàn)1.擬合優(yōu)度檢驗(yàn) 從右圖可以看出，有的點(diǎn)落在直線上，而有的點(diǎn)偏離了直線。這說明直線對(duì)數(shù)據(jù)是不完全擬合的。因此我們有必要來計(jì)算直線到底有多大程度上擬合了數(shù)據(jù)。2023/2/1625第二十五頁，共三十五頁，2022年，8月28日 我們把樣本回歸線對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合的優(yōu)劣程度稱為樣本回歸線的擬合優(yōu)度。 我們可以通過計(jì)算回歸線的擬合優(yōu)度來對(duì)模型進(jìn)行擬合優(yōu)度檢驗(yàn)。

擬合優(yōu)度的度量是建立在對(duì)數(shù)據(jù)總變差分解的基礎(chǔ)上的。一元線性回歸模型的檢驗(yàn)2023/2/1626第二十六頁，共三十五頁，2022年，8月28日（1）變差 因變量y的取值是不同的，y

取值的這種波動(dòng)稱為變差。 變差來源于兩個(gè)方面：來源1：由于自變量x

的取值不同造成的來源2：除x

以外的其他因素(如x對(duì)y的非線性影響、測(cè)量誤差等)的影響

一元線性回歸模型的檢驗(yàn)2023/2/1627第二十七頁，共三十五頁，2022年，8月28日 分析變差的兩個(gè)來源，我們發(fā)現(xiàn)：來源1可以回歸的結(jié)果來解釋，即：來源2不可以用回歸的結(jié)果來解釋，即： 對(duì)所有數(shù)據(jù)的總變差進(jìn)行分解：可以證明得到：2023/2/1628第二十八頁，共三十五頁，2022年，8月28日（3）在中：即：SST=SSR+SSE稱為總平方和，記作SST（反映因變量的n個(gè)觀察值與其均值的總離差。）稱為回歸平方和，記作SSR（反映自變量x

的變化對(duì)因變量y

取值變化的影響，或者說，是由于x

與y

之間的線性關(guān)系引起的y的取值變化，也稱為可解釋的平方和。）稱為殘差平方和，記作SSE（反映除x

以外的其他因素對(duì)y

取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或余平方和。）2023/2/1629第二十九頁，共三十五頁，2022年，8月28日擬合優(yōu)度系數(shù)（或判定系數(shù)）R2R2=SSR/SST=1-SSE/SST【特點(diǎn)】反映回歸直線的擬合程度取值范圍在[0,1]之間R21，說明回歸方程擬合的越好；R20，說明回歸方程擬合的越差在一元回歸中，判定系數(shù)等于相關(guān)系數(shù)的平方，即R2＝(r)22023/2/1630第三十頁，共三十五頁，2022年，8月28日2.回歸系數(shù)的檢驗(yàn)（1）定義：檢驗(yàn)x與y之間是否具有線性關(guān)系，或者說，檢驗(yàn)自變量x

對(duì)因變量y

的影響是否顯著（2）注意：在一元線性回歸中，檢驗(yàn)自變量對(duì)因變量是否有影響，也就是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木€性關(guān)系是否顯著（3）理論基礎(chǔ)：回歸系數(shù)的抽樣分布2023/2/1631第三十一頁，共三十五頁，2022年，8月28日（4）檢驗(yàn)步驟提出假設(shè)：H0:β1=0(沒有線性關(guān)系) H1:β1≠0(有線性關(guān)系)計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量：確定顯著性水平，若|t|>t，則拒絕H0，認(rèn)為模型通過檢驗(yàn)，認(rèn)為x對(duì)y有顯著影響；若|t|<t，不拒絕H0，認(rèn)為模型沒有通過檢驗(yàn)，認(rèn)為x對(duì)y沒有顯著影響?！纠}8-6】2023/2/1632第三十二頁，共三十五頁，2022年，8月28日四、一元線性回歸模型的應(yīng)用 當(dāng)模型通過以上檢驗(yàn)之后，我們認(rèn)為模型是合理的、可行的。因此，我們可以應(yīng)用以上模型來解決實(shí)際問題。 一元線性回歸模型應(yīng)用主要有兩方面：解釋因變量與自變量之間的具體數(shù)量形式和數(shù)量關(guān)系根據(jù)自變量的已知值，使用模型對(duì)因變量的值進(jìn)行預(yù)測(cè)。2023/2/1633第三十三頁，共三十五頁，2022年，8月28日1.模型的意義 根據(jù)模型，表示當(dāng)