矩陣的概念和運(yùn)算1第一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日由m×n個(gè)數(shù)排成的m行n列數(shù)表稱為一個(gè)m行n列矩陣，簡(jiǎn)稱為m×n矩陣．其中aij表示第i行第j列處的元素，i稱為aij的行指標(biāo)，j稱為aij的列指標(biāo)．一、矩陣的概念定義12第二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

矩陣通常用A，B，C…大寫(xiě)字母表示，若需指明矩陣的行數(shù)和列數(shù)常寫(xiě)為或．例如：

為一個(gè)2×3矩陣．

在以后的討論中，還會(huì)經(jīng)常用到一些特殊的矩陣，下面分別給出他們的名稱,元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記作O或0，如：3第三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)m=n時(shí)，稱A為n階矩陣（或n階方陣）．只有1行（1×n）或1列（m×1）的矩陣，分別稱為行矩陣和列矩陣，如：4第四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日若方陣的元素aij=0（i≠j），則稱A為對(duì)角矩陣，aii（i=1,2,…,n）稱為A的對(duì)角元，如為二階對(duì)角矩陣．對(duì)角元全為數(shù)1的對(duì)角矩陣稱為單位矩陣，n階單位矩陣記為In．5第五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日形如的矩陣分別稱為上三角矩陣和下三角矩陣．6第六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日

把矩陣的行與列依次互換，得到的矩陣稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣．即矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣一個(gè)m行n列矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣是一個(gè)n行m列的矩陣．7第七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日那么就稱這兩個(gè)矩陣相等.例1已知而且A=B，求a,b,c,d．解根據(jù)矩陣相等的定義，可得方程組8第八頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日解得a=5,b=2,c=2,d=-1，即當(dāng)a=5,b=2,c=2,d=-1時(shí)A=B．應(yīng)當(dāng)注意的是：矩陣與行列式是兩個(gè)不同的概念，行列式是一個(gè)算式，計(jì)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)，而矩陣是有數(shù)構(gòu)成的一個(gè)數(shù)表；記法也不同，行列式用的是兩條豎線，而矩陣用的是一對(duì)圓括號(hào)或中括號(hào)．9第九頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日顯然，兩個(gè)m行n列的矩陣相加（減）得到的和（差）仍是一個(gè)m行n列的矩陣．應(yīng)注意，只有當(dāng)兩個(gè)矩陣的行數(shù)與列數(shù)分別相同時(shí)，它們才能作加減運(yùn)算．容易驗(yàn)證，矩陣的加法運(yùn)算滿足以下規(guī)律：（１）交換律：A+B=B+A；（２）結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C)．二、矩陣的加法和減法10第十頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日例2已知求A+AT和A-AT．11第十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日12第十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日定義一個(gè)數(shù)k與一個(gè)m行n列矩陣相乘，它們的乘積為kA，并且規(guī)定Ak=kA．例如，設(shè)三、數(shù)與矩陣相乘13第十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)甲、乙兩家公司生產(chǎn)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三種型號(hào)的計(jì)算機(jī)，月產(chǎn)量（單位：臺(tái)）為如果生產(chǎn)這三種型號(hào)的計(jì)算機(jī)的每臺(tái)的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元/臺(tái)）為四、矩陣與矩陣相乘14第十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日則這兩家公司的月利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）應(yīng)為可見(jiàn)，甲公司每月的利潤(rùn)為29．1萬(wàn)元，乙公司的利潤(rùn)為34．1萬(wàn)元．矩陣與矩陣乘法的一般定義如下：則由元素15第十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日構(gòu)成的m×n矩陣稱為矩陣A與B的乘積，記為C=AB．⑶乘積C中第i行第j列元素Cij等于A的第i行元素與B的第j列元素對(duì)應(yīng)乘積之和，即．⑴A的列數(shù)必須等于B的行數(shù)，A與B才能相乘；⑵乘積C的行數(shù)等于A的行數(shù)，C的列數(shù)等于B的列數(shù)；由定義可知：16第十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日AD無(wú)意義．17第十七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日18第十八頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日19第十九頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日由上例可知，單位矩陣I在矩陣的乘法中與數(shù)1在數(shù)中的乘法中所起的作用相似．若兩個(gè)矩陣A與B滿足AB=BA，則稱A與B是可交換的由于矩陣乘法不滿足交換律，所以在進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，千萬(wàn)要注意，不能把左、右次序顛倒．矩陣乘法滿足如下運(yùn)算規(guī)律：（１）結(jié)合律：(AB)C=A(BC)；（２）分配律：

A(B+C)=AB+AC，(B+C)A=BA+CA；（３）k(AB)=

(kA)B=A(kB)，k為任意常數(shù)．20第二十頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日因?yàn)锳B=BA，所以A與B可交換.21第二十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日稱為矩陣A的k次冪．矩陣A的運(yùn)算滿足由于矩陣乘法一般不滿足交換律，因此一般來(lái)說(shuō)22第二十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日23第二十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于線性方程組五、利用矩陣表示線性方程組24第二十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日它是一個(gè)m行一列的矩陣，根據(jù)矩陣相等的定義可得所以方程組可以用矩陣的乘法來(lái)表示．方程組中系數(shù)組成的矩陣A稱為系數(shù)矩陣，25第二十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日方程組中系數(shù)與常數(shù)組成的矩陣稱為增廣矩陣，記為26第二十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日例7利用矩陣表示線性方程組27第二十七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日因?yàn)?，所以方程組可表示為