學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE19學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精專(zhuān)題7.1不等關(guān)系與不等式【考綱解讀】?jī)?nèi)容要求備注ABC集合一元二次不等式√對(duì)知識(shí)的考查要求依次分為了解、理解、掌握三個(gè)層次（在表中分別用A、B、C表示）.了解：要求對(duì)所列知識(shí)的含義有最基本的認(rèn)識(shí)，并能解決相關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.理解：要求對(duì)所列知識(shí)有較深刻的認(rèn)識(shí)，并能解決有一定綜合性的問(wèn)題。掌握：要求系統(tǒng)地掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強(qiáng)的或較為困難的問(wèn)題。線(xiàn)性規(guī)劃√基本不等式√【直擊考點(diǎn)】題組一常識(shí)題1．某高速公路要求行駛的車(chē)輛的速度v（km/h）的最大值為120km/h，同一車(chē)道上的車(chē)間距d(m）不得小于10m，用不等式組表示為_(kāi)_______．【解析】v(km/h）的最大值為120km/h，即v≤120，車(chē)間距d(m）不得小于10m，即d≥10，可得不等式組eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（0≤v≤120，,d≥10。））2．已知a，b均為實(shí)數(shù)，則（a＋3）2________(a＋2)(a＋4)．（填“＞”“＜”或“＝”）【解析】∵(a＋3）2－(a＋2）(a＋4）＝（a2＋6a＋9）－(a2＋6a＋8)＝1＞0，∴（a＋3）2>（a＋2）（a＋4)．3．若1≤a≤4,－2≤b≤－1，則a－b的取值范圍為_(kāi)________________．【解析】∵－2≤b≤－1，∴1≤－b≤2,又1≤a≤4，∴2≤a－b≤6.題組二常錯(cuò)題4．有以下四個(gè)命題：(1)a＞b?ac2＞bc2；(2)若a＞b＞0，c＞d＞0,則eq\f（a,d)＞eq\f（b,c)；（3）若ab＞0，則a＞b是eq\f（1,a)＜eq\f(1,b）的充要條件；(4）若eq\f(a，b)＞1，則a＞b。其中真命題的序號(hào)是________。5．若a＞b，b≥c，則a與c的大小關(guān)系是________?！窘馕觥坑蒩＞b，b≥c,得a＞c.6．已知存在實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足ab2＞a＞ab，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________.【解析】∵ab2＞a＞ab，∴a≠0，當(dāng)a＞0時(shí)，b2＞1＞b,即eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(b2＞1,,b＜1，))解得b＜－1；當(dāng)a＜0時(shí)，b2＜1＜b,即eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（b2＜1，,b＞1，))無(wú)解．綜上可得b＜－1.題組三常考題7．已知a＝2eq\f（4,3），b＝3eq\f（2,3)，c＝25eq\f（1，3)，則a,b，c的大小關(guān)系為_(kāi)___________．【解析】b＝3eq\f（2,3)<4eq\f（2，3）＝2eq\f(4,3）＝a，c＝5eq\f(2，3）〉4eq\f(2,3)＝2eq\f(4,3）＝a,故b〈a<c.8．有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同．已知三個(gè)房間的粉刷面積(單位：m2）分別為x，y，z，且x〈y〈z，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用(單位：元/m2)分別為a，b，c，且a<b<c.有下列不同的方案：①ax＋by＋cz；②az＋by＋cx；③ay＋bz＋cx；④ay＋bx＋cz。其中總費(fèi)用(單位：元）最低的是________(填序號(hào)）．【解析】(ax＋by＋cz)－(az＋by＋cx）＝a(x－z)＋c(z－x)＝（a－c)(x－z)〉0。故①中的不是最低費(fèi)用；(ay＋bz＋cx)－（az＋by＋cx)＝a（y－z）＋b（z－y）＝（a－b)(y－z）〉0，故③中的不是最低費(fèi)用；(ay＋bx＋cz）－（az＋by＋cx）＝a（y－z）＋b(x－y)＋c（z－x)＝a(y－z)＋b（x－y)＋c(z－y＋y－x）＝(a－c）（y－z）＋(b－c)（x－y)>0，④中的不是最低費(fèi)用．綜上所述，②中的為最低費(fèi)用．9．已知x，y∈R，且x〉y>0，有下列結(jié)論：①eq\f(1，x)－eq\f（1，y）>0；②sinx－siny>0；③eq\f（1，2)x－eq\f（1，2）y〈0；④lnx＋lny〉0。其中一定成立的是________(填序號(hào)）．【知識(shí)清單】考點(diǎn)1應(yīng)用不等式表示不等關(guān)系在日常生產(chǎn)生活中，不等關(guān)系更為普遍，利潤(rùn)的優(yōu)化、方案的設(shè)計(jì)等方面都蘊(yùn)含著不等關(guān)系，再比如幾何中的兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短，三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊等等,用數(shù)學(xué)中的不等式表示這些不等關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活的不等關(guān)系.考點(diǎn)2比較兩數(shù)(式）的大小比較大小的常用方法(1)作差法：一般步驟是:①作差;②變形；③定號(hào)；④結(jié)論．其中關(guān)鍵是變形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式．當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步驟是：①作商；②變形；③判斷商與1的大??；④結(jié)論．（3)特值法：若是選擇題、填空題可以用特值法比較大??；若是解答題，可先用特值探究思路,再用作差或作商法判斷．注意:用作商法時(shí)要注意商式中分母的正負(fù),否則極易得出相反的結(jié)論．考點(diǎn)3不等式的性質(zhì)不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容注意對(duì)稱(chēng)性a〉b?b〈a?傳遞性a〉b，b〉c?a〉c?可加性a〉b?a＋c>b＋c?可乘性eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(a>b,c〉0))?ac〉bcc的符號(hào)eq\b\lc\\rc\｝(\a\vs4\al\co1（a〉b，c<0）)?ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（a〉b，c〉d)）?a＋c>b＋d?同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(a〉b〉0,c〉d>0))?ac>bd?可乘方性a>b〉0?an〉bn（n∈N，n≥2）同正可開(kāi)方性(n∈N,n≥2）a〉b〉0?eq\r(n,a）〉eq\r（n，b)考點(diǎn)4不等式性質(zhì)的應(yīng)用熟練掌握不等式的五條性質(zhì)和兩個(gè)推論，要注意每個(gè)性質(zhì)的適用范圍，尤其要注意可乘性和可開(kāi)方性的外延，比如；不需要限制兩邊都是正數(shù)。eq\b\lc\\rc\}（\a\vs4\al\co1(a>b〉0，c>d〉0））?ac〉bda>b>0?an〉bn（n∈N，n≥2)a〉b>0?eq\r(n,a)〉eq\r（n，b）【考點(diǎn)深度剖析】江蘇新高考對(duì)不等式知識(shí)的考查要求較高，整個(gè)高中共有8個(gè)C能級(jí)知識(shí)點(diǎn)，本章就占了兩個(gè)，高考中以填空題和解答題的形式進(jìn)行考查，涉及到數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，著重考查學(xué)生基本概念及基本運(yùn)算能力。經(jīng)常與其它章節(jié)知識(shí)結(jié)合考查,如與函數(shù)、方程、數(shù)列、平面解析幾何知識(shí)結(jié)合考查?！局攸c(diǎn)難點(diǎn)突破】考點(diǎn)1應(yīng)用不等式表示不等關(guān)系某廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品每件需用A原料2kg、B原料4kg，生產(chǎn)乙產(chǎn)品每件需用A原料3kg、B原料2kg；A原料每日供應(yīng)量限額為60kg，B原料每日供應(yīng)量限額為80kg.要求每天生產(chǎn)的乙種產(chǎn)品不能比甲種產(chǎn)品多10件以上,若設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件，用不等式（組）表示上述關(guān)系式為_(kāi)_______．【答案】【1—2】同學(xué)們都知道，在一次考試后，如果按順序去掉一些高分，那么班級(jí)的平均分將降低；反之，如果按順序去掉一些低分，那么班級(jí)的平均分將提高．這兩個(gè)事實(shí)可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述為：若有限數(shù)列a1，a2，…，an滿(mǎn)足a1≤a2≤…≤an，則______________（結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示）．【解析】設(shè),如果去掉，則；如果去掉，則[.【1—3】下表為廣州亞運(yùn)會(huì)官方票務(wù)網(wǎng)站公布的幾種球類(lèi)比賽的門(mén)票價(jià)格，某球迷賽前準(zhǔn)備了1200元,預(yù)訂15張下表中球類(lèi)比賽的門(mén)票.比賽項(xiàng)目票價(jià)（元/場(chǎng))足球籃球乒乓球1008060若在準(zhǔn)備資金允許的范圍內(nèi)和總票數(shù)不變的前提下，該球迷想預(yù)訂上表中三種球類(lèi)比賽門(mén)票,其中籃球比賽門(mén)票數(shù)與乒乓球比賽門(mén)票數(shù)相同，且籃球比賽門(mén)票的費(fèi)用不超過(guò)足球比賽門(mén)票的費(fèi)用,求可以預(yù)訂的足球比賽門(mén)票數(shù)．【解析】設(shè)預(yù)訂籃球比賽門(mén)票數(shù)與乒乓球比賽門(mén)票數(shù)都是n(n∈N*)張，則足球比賽門(mén)票預(yù)訂(15－2n）張，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（80n＋60n＋100（15－2n)≤1200，,80n≤100(15－2n)，，n∈N＊，))解得5≤n≤5eq\f(5,14)，由n∈N＊,可得n＝5,∴15－2n＝5.∴可以預(yù)訂足球比賽門(mén)票5張．【思想方法】區(qū)分不等關(guān)系與不等式的異同，不等關(guān)系強(qiáng)調(diào)的是關(guān)系,可用符號(hào)表示，而不等式則是表現(xiàn)兩者的不等關(guān)系，可用等式子表示，不等關(guān)系是通過(guò)不等式表現(xiàn)．【溫馨提醒】求解數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型,只要把模型中的量具體化,就可以得到相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、技巧等解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意變量的取值范圍.考點(diǎn)2比較兩數(shù)（式）的大小【2—1】,,則與的大小關(guān)系為．【答案】【解析】作差法比較大小，，，,所以p—q，.【2-2】若a、b、c、d均為正實(shí)數(shù)，且，那么四個(gè)數(shù)、、、由小到大的順序是_________?！敬鸢浮?、、、.【2-3】若，則a，b，c的大小關(guān)系是．【答案】b〉a〉c【解析】根據(jù)式子特點(diǎn)構(gòu)造函數(shù),則分別看作函數(shù)圖象上的點(diǎn)（2，f(2）），（3，f（3）），(5，f（5）)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，結(jié)合圖象可知當(dāng)5＞3＞2時(shí),，∴b>a〉c【2—4】已知都是正數(shù),求證：,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)?！窘馕觥繉⑺C的不等式的兩邊相除，得，根據(jù)所要證的不等式的特點(diǎn)（交換的位置，不等式不變），不妨設(shè),于是,從而，當(dāng)僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)?！舅枷敕椒ā?、利用比較法比較兩數(shù)(式）的大小時(shí)，關(guān)鍵在于作差或商后的變形，需要分解因式或者通分等運(yùn)算，一定化簡(jiǎn)徹底；2、構(gòu)造函數(shù)法比較大小時(shí)，通常考慮所構(gòu)造的函數(shù)圖象特征或者函數(shù)的性質(zhì)，尤其要注意利用單調(diào)性比較大?。緶剀疤嵝选扛鶕?jù)需要比較大小的兩式的結(jié)構(gòu)特征，選擇相應(yīng)的比較方法，可選用作差比較法、作商比較法，也可以構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象或者研究函數(shù)的性質(zhì)，從而得出兩式大小.考點(diǎn)3不等式的性質(zhì)【3-1】如果，則下列各式正確的是________．A.B。C.D.【答案】D【3—2】已知滿(mǎn)足且,則下列選項(xiàng)中一定成立的是________．A。B。C。D?！敬鸢浮緼【解析】由題可知,,故A成立；，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，C不成立，故C不一定成立；,故D錯(cuò)誤.【3-3】根據(jù)條件：滿(mǎn)足，且，有如下推理：（1)（2)(3)(4)其中正確的是________．【答案】(3）(4）【解析】由，因?yàn)?，所以，?duì)于的值可正可負(fù)也可為【3—4】設(shè)，則“”是“”成立的________條件．【答案】既不充分也不必要【解析】若p成立,q不一定成立,例如取，反之，若q成立,p也不一定成立，如，所以p是q的既不充分也不必要條件，故選D.【3—5】如果且,那么以下不等式正確的個(gè)數(shù)是________．①②③④【答案】3【解析】特殊值法．根據(jù)且,設(shè)，依次判斷可知．①②④正確．【思想方法】1．判斷一個(gè)關(guān)于不等式的命題的真假時(shí)，先把要判斷的命題與不等式性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)考慮，找到與命題相近的性質(zhì),并應(yīng)用性質(zhì)判斷命題的真假，當(dāng)然判斷的同時(shí)可能還要用到其他知識(shí)，比如對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)．2．特殊值法是判斷命題真假時(shí)常用到的一個(gè)方法，在命題真假未定時(shí),先用特殊值試試，可以得到一些對(duì)命題的感性認(rèn)識(shí)，如正好找到一組特殊值使命題不成立，則該命題為假命題．【溫馨提醒】使用不等式性質(zhì)，要注意其適用范圍．考點(diǎn)4不等式性質(zhì)的應(yīng)用【4—1】已知f（x）＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2）≤5，則f（3）的取值范圍是________．【答案】[－1,20］【解析】∵f（1）＝a－c，f(2）＝4a－c，∴a＝［f（2)－f（1）]．c＝－f(1)＋f(2）,∴f(3)＝9a－c＝f(2)－f（1)．∵－1≤f(2)≤5，－≤f（2）≤。又－4≤f（1)≤－1,≤－f(1）≤?！啵?≤f(3）≤20.【4-2】若α、β滿(mǎn)足－〈α<β〈，則α－β的取值范圍是________．【答案】－π<α－β〈0【解析】∵－<α〈β〈，故－〈－β〈，則－π〈α－β<π且α－β〈0，∴－π〈α－β〈0。【4—3】已知－3<b〈a〈－1,－2〈c〈－1，則（a－b)c2的取值范圍是________．【答案】（0，8）【解析】依題意0〈a－b<2，1<c2〈4，所以0〈（a－b）c2〈8?！净A(chǔ)知識(shí)】熟練掌握不等式的五條性質(zhì)和兩個(gè)推論,要注意每個(gè)性質(zhì)的適用范圍，尤其要注意可乘性和可開(kāi)方性的外延,比如；不需要限制兩邊都是正數(shù)。eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b〉0,c〉d〉0））?ac〉bda〉b>0?an>bn（n∈N,n≥2）a〉b〉0?eq\r(n,a)〉eq\r（n，b）【思想方法】利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn):一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不