2023年1０月高等教育自學(xué)考試全國統(tǒng)一命題考試０4184線性代數(shù)(經(jīng)管類）試卷本試卷共8頁,滿分１00分，考試時間150分鐘。說明:本試卷中,表達(dá)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣，表達(dá)矩陣的隨著矩陣,是單位矩陣,表達(dá)方陣的行列式，表達(dá)矩陣的秩。單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題,每小題2分，共1０分）在每小題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目規(guī)定的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。設(shè)3階行列式＝2，若元素的代數(shù)余子公式為(ｉ,j＝1,２,3),則【】B．０C．1D.2設(shè)為3階矩陣,將的第３行乘以得到單位矩陣，則=【】B.C.D.２設(shè)向量組的秩為2，則中【】必有一個零向量B.任意兩個向量都線性無關(guān)C.存在一個向量可由其余向量線性表出D.每個向量均可由其余向量線性表出設(shè)3階矩陣，則下列向量中是的屬于特性值的特性向量為【】B.C．Ｄ.二次型的正慣性指數(shù)為【】A.０Ｂ.１C.2D.3填空題（本大題共10小題，每小題2分,共2０分)請?jiān)诿啃☆}的空格中填上對的答案。錯誤、不填均無分、設(shè),則方程的根是設(shè)矩陣,則=設(shè)為3階矩陣，,則行列式=設(shè)矩陣，,若矩陣滿足,則=設(shè)向量,,,則由線性表出的表達(dá)式為設(shè)向量組線性相關(guān),則數(shù)3元齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中所含解向量的個數(shù)為設(shè)3階矩陣滿足,則必有一個特性值為設(shè)２階實(shí)對稱矩陣的特性值分別為和１，則設(shè)二次型正定,則實(shí)數(shù)的取值范圍是計(jì)算題（本大題共7小題,每小題9分，共63分)計(jì)算４階行列式的值。已知矩陣，求。設(shè)矩陣,且矩陣滿足,求。設(shè)向量,試擬定當(dāng)取何值時能由線性表出,并寫出表達(dá)式。求線性方程組的通解(規(guī)定用其一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表達(dá)）。設(shè)矩陣與對角矩陣相似，求數(shù)與可逆矩陣，使得。用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形,寫出標(biāo)準(zhǔn)形和所作的正交變換。四、證明題（本題７分）２3.設(shè)向量組線性相關(guān),且其中任意兩個向量都線性無關(guān)。證明:存在全不為零的常數(shù)使得。2０23年1０月高等教育自學(xué)考試全國統(tǒng)一命題考試線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題答案及評分參考(課程代碼０４18４)單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題,每小題2分,共10分)Ｄ2.A3．C4.B５．Ｃ填空題(本大題共1０小題,每小題2分，共20分)５＜＜計(jì)算題(本大題共7小題，每小題9分,共６3分)解=....．.3分.....．９分解．.....2分.．..．....．７分從而.．．...9分解由,得．...．.2分又由可逆．．...．5分由,可得兩邊左乘,得到．．.．.．9分19解設(shè),......2分該線性方程組的增廣矩陣為．....．6分由于能有線性表出，則必有此時，方程組有唯一解表達(dá)式為..．．..9分解方程組的增廣矩陣．．.．..2分可知<＜4,方程組有無窮多解......4分由同解方程組求出方程組的一個特解,導(dǎo)出組的一個基礎(chǔ)解系為.．....7分從而方程組的通解為為任意常數(shù)）......9分解由條件可知矩陣的特性值為．.．.．.２分由，得..．...４分對于，由線性方程組求得一個特性向量為對于,由線性方程組求得兩個線性無關(guān)的特性向量為令,則......9分解二次型的矩陣..．...2分由故的特性值為...．..４分對于,求解齊次線性方程組,得到基礎(chǔ)解系將其單位化，得．．..．．７分令,則為正交矩陣，經(jīng)正交變換,化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形．.．．．.9分證明題(本題7分)證由于向量組線性相關(guān),故存在不全為零的常數(shù)，使得...．..2分其中必有。否則,假如,則上式化為其中不全為零,由此推出線性相關(guān)，與向量組中任意兩個向量都線性無關(guān)的條件矛盾......５分類似地，可證明...．...．７分2023年4月高等教育自學(xué)考試全國統(tǒng)一命題考試線性代數(shù)(經(jīng)管類）試卷課程代碼:0４18４單項(xiàng)選擇題（本大題共5小題，每小題２分，共１0分)設(shè)行列式D１＝,Ｄ２=,則D2=【】A．-D1B.D1C.２D１D．3D1若A=，Ｂ=,且2A=Ｂ,則【】Ａ.x=１,y=2B.x=２,y=１C.x=1,y=１D.x=2，y＝23、已知A是3階可逆矩陣,則下列矩陣中與Ａ等價的是【】A.B．C．D．?設(shè)2階實(shí)對稱矩陣A的所有特性值味1,-１,-１，則齊次線性方程組（E+A)ｘ=０的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為【】A.0Ｂ.1Ｃ.2D．3矩陣有一個特性值為【】A.-3B．-2C.１D．2填空題(本大題共１0小題,每小題2分,共２0分)請?jiān)诿啃☆}的空格中填上對的答案。錯填、不填均無分。設(shè)A為3階矩陣,且=3,則=.設(shè)A=,則A*=.已知A=，Ｂ=,若矩陣X滿足ＡX=B,則X=.若向量組(1，２,1)T,(k-1,4,２)T線性相關(guān)，則數(shù)k=.若齊次線性方程組有非零解,則數(shù)=.設(shè)向量(1,－2，2)T，（2,０,-1）T,則內(nèi)積()=.向量空間V={ｘ=(x1,x2,０）T｜x1,x2｝的維數(shù)為.與向量（1，0，１）T和（1，1，0)Ｔ均正交的一個單位向量為．矩陣的兩個特性值之積為．若實(shí)二次型ｆ（x1，x2,x3）=正定,則數(shù)的取值范圍是．計(jì)算題(本大題共7小題，每小題9分,共63分）計(jì)算行列式D=的值.設(shè)２階矩陣A的行列式,求行列式的值.設(shè)矩陣A=，Ｂ＝,矩陣X滿足X＝ＡX＋B,求Ｘ．求向量組的秩和一個極大線性無關(guān)組,并將向量組中的其余向量由該極大線性無關(guān)組線性表出.運(yùn)用克拉默法則解線性方程組，其中兩兩互不相同.已知矩陣與相似,求數(shù)的值.用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型,并寫出所作的正交變換.證明題（本題７分）設(shè)A,B均為n階矩陣，且A=B+E,B２=Ｂ,證明A可逆． 答案：單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題,每小題２分類,共1０分）1.Ｃ2．A３.D4.C5.Ｂ二、填空題（本大題共１0小題,每小題２分,共20分)6.97.9.３１０.－２1１.012．２13．14.－11５.>1計(jì)算題(本大題共7小題，每小題9分，共6３分)16.解D==解由于，所以可逆，于是故＝1８.解由，化為，而可逆，且故解由于所以向量組的秩為2，是一個極大線性無關(guān)組,并且有注：極大線性無關(guān)組不唯一。解方程組的系數(shù)行列式D=由于a,b,c兩兩互不相同，所以，故方程有唯一解。又,，由克拉默法則得到方程組的解解由于矩陣A與B相似,故且,即所以a=1,b=4.解二次型的矩陣由于,所以A的特性值對于特性值,由方程組得到A屬于特性值的一個單位特性向量對于特性值由方程組得到A屬于特性值的一個單位特性向量．得正交矩陣,作正交變換,二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形?證明題(本題７分）證由于,所以,又,故,化簡得于是,故A可逆。202３年１0月高等教育自學(xué)考試全國統(tǒng)一命題考試線性代數(shù)(經(jīng)管類)試卷(課程代碼04184)本試卷共3頁，滿分l00分，考試時間l5０分鐘。考生答題注意事項(xiàng):1．本卷所有試題必須在答題卡上作答。答在試卷上無效，試卷空白處和背面均可作草稿紙。2．第一部分為選擇題。必須相應(yīng)試卷上的題號使用２B鉛筆將“答題卡”的相應(yīng)代碼涂黑。3．第二部分為非選擇題。必須注明大、小題號,使用0.５毫米黑色筆跡簽字筆作答。4.合理安排答題空間。超過答題區(qū)域無效。說明：在本卷中。AＴ表達(dá)矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣。A＊表達(dá)矩陣A的隨著矩陣,E是單位矩陣，︱Ａ︱表達(dá)方陣A的行列式，ｒ（A)表達(dá)矩陣Ａ的秩。第一部分選擇題一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題2分，共10分)在每小題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目規(guī)定的,請將其選出并將“答題卡”的相應(yīng)代碼涂黑。未涂、錯涂或多涂均無分。１.已知2階行列式Ａ．－２B.-ｌＣ．１D.23．設(shè)向量組可由向量組線性表出,則下列結(jié)論中對的的是Ａ．若s≤ｔ，則必線性相關(guān)B．若s≤t,則必線性相關(guān)C．若線性無關(guān)，則ｓ≤ｔD．若線性無關(guān)，則ｓ≤t4．設(shè)有非齊次線性方程組Ax=b,其中Ａ為m×ｎ矩陣,且ｒ（Ａ)＝r1,r(A，b）=r２,則下列結(jié)論中對的的是A.若r1＝m，則Ａｘ=Ｏ有非零解B．若ｒ1=n，則Ax=0僅有零解Ｃ．若r2=m，則Ａx=b有無窮多解D．若r2=n,則Aｘ=b有惟一解5.設(shè)n階矩陣A滿足︱２E－3A︱=0，則A必有一個特性值=第二部分非選擇題二、填空題(本大題共l0小題。每小題２分,共2０分)請?jiān)诖痤}卡上作答。6．設(shè)行列式中元素aｉj的代數(shù)余子式為Aij(i,j=1，２)，則a11A21+a１２+Ａ22=＿＿＿_(dá)_＿_(dá)___.7．已知矩陣，則A2+2A+E=______＿_(dá)＿_(dá)_．8.設(shè)矩陣,若矩陣Ａ滿足ＡP=B，則Ａ=________．９．設(shè)向量，，則由向量組線性表出的表達(dá)式為=＿_(dá)＿_(dá)_____＿_(dá)_．10．設(shè)向量組a1=(1，2,１）T,ａ２=(-1,１,０)Ｔ，a3=（0,2,k）Ｔ線性無關(guān),則數(shù)k的取值應(yīng)滿足＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)____