2mg2mg練習(xí)題兩個(gè)點(diǎn)電荷所帶電荷之和為Q它們各帶電荷為多少時(shí)，相互間的作用力最大解:這是一個(gè)條件極值問(wèn)題。設(shè)其中一個(gè)點(diǎn)電荷帶電q，則另一個(gè)點(diǎn)電荷帶，兩點(diǎn)電荷之間的庫(kù)侖力為1F4r2由極值條d，得1qQ2又因?yàn)閐q20

r

2

<0這表明兩電荷平分電荷Q，它們之間的相互作用力最大。兩個(gè)相同的小球，質(zhì)量都是，帶等值同號(hào)的電荷，各用長(zhǎng)為l的細(xì)線(xiàn)掛在同一點(diǎn)，如圖所示。設(shè)平衡時(shí)兩線(xiàn)間夾角2試證平衡時(shí)有下列的近似等式成立：

很小。（）q2lx

式中x為兩球平衡時(shí)的距離。如果l1.20m，m=10g，=5.0，則每個(gè)小球上的電荷量q是多?如果每個(gè)球1.0C的變化率失去電荷，求兩球彼此趨近的瞬時(shí)相對(duì)速率dx/dt是多少解帶電小球受力分析如圖解所示。小球

圖7-43練題圖平衡時(shí)，有

T由此二式可得

51/11

mg1mg1因很小，可有

tan

q4

20

x

2可解得q2l

（2）由上式解出q

l

38

C（3）于1dxlq2dqdtqdt0帶入數(shù)據(jù)解得

.m合力的大小為Fcos

4

2

14

4

x2

Fdx0即有e

x

x2x

由此解粒子受力最大的位置為

d252/11

左左由相距較近的等量異號(hào)電荷組成的體系稱(chēng)電偶極子，生物細(xì)胞膜及土壤顆粒表面的雙電層可視為許多電偶極子的集合。因此，電偶極子是一

+ql

lO

-q

l

x

P個(gè)十分重要的物理模型。圖7-45所示的電荷體系稱(chēng)電四極子，它由兩個(gè)電

-q

l

+q偶極子組合而成，其中的l均為已知，對(duì)圖7-44中點(diǎn)(平行于正方形的一邊)，證明當(dāng)xl時(shí)其中，稱(chēng)電偶極矩。

Ep

圖7-45練題7-4用圖pl440解電四極子可看成兩個(gè)電偶極子的組合。設(shè)左邊和右邊兩個(gè)電偶極子在產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分別為E和，由教材例題7-3可知左右方向下42E

4

0

2

其中，p=ql。P點(diǎn)處的合場(chǎng)強(qiáng)為EE左

p

l

p

l

p2l2由于xl上式可簡(jiǎn)化為

plx0

4

證畢。如圖7-46所示，長(zhǎng)為l的細(xì)直線(xiàn)帶線(xiàn)密度53/11

，求下面兩種情

況下在線(xiàn)的延長(zhǎng)線(xiàn)上距線(xiàn)的端點(diǎn)O為b的P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度：(1)常量，且；(2)

kx，大于零的常量，(0≤x≤。P圖7-46練習(xí)題圖解：(1)帶電直線(xiàn)分割成無(wú)數(shù)個(gè)長(zhǎng)度元x，dx的坐標(biāo)是。它所帶的電荷元dq，dq在P產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為

4

因?yàn)樗须姾稍a(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向都相同，所以場(chǎng)強(qiáng)的矢量疊加可用代數(shù)方法相加。于是帶電直線(xiàn)在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

l0

1

0

b

4

方向沿x軸的負(fù)方向。(2)同樣取電荷微元

q

xkxxd

14

d同理E

l

4

x

4

bllnbl

方向沿x軸的負(fù)方向。一個(gè)半徑為R的半圓細(xì)環(huán)上均勻地分布電荷54/11

Q，求環(huán)心處的電場(chǎng)強(qiáng)

度。解：分析在求環(huán)心處的電場(chǎng)強(qiáng)度時(shí)，不能將帶電半圓環(huán)視作點(diǎn)電荷?，F(xiàn)將其抽象為帶電半圓弧線(xiàn)．在弧線(xiàn)上取線(xiàn)元l，其電荷Ql，此電荷元可視為點(diǎn)電荷，它在點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為dE

14

0

dqrR20因圓環(huán)上電荷對(duì)軸呈對(duì)稱(chēng)性分布，電場(chǎng)分布也是軸對(duì)稱(chēng)的，則有dExxL點(diǎn)合電場(chǎng)強(qiáng)度為

習(xí)題用E

L

-L

L

4

qsinR

其中，負(fù)號(hào)表示場(chǎng)強(qiáng)方向與y方向相反。將

q

ldld

，帶入上式，積分得E

0

Q40

2

Q2R20負(fù)號(hào)表示場(chǎng)強(qiáng)方向與方向相反55/11

xx2xx2一個(gè)半徑為R的帶電圓盤(pán)，電荷面密度求：（1）圓盤(pán)軸線(xiàn)上距盤(pán)心為x處的任一點(diǎn)P的電場(chǎng)強(qiáng)度；（）當(dāng)R→∞時(shí)，的電場(chǎng)強(qiáng)度為多少（3）當(dāng)R時(shí)，P的電場(chǎng)強(qiáng)度又為多少練習(xí)題7-7用圖解：（1）在半徑為R的帶電圓盤(pán)上取內(nèi)半徑為r

、半徑為r+dr的細(xì)圓環(huán)，如圖所示。利用教材中例題7-5的結(jié)果可知，該細(xì)圓環(huán)上的電荷在點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為dE

xrr于是，整個(gè)圓盤(pán)上的電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為

0

2

0

x2r

2

x0

2

（1）當(dāng)R時(shí)?。此時(shí)，上式可化為

即此時(shí)可將帶電圓盤(pán)看作無(wú)限大帶電平面。（3）當(dāng)R時(shí)，可將帶電圓盤(pán)看作點(diǎn)電荷，此時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度為40056/11

III11221iIII11221i圖為兩個(gè)分別帶有電荷的同心球殼系統(tǒng)。設(shè)半徑R和的球殼1上分別帶有電，求：（）I、II、III三個(gè)區(qū)域中的場(chǎng)強(qiáng)；12（）若Q=－，各區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度又為多少？12畫(huà)出此時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布曲線(xiàn)(－r關(guān)系曲線(xiàn))。解：（1）在區(qū)域I，做半徑為r﹤的球形高斯面。因?yàn)楦咚姑鎯?nèi)無(wú)電荷，根據(jù)高斯定理

III

1

1E=0

i

i內(nèi)

Q

2

Q

1

2

4r201可得區(qū)域I中的電場(chǎng)強(qiáng)度為=

圖7-47練題7-8用在區(qū)域II，以R為半徑做球形高斯面。因?yàn)榇烁咚姑鎯?nèi)的電荷為1，由高斯定理得

E=0

i

i1Q420由此可解得區(qū)域II的電場(chǎng)強(qiáng)度為Q140

r

2在區(qū)域III，做半徑r的球形高斯面。由于該高斯面內(nèi)的電荷為，由高斯定理可得=i04

Q

=

r257/11

123123（2）=Q時(shí)根據(jù)以上結(jié)果12易知區(qū)域I場(chǎng)強(qiáng)為=0區(qū)域II的場(chǎng)強(qiáng)為

Q4

EQE0

r

2

Rr關(guān)系曲

R

r區(qū)域III的場(chǎng)強(qiáng)為=0根據(jù)上述結(jié)果可畫(huà)出如圖所關(guān)系曲線(xiàn)。水分子的電偶極矩為-30，如果這個(gè)電偶極矩是由一對(duì)點(diǎn)電荷±e引起的e為電子電量，那么，它們的距離是多少如果電偶極矩的取向與強(qiáng)度10

6

N

-1

的電場(chǎng)方向一致，要使這個(gè)電偶極矩倒轉(zhuǎn)成與電場(chǎng)相反的方向需要多少能量(用表示)?解：（1）由電偶極矩的定義得

pqle6.13l1.6

3.83(m)（2）若使電偶極矩倒轉(zhuǎn)需要能量為，則AEEeEl

26

(eV)58/11

rRRrRRr12dr003rr1QrRRrRRr12dr003rr1Q計(jì)算練習(xí)題7-8Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域中的電勢(shì)。解：（1）根據(jù)題所得Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域中的電場(chǎng)分布，0

;

1;E4r

QQ2r

Q

2

IIIII可得區(qū)域I的電勢(shì)為UE1rdrdr123RQQ1R44由此解得

Q

1

I

1

2

42區(qū)域Ⅱ的電勢(shì)分布為

r

E?dr

r

Edrr2

14

Qr區(qū)域Ⅲ的電勢(shì)分布為E?rrr（2）Q，則區(qū)域Ⅰ的電勢(shì)為1UE1

Er3

124r0r1dr0

Err2

Q1R01

區(qū)域Ⅱ的電勢(shì)為59/11

RPRPU

r

E?r

r

rr區(qū)域Ⅲ的電勢(shì)為

U

r

E?d

r

Er“無(wú)限長(zhǎng)”均勻帶電圓柱面，半徑為單位長(zhǎng)度上帶電量+。試求其電勢(shì)分布。(示：選取距帶電圓柱面軸線(xiàn)為的P點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn))0解：由于電荷分布具有軸對(duì)稱(chēng)性，所以應(yīng)用高斯定理很容易求出電場(chǎng)強(qiáng)度分布為(

r

＜)E=E

2

0

r

（r

＞R）電場(chǎng)強(qiáng)度方向垂直于帶電圓柱面沿徑向。選某一距帶電直線(xiàn)為的P點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)，0如本題解圖所示。當(dāng)r＜U

E

R

EP

r這個(gè)結(jié)果可以一般地表示為當(dāng)r

＞R時(shí)U

P

E

r

dr

r

2

r

dr

0

r

0

lnR

0

ln

r60/11

同軸電纜是由兩個(gè)很長(zhǎng)且彼此絕緣的同軸金屬圓柱體構(gòu)成，如圖749。設(shè)圓柱為，半徑為R；外圓柱體的電勢(shì)為11，外圓柱體的內(nèi)半