2012數(shù)學(xué)競(jìng)賽練習(xí)題（東南大學(xué)數(shù)學(xué)系賀傳富）1.證明：為常數(shù)）。2．設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且是曲線上點(diǎn)處的切線在軸的截距，求。3．使得不等式對(duì)任意的正數(shù)都成立的最小正常數(shù)。4．設(shè)且則＝，＝。5．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，則極限＝。6．。7．設(shè)。8．設(shè)，當(dāng)時(shí)，。9．＝。10．＝。11．設(shè)則＝。12．設(shè)在上連續(xù)，且，證明：存在使。13.設(shè)在上連續(xù)，，已知對(duì)任意的都有，證明對(duì)一切與有14．證明：，其中為正整數(shù)。15．設(shè)為任意實(shí)數(shù)，=。16．在時(shí)有極大值，在時(shí)有極小值2的最低冪次多項(xiàng)式的表達(dá)式是。1．設(shè)在內(nèi)有，且，證明在內(nèi)有17、設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，證明：18．。19．證明：。20．當(dāng)，時(shí)，函數(shù)當(dāng)時(shí)關(guān)于的無(wú)窮小階數(shù)最高。21．設(shè)，則。22．設(shè)，則=。23．計(jì)算24．設(shè)為正常數(shù)，證明25．試比較積分與的大小，并證明你得出的結(jié)論。26、設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，求證存在使得。27、設(shè)在上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明28．設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，又設(shè)，且對(duì)，有，證明29．函數(shù)（其中）的反函數(shù)為。30．，則。31．若且有，則=。32．。33．。34．已知當(dāng)時(shí)，與為等價(jià)無(wú)窮小，則，。35．設(shè)是連續(xù)函數(shù)，則。36．設(shè)求37．求極限38、設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，求。39．設(shè)，求使不等式成立的最小的值。40．證明：當(dāng)時(shí)，41、設(shè)在上存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，，，求證：1）至少存在互異的兩點(diǎn)，使得；2）至少存在一點(diǎn)，使得。42、設(shè)在的某鄰域內(nèi)有連續(xù)的三階導(dǎo)數(shù)，且，又設(shè)求極限。42．當(dāng)時(shí)，與為同階無(wú)窮小，則=。43．。44．極限=。45．已知在內(nèi)可導(dǎo)，且，則。46．設(shè)則=。47．設(shè)函數(shù)則=。48．設(shè)求49．求極限。50．比較與的大小。51、設(shè)函數(shù)在上存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，試證對(duì)任意正整數(shù)，有52、設(shè)，試問(wèn)曲線有幾個(gè)拐點(diǎn)，證明你的結(jié)論。53、設(shè)為有界閉區(qū)間