八年級數(shù)學下-專題：17.15勾股定理中考真題專練（培優(yōu)篇）（專項練習）

一、單選題

1.（2020?江蘇南通?中考真題）如圖,在比中,AB=2,NABC=60°,N/S=45°,〃是

8c的中點，直線/經(jīng)過點〃,在，/，垂足分別為￡￡則4加跖的最大值為（）

A.寂B.2&C.2百D.3應

2.（2020?內(nèi)蒙古鄂爾多斯?中考真題）如凰在四邊形ABCD中，ADI/BC,ZD=90。,

-AC

/。=8,8c=6,分別以點A,C為圓心，大于2長為半徑作弧，兩弧交于點E,作射線BE

交AD于點F,交AC于點0.若點0是AC的中點，則CD的長為（）

A.4啦B.6C.2廂））.8

3.（2011?山東棗莊?中考真題）如圖，點A的坐標是（2,2）,若點尸在x軸上，且△/P°是等

腰三角形，則點P的坐標不可能是（）

C.（一2及，0）D.⑶0）

4.（2013?黑龍江綏化?中考真題）己知：如圖在aABC,AADE中，ZBAC=ZDAE=90°,

AB=AC,AD=AE,點C,D,E三點在同一條直線上,連接BD,BE,以下四個結(jié)論：

①BD=CE;②BD_LCE;③ZACE+ZDBC=450;?BE2=2（AD2+AB2）,

其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）

1

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E

C.3D.4

5.（2011?湖北黃岡?中考真題）如圖，西安路與南京路平行，并且與八一街垂直，曙光路與

環(huán)城路垂直.如果小明站在南京路與八一街的交叉口，準備去書店,按圖中的街道行走,最近

的路程約為（）

A.600mB.500m

C.400mD.300m

6.（2018-山東淄博?中考真題）如圖,尸為等邊三角形/比■內(nèi)的一點，且產(chǎn)到三個頂點

4,與C的距離分別為3,4,5,則△/回的面積為（）

7.（2018?浙江溫州?中考真題）我國古代偉大的數(shù)學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形

為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式.后人借助這種分

割方法所得的圖形證明了勾股定理,如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成,若a=3,b=4,則

該矩形的面積為（）

2

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9953

A.20B.24C.4D.2

二、填空題

8.（2020?湖北武漢?中考真題）如圖,折疊矩形紙片/8CO,使點。落在48邊的點河處,

項7為折痕，4B=1,AD=2.設(shè)//的長為，，用含有，的式子表示四邊形CDE尸的面積是

9.（2020?天津?中考真題）如圖,在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，口48C的頂點

4c均落在格點上，點6在網(wǎng)格線上，且3.

（I）線段工。的長等于；

（H）以8c為直徑的半圓與邊“C相交于點〃若P,2分別為邊/C8C上的動點，當

8P+尸°取得最小值時，請用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點P，0,并簡要說明

點尸，°的位置是如何找到的（不要求證明）.

10.（2020?貴州貴陽?中考真題）如圖，"3C中，點E在邊上C上,EB=EA,ZA=2NCBE,

CD垂直于BE的延長線于點。，8。=8,NC=11,則邊8c的長為.

11.（2014?湖北武漢?中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，

AD=4,CD=3,NABC=NACB=/ADC=45°,則BD的長為.

3

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D

A

CT---------------------

12.（2018?四川資陽?中考真題）如圖,在平面直角坐標系中，等腰直角三角形OAAi的直角

邊0A在x軸上，點A1在第一象限,且0A=l,以點A,為直角頂點,0A］為一直角邊作等腰直角

三角形OA1A2,再以點A?為直角頂點,0A2為直角邊作等腰直角三角形0A2A3…依此規(guī)律,則點

13.（2018?黑龍江伊春?中考真題）如圖，已知等邊AABC的邊長是2,以BC邊上的高AB1

為邊作等邊三角形,得到第一個等邊△AB?;再以等邊△AB?的B?邊上的高AB2為邊作等

邊三角形,得到第二個等邊4AB2c2；再以等邊aAB2c2的B2c2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得

到第三個等邊AAB3c3；…,記△B1CB2的面積為Si,4B2GB3的面積為S2,Z\B3c2B4的面積為S3,如

y=---x+4

14.（2018?浙江溫州?中考真題）如圖，直線3與x軸、y軸分別交于A,B兩點,C

是0B的中點,D是AB上一點，四邊形OEDC是菱形,則aOAE的面積為_______.

4

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15.（2016?福建南平?中考真題）如圖，等腰UABC中,CA=CB=4,NACB=120°,點D在線段

AB上運動（不與A、B重合），將」CAD與UCBD分別沿直線CA、CB翻折得到UCAP與UCBQ,給

出下列結(jié)論：

①CD=CP=CQ;

②/PCQ的大小不變；

4G

③UPCQ面積的最小值為5；

④當點D在AB的中點時,UPDQ是等邊三角形,其中所有正確結(jié)論的序號是.

16.（2013?黑龍江?中考真題）已知等邊三角形ABC的邊長是2,以BC邊上的高AB1為邊作

等邊三角形,得到第一個等邊三角形AB?,再以等邊三角形AB?的B?邊上的高AB2為邊

作等邊三角形,得到第二個等邊三角形AB2c2,再以等邊三角形AB2c2的邊B2c2邊上的高AB3

為邊作等邊三角形,得到第三個等邊AB3c3；…,如此下去,這樣得到的第n個等邊三角形

ABC,的面積為一.

三、解答題

17.（2018?黑龍江?中考真題）如圖,在RtABCD中,ZCBD=90°,BC=BD,點A在CB的延長

線上,且BA=BC,點E在直線BD上移動,過點E作射線EF1EA,交CD所在直線于點F.

5

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V2

⑴當點E在線段BD上移動時，如圖⑴所示，求證:BC-DE=2DF.

(2)當點E在直線BD上移動時，如圖(2)、圖⑶所示，線段BC、DE與DF又有怎樣的數(shù)量關(guān)

系?請直接寫出你的猜想,不需證明.

18.(2016?貴州六盤水?中考真題)在AABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若NC=90°,如圖1,則有

/+〃=/；若AABC為銳角三角形時，小明猜想：理由如下:如圖2,過點A作

22

ADJ_CB于點D,設(shè)CD=x.在Rt/XADC中，=〃--，在Rt/XADB中，=c-(a-x)A

a2+b2=c2+2ax.

?；a>0,x>0,；.2ax>0,.?.當^ABC為銳角三角形時/+〃>c?.

所以小明的猜想是正確的.

(D請你猜想，當aABC為鈍角三角形時，/+〃與的大小關(guān)系.

(2)溫馨提示:在圖3中，作BC邊上的高.

(3)證明你猜想的結(jié)論是否正確.

19.(2006?江蘇常州?中考真題)己知：如圖，△ABC和4ECD都是等腰直角三角形,

zL4C8=ZDCE=90°,D為AB邊上一點，

求證：⑴△ACEg/XBCD;⑵AD2+AE2=DE2

6

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20.（2015?廣西貴港?中考真題）已知：4ABC是等腰三角形,動點P在斜邊AB所在的直線

上，以PC為直角邊作等腰三角形PCQ,其中/PCQ=90°,探究并解決下列問題：

（1）如圖①,若點P在線段AB上,且AC=1+G,PA=痣,則:

①線段PB=,PC=;

②猜想:PA2,PB2,PQ2三者之間的數(shù)量關(guān)系為；

（2）如圖②,若點P在AB的延長線上，在（1）中所猜想的結(jié)論仍然成立,請你利用圖②給出證

明過程；

PA_1PC

（3）若動點P滿足詬一3,求工的值.（提示:請利用備用圖進行探求）

21.（2009?安徽蕪湖?中考真題）如圖，在梯形”8中，3BC,

BD=CD,NBDC=9Q°AD=2>BC=8.求48的長

參考答案

1.A

【解析】

【分析】

把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段,然后再根據(jù)垂線段最短來進行計算即

可.

【詳解】

解:如圖,過點C作CK±1于點K,過點A作AHXBC于點H,

7

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A

/jA/

在RtAAHB中，

VZABC=60°,AB=2,

；.BH=1,AH=6,

在RtAAHC中，ZACB=45°,

...AC=y/AH2+CH2=J（揚?+（揚2=a,

?.,點D為BC中點，

；.BD=CD,

在ABED與△0?中，

ZBFD=ZCKD=90°

<ZBDF=ZCDK

BD=CD

）

.?.△BFD^ACKD（AAS）,

.*.BF=CK,

延長AE,過點C作CN1AE于點N,

可得AE+BF=AE+CK=AE+EN=AN,

在RtAACN中,ANVAC,

當直線1LAC時，最大值為灰,

綜上所述,AE+BF的最大值為卡.

故選:A.

【分析】本題主要考查「全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形

是解答此題的關(guān)鍵.

2.A

【解析】

【分析】

連接FC,根據(jù)基本作圖，可得比垂直平分AC,由垂直平分線的性質(zhì)得出A產(chǎn)FC.再根據(jù)ASA

證明△人勿名△應匕那么AP=B”等量代換得到Q4片3,利用線段的和差關(guān)系求出FD=AD-

仍L然后在直角a/T《中利用勾股定理求出辦的長.

【詳解】

8

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解:如圖,連接用

??,點。是〃'的中點，由作法可知，如垂直平分AC,

:?A用FC.

■:AD//BC,

:./FAO-/BCO.

在△人%與△48中，

AFAO^ABCO

<OA=OC

ZAOF=ZCOB

二△尸勿絲△60CC4SO,

仍陷6,

二小於6,侑/。仍8-6=2.

在△叱中，/90°,

CaDFG、

：.。+22=62,

：.0）=4近.

故選:4

【分析】本題考查了作圖-基本作圖，勾股定理，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形

的判定與性質(zhì),難度適中.求出與如是解題的關(guān)鍵.

3.D

【解析】

【詳解】

解：（1）當點P在x軸正半軸上，

①以O(shè)A為腰時，

9

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.,.ZA0P=45°,0A=2也，

；.P的坐標是(4,0)或(2近，0)；

②以0A為底邊時，

?.?點A的坐標是⑵2),

當點P的坐標為：(2,0)時,0P=AP;

(2)當點P在x軸負半軸上，

③以0A為腰時，

：A的坐標是⑵2),

.?.OA=2及，

.?.0A=AP=2A/2

.?.P的坐標是(-2及，0).

故選D.

4.C

【解析】

【詳解】

試題分析:①,.?/BAC=NDAE=90°,ZBAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,BPZBAD=ZCAE.

?一△BAD^IIACAE中,AB=AC,ZBAD=ZCAE,AD=AE,

.,.△BAD^ACAE(SAS).ABDUCE.本結(jié)論正確.

?VABAD^ACAE,AZABD=ZACE.

VZABD+ZDBC=45°,/.ZACE+ZDBC=45°.AZDBC+ZDCB=ZDBC+ZACE+ZACB=90°.

10

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.*.BD±CE.本結(jié)論正確.

③:△ABC為等腰直角三角形，.../ABC=/ACB=45°.AZABD+ZDBC=45°.

VZABD=ZACE,AZACE+ZDBC=45°.本結(jié)論正確.

④：BD_LCE,...在RtZXBDE中，利用勾股定理得：BE2=BI)2+DE2.

VAADE為等腰直角三角形，.?」)￡=行AD,即DE2=2AD<

.?.BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2.

而BD2#2AB2,本結(jié)論錯誤.

綜上所述,正確的個數(shù)為3個.故選C.

5.B

【解析】

【分析】

由于BC〃AD,那么有NDAE=NACB,由題意可知NABC=NDEA=90°,BA=ED,利用AAS可證△

ABC^ADEA,于是AE=BC=300,再利用勾股定理可求AC,即可求CE,根據(jù)圖可知從B到E的走

法有兩種,分別計算比較即可.

【詳解】

解:如右圖所示，

：BC〃AD,

ZDAE-ZACB,

XVBC±AB,DE±AC,

/ABC=NDEA=90°,

又；AB=DE=400m,

AABC^ADEA,

EA=BC=300m,

在RtAABC中，AC=J"2+SC，2=500m,

/.CE=AC-AE=200,

從B到E有兩種走法:①BA+AE=700m;②BC+CE=500m,

二最近的路程是500m.

故選B

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理.解題的關(guān)鍵是

II

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證明△ABCgZXDEA,并能比較從B到E有兩種走法.

6.A

【解析】

【詳解】

分析:將aBPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得^BEA,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得

BE=BP=4,AE=PC=5,ZPBE=60°,則ABPE為等邊三角形,得到PE=PB=4,ZBPE=60°,在AAEP

中,AE=5,延長BP,作AF±BP于點F.AP=3,PE=4,根據(jù)勾股定理的逆定理可得到4APE為直

角三角形,且NAPE=90°,即可得到NAPB的度數(shù),在直角AAPF中利用三角函數(shù)求得AF和

PF的長，則在直角AABF中利用勾股定理求得AB的長,進而求得三角形ABC的面積.

詳解：:△ABC為等邊三角形，

BA=BC,

可將aBPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得ABEA,連EP,且延長BP,作AFJ_BP于點F.如圖，

.,.BE=BP=4,AE=PC=5,ZPBE=60°,

...△BPE為等邊三角形，

.,.PE=PB=4,ZBPE=60°,

在aAEP中，AE=5,AP=3,PE=4,

.?.AE2=PE2+PA2,

.1△APE為直角三角形，且NAPE=90°,

.\ZAPB=90°+60°=150°.

；.NAPF=30°,

...在直角AAPF中，AF=5AP=2,PF=2Ap=2.

3百—

在直角AABF中，AB2=BF2+AF2=(4+3)2+(2)2=25+12^3.

73百25百

則△ABC的面積是4?AB2=4?(25+12近)=9+4.

故選A.

點睛:本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后

的兩個圖形全等,對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離

12

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相等.

7.B

【解析】

【分析】

設(shè)小正方形的邊長為x,則矩形的一邊長為(a+x),另一邊為(b+x),根據(jù)矩形的面積的即等于

兩個三角形的面積之和，也等于長乘以寬，列出方程，化簡再代入a,b的值,得出x2+7x=12,

再根據(jù)矩形的面積公式,整體代入即可.

【詳解】

設(shè)小正方形的邊長為X,則矩形的一邊長為(a+x),另一邊為(b+x),根據(jù)題意得:2(ax+x2+bx)

=(a+x)(b+x),

化簡得:ax+x2+bx-ab=O,

又；a=3,b=4,

x2+7x=12;

該矩形的面積為=(a+x)(b+x)=(3+x)(4+x)=x2+7x+12=24.

故答案為B.

【分析】本題考查了勾股定理的證明以及運用和一元二次方程的運用，求出小正方形的邊長

是解題的關(guān)鍵.

-t1--r+1

8.44

【解析】

【分析】

首先根據(jù)題意可以設(shè)D枚阱x,在三角形力以/中用勾股定理進一步可以用力表示出局再可以

設(shè)CF^y,連接MF,所以B片2-y,在三角形，的V與三角形標8中利用共用斜邊,根據(jù)勾股定理

可求出用7表示出外進而根據(jù)四邊形的面積公式可以求出答案.

【詳解】

設(shè)D片EM=x,

?x1=(2-x)2+r2

,?，

一+4

.\x=4,

設(shè)連接FM,

13

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：.BF^2-y,

?/+l2=(2-y)2+(l-/)2

,?，

“-2r+4

尸4,

1/i1/+4『-2f+4、

一(x+y)CD-(-----1-----------------)

...四邊形CQE尸的面積為：2=244L

-Z2--Z+1

故答案為：44

【分析】本題主要考查了勾股定理的綜合運用，熟練掌握技巧性就可得出答案.

9.(D岳；(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)將AC放在一個直角三角形,運用勾股定理求解；

⑵取格點MA；連接,1/\；連接"并延長,與，四相交于點"；連接B'C,與半圓相交于點￡連

接應;與IC相交于點P,連接B'P并延長,與6c相交于點Q,則點P,。即為所求.

【詳解】

解：(I)如圖,在RtAAEC中,CE=3,AE=2,則由勾股定理,得AC->JCE2+AE2=VF+27=713.

(II)如圖,取格點M,N,連接MN,連接被并延長,與樹相交于點",?連接8'C,與半圓相交于

點C連接應;與4C相交于點P,連接*尸并延長,與小相交于點Q則點P,0即為所求.

14

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年級數(shù)學下《勾股定理中考真題專練（培優(yōu)）》專項練習題

【分析】本題考查作圖-應用與設(shè)計，勾股定理,軸對稱-最短問題,垂線段最短等知識,解題

的關(guān)鍵是學會利用軸對稱，根據(jù)垂線段最短解決最短問題,屬于中考常考題型.

10.4石

【解析】

【分析】

如圖，延長BD到點G,使DG=BD,連接CG,則由線段垂直平分線的性質(zhì)可得CB=CG,在EG上截

取EF=EC,連接CF,則NEFONECF,ZG=ZCBE,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定

理可得NEFC=NA=2NCBE,再根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和等腰三角形的判定可得FC=FG,設(shè)

CE=EF=x,則可根據(jù)線段間的和差關(guān)系求出DF的長,進而可求出FC的長,然后根據(jù)勾股定理

即可求出CD的長,再一次運用勾股定理即可求出答案.

【詳解】

解：如圖，延長BD到點G,使DG=BD,連接CG,則CB=CG,在EG上截取EF=EC,連接CF,則

ZEFC=ZECF,ZG=ZCBE,

VEA=EB,AZA=ZEBA,

VZAEB=ZCEF,

???ZEFC=ZA=2ZCBE=2ZG,

VZEFC=ZG+ZFCG,

ZG=ZFCG,

.'.FC=FG,

15

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B

設(shè)CE=EF=x,則AE=BE=ll-x,

.,.DE=8-(ll-x)=x-3,

DF=x—(x—3)=3,

VDG=DB=8,

AFG=5,ACF=5,

在RtACDF中，根據(jù)勾股定理,得CD=^CF--DF-=4

...BC=yjBD2+CD2=&2+4?=4右

故答案為：4石.

【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理和三角形的外角性質(zhì)、

勾股定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)等知識,具有一定的難度,正確添加輔助線、靈活應用

上述知識是解題的關(guān)鍵.

11.a.

【解析】

【詳解】

作AD'_LAD,AD'=AD,連接CD，,DD',如圖：

16

第16頁共28頁

VZBAC+ZCAD=ZDAD,+ZCAD,

即NBAD=NCAD',

在ABAD與ACAD'中，

BA=CA

,/BAD=NCAD，

AD=ADf

.,.△BAD^ACAD,(SAS),

...BD=CD'.

NDAD'=90°

由勾股定理得DD，=+(⑷2=叵=4五,

ND'DA+ZADC=90°

由勾股定理得CD，+(DD,￥=d9+32=歷

.".BD=CD,=如，

故答案為加.

12.(0,21009)

【解析】

【詳解】

【分析】本題點A坐標變化規(guī)律要分別從旋轉(zhuǎn)次數(shù)與點A所在象限或坐標軸、點A到原點

的距離與旋轉(zhuǎn)次數(shù)的對應關(guān)系.

【詳解】???N0AAi=90°,0A=AAi=l,以O(shè)Ai為直角邊作等腰RQOAiAz,再以0A2為直角邊作

等腰RtAOA2A3,

2018

...OA產(chǎn)&,0A2=(0)1…,0A2018=(近),

?.,Ai、A2、…，每8個一循環(huán)，

72018=252X8+2

Zr-^018

...點A2018的在y軸正半軸上,0A2(H8=()=2.，

故答案為(0,2"＞。9).

【點睛】本題是平面直角坐標系下的規(guī)律探窕題,除了研究動點變化的相關(guān)數(shù)據(jù)規(guī)律，還應

該注意象限符號.

13.22n+l

【解析】

【詳解】

第17頁共28頁

【分析】由AB|是邊長為2的等邊三角形ABC的高,利用三線合一得到B,為BC的中點,求出

CB|的長，繼而可得△BEB2是有一個角為30度的直角三角形，同理可知△B2C1B3、△

B3c2B4、△B4C3B5、…、都是有一個角為30度的直角三角形,而且后一個的斜邊是前一個30

度角所鄰的直角邊，由此即可求得Sn.

【詳解】:?等邊三角形ABC的邊長為2,AB|_LBC,

.'.ZC=60°,CBi=BBi=l,

XVZB1B2C=90°，,NCBM30。，

i11百百百

-也----X-X---------

.?.CB2=5,BIB2=2,.3=222-----2322XI+1,

.L皂皂⑹

22

同理,RtZXBzCiBs中，B2CI=BIB2=2,.,^,83=2x2=2,B2B3=2

16⑻一⑻5

-X——

.?應=222

同理,S3=22x3+,

???S產(chǎn)22”“，

⑹"T

故答案為2"+1.

【點睛】本題考查了規(guī)律題，涉及等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股

定理等,有一定難度,熟練掌握并靈活運用等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等解本題的關(guān)鍵.

14.26

【解析】

【分析】

根據(jù)直線于坐標軸交點的坐標特點得出,A,B兩點的坐標,得出OB,0A的長,根據(jù)C是0B的

中點,從而得出OC的長,根據(jù)菱形的性質(zhì)得出DE=0C=2;DE〃0C;設(shè)出D點的坐標,進而得出

E點的坐標,從而得出EF,0F的長,在RtAOEF中利用勾股定理建立關(guān)于x的方程,求解得出

x的值,然后根據(jù)三角形的面積公式得出答案.

【詳解】

旦

解：把x=0代入y=-3x+4得出y=4,

???B(0,4);

18

第18頁共28頁

.,.0B=4;

：C是OB的中點，

：.0C=2,

?.?四邊形OEDC是菱形，

.,.DE=OC=2;DE〃OC,

73

把y=0代入y=-3x+4得出x=46,

.?.A(4go);

：.0"4也,

出?

---x+4

設(shè)D(x,3),

73

；.E(x,-3x+2),

延長DE交0A于點F,

73

,\EF=-3x+2,0F=x,

x2+--—x+2^=22

在RtZXOEF中利用勾股定理得：I3）,

解得兇=0（舍），X2=G;

；.EF=1,

.\SAA0E=2?OA?EF=2百.

故答案為2百.

【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征:一次函數(shù)y=kx+b,（kWO,且k,b為常數(shù)）的

b_

圖象是一條直線.它與x軸的交點坐標是（-工，0）;與y軸的交點坐標是（0,b）.直線上任意

一點的坐標都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b.也考查了菱形的性質(zhì).

15.①②④.

【解析】

19

第19頁共28頁

【分析】

【詳解】

①?..將ACAD與△0?分別沿直線CA、CB翻折得到4CAP與△CBQ,

；.CP=CD=CQ,...①正確；

②?.?將ACAD與4CBD分別沿直線CA、CB翻折得到4CAP與4

CBQ,AZACP=ZACD,ZBCQ=ZBCD,

ZACP+ZBCQ=ZACD+ZBCD=ZACB=120°,

?,.ZPCQ=360°-(ZACP+BCQ+ZACB)

=360°-(120°+120°)

=120°,

AZPCQ的大小不變；...②正確；

③如凰過點Q作QE±PC交PC延長線于E,

VZPCQ=120°,

AZQCE=60<,,

QE

在RtAQCE中，tanZQCE=CE,

7.QE-CQXtanZQCE=CQXtan60°=AQ,

VCP=CD=CQ,

_L1—CD2

SAPCQ=2CPXQE=2CPX>/3CQ=2,

ACD最短時,SapcQ最小，BP:CD±AB時，CD最短,

過點C作CFLAB,此時CF就是最短的CD,

VAC=BC=4,ZACB=120°,

.,.ZABC=30°,

???CF=5BC=2,即:CD最短為2,

—CD2—x22r-

?'S/SPCQ最小=2=2="，③錯誤；

④;將ACAD與4CBD分別沿直線CA、CB翻折得到4CAP與△0?€),

/.AD=AP,ZDAC=ZPAC,

20

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VZDAC=30°,

；./APD=60°,

...△APD是等邊三角形，

.,.PD=AD,NAI)P=60°,同理：ZXBDQ是等邊三角形，

/.DQ=BD,ZBDQ=60°,

.".ZPDQ=60°,

:當點D在AB的中點,

；.AD=BD,

；.PD=DQ,

.,.△DPQ是等邊三角形，

...④正確，

故答案為①②④.

考點：兒何變換綜合題;定值問題；最值問題;綜合題；翻折變換(折疊問題).

【解析】

【詳解】

由ABi為邊長為2等邊三角形ABC的高,利用三線合一得到B］為BC的中點,求出BB］的長，

利用勾股定理求出AB)的長,進而求出第一個等邊三角形AB?的面積，同理求出笫二個等邊

三角形AB2c2的面積,依此類推,得到第n個等邊三角形ABKn的面積.

解：?.?等邊三角形ABC的邊長為2,ABi_LBC,

；.BBi=l,AB=2,

根據(jù)勾股定理得:AB產(chǎn)百，

出3

...第?個等邊三角形AB心的面積為彳x(6)2=6(1)1；

：等邊三角形ABC的邊長為色,AB2

昱

；.BiB2=2,AB產(chǎn)百,

3

根據(jù)勾股定理得:AB2=5,

7333

第二個等邊三角形AB2c2的面積為彳X(2)2=73(4)2；

3

依此類推,第n個等邊三角形ABnCn的面積為&(4)n.

21

第21頁共28頁

3

故答案為百（I"

V2V2

17.⑴證明見解析；（2）如圖2:DE-BC=2DF;圖3:BC+DE=2DF.

【解析】

【詳解】

【分析】（1）如圖1中，在BA上截取BH,使得BH=BE.構(gòu)造全等三角形即可解決問題；

V2

⑵如圖2中，在BC上截取BH=BE,同法可證:DF=EH.可得:DE-BC=2DF.如圖3中，在BA

旦

上截取BH,使得BH=BE.同法可證:DF=HE,可得BC+DE=2DF.

【詳解】（D如圖1中，在BA上截取BH,使得BH=BE.

C圖⑴

：BC=AB=BD,BE=BH,

.*.AI1=ED,

；NAEF=NABE=90°,

AZAEB+ZFED=90°,ZAEB+ZBAE=90°,

.,.ZFED=ZHAE,

VZBHE=ZCDB=45°,

；.NAHE=NEDF=135°,

.,.△AHE^AEDF,

.\HE=DF,

V2V2

Z.BC-DE=BD-DE=BE=2EH=2DF.

叵

Z.BC-DE=2DF.

⑵如圖2中，在BC上截取BH=BE,同法可證:DF=EH.

V2

可得:【）E-BC=2DF;

22

第22頁共28頁

A

如圖3中，在BA上截取BH,使得BH=BE.同法可證:DF=HE,

V2

可得BC+DE=2DF.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵

是學會添加常用輔助線,構(gòu)造全等三角形解決問題.

222

18.(l)a+b<c;(2)作圖見解析；(3)正確.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)題意可猜測：當aABC為鈍角三角形時，/+〃與d的大小關(guān)系為：a2+b2<c2；

(2)根據(jù)題意可作輔助線:過點A作AD1BC于點D;

(3)然后設(shè)CD=x,分別在RtAADC與RtAADB中，表示出AD^,即可證得結(jié)論.

【詳解】

解：(1)當AABC為鈍角三角形時，/+〃與/的大小關(guān)系為：a2+h2<c2.

⑵如圖3,過點A作AD±BC于點D;

⑶證明:如圖3,設(shè)CD=x.在RtZ\ADC中，ND?=〃-X?,在Rt△ADB中，"O'=一5+,

a2=02-2ax.

Va>0,x>0,

2ax>0,

...當△ABC為鈍角三角形時,a2+b2<c2.

23

第23頁共28頁

考點:三角形綜合題;勾股定理.

19.(1)^ACB=ZDCE

:.ZACD+ZBCD=ZACD+ZACE

g|jZBCD=ZACE

?.BC=AC,DC=EC

：.ABCD^AACE

⑵..ZACB=90°,AC=BC

:.ZB=ZBAC=45°

'：ABCD^AACE

Z2J=ZdE=45°

ZDAE=ZCAE+Z￡AC=45o+45°=90°

AD2+AE2=DE2

【解析】

【詳解】

(1)本題要判定△ACE^^BCD,已知aACB和4ECD都是等腰宜角三角形，ZACB=ZECD=90°,

則DC=EA,AC=BC,ZACB=ZECD,又因為兩角有一個公共的角NACD,所以NBCD=/ACE,根據(jù)

SAS得出aACET/XBCD.

(2)由⑴的論證結(jié)果得出/DAE=90°,AE=1)B,從而求出AD2+DB2=DE2.

V10710

20.⑴①近2;②a+8尸=P。？；⑵證明見試題解析；⑶丁或〒.

【解析】

【詳解】

試題分析：

(1)①由已知條件求出AB的長,再減去PA就可得PB的長;如圖1,連接BQ,先證△APC^A

BQC,可得:BQ=AP=>^,ZCBQ=ZA=45°,由此可得APBC｝是直角三角形，即可計算出PQ=2&,從

而根據(jù)aPCQ是等腰直角三角形可得PC=2;

24

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②由①中的證明可知:AP=BQ,APBQ是直角三角形，由此即可得到:PB2+BQ2=AP2+PB2=PQ2；

(2)如圖2,連接PB,先證aAPC絲Z\BQC,得到BQ=AP,ZCBQ=ZA=45°,由此可得△PBQ是直角

三角形,從而可得:PB2+BQ2=PB2+AP2=PQ2,即(1)中所猜想結(jié)論仍然成立；

(3)如圖3,分點P在點A、B之間和在點A、B的同側(cè)兩種情況討論即可；

試題解析：

(1)如圖①：

①?.?△ABC是等腰直直角三角形,AC=l+b,ZACB=90°,

...“IJ"'+BC?=>]2AC2=J2(1+也￥=/桓+府=亞+卡

：PA=應，

，P