高中同步學(xué)案優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGTONGBUXUEANYOUHUASHEJI9.2.3總體集中趨勢的估計(jì)9.2.4總體離散程度的估計(jì)第九章2022探究三分層隨機(jī)抽樣的方差例3甲、乙兩支田徑隊(duì)的體檢結(jié)果為:甲隊(duì)隊(duì)員體重的平均數(shù)為60kg,方差為200,乙隊(duì)隊(duì)員體重的平均數(shù)為70kg,方差為300,又已知甲、乙兩隊(duì)的隊(duì)員人數(shù)之比為1∶4,那么甲、乙兩隊(duì)全部隊(duì)員的平均體重和方差分別是多少?探究四頻率分布直方圖(折線圖)中的“隱藏”的數(shù)據(jù)信息例4如圖為學(xué)生身高頻率分布直方圖.(1)如何在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中估計(jì)出眾數(shù)的值?(2)如何在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中估計(jì)出中位數(shù)的值?(3)如何在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中估計(jì)出平均數(shù)的值?(4)從樣本數(shù)據(jù)可知,該樣本的眾數(shù)是166,172,中位數(shù)是171,平均數(shù)是170.1,這與我們從樣本頻率分布直方圖得出的結(jié)論有偏差,你能解釋一下原因嗎?解

(1)眾數(shù)大致的值就是樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中最高小長方形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).由直方圖可估計(jì)學(xué)生身高眾數(shù)應(yīng)為174.5.(2)在樣本中,有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù),也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù),因此,在頻率分布直方圖中,中位數(shù)使得在它左邊和右邊的直方圖的面積相等,由此可以估計(jì)中位數(shù)的值,如圖,由于0.08+0.22=0.3,0.08+0.22+0.22=0.52,所以中位數(shù)落在區(qū)間[167,172)內(nèi).設(shè)中位數(shù)是x,由0.08+0.22+(x-167)×=0.5,解得x≈171.55.所以學(xué)生身高的中位數(shù)約為171.55.(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,是頻率分布直方圖的平衡點(diǎn),因此,每個(gè)小長方形的面積與小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積之和為平均數(shù).由159.5×0.08+164.5×0.22+169.5×0.22+174.5×0.36+179.5×0.12=170.6,得學(xué)生身高的平均數(shù)為170.6.(4)因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)頻率分布直方圖只是直觀地表明分布的形狀,從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,也就是說頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)的信息,得到的是一個(gè)估計(jì)值,且所得估計(jì)值與數(shù)據(jù)分組有關(guān),所以估計(jì)的值有一定的偏差.反思感悟

1.利用直方圖或折線圖求得的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值,往往與實(shí)際數(shù)據(jù)得出的不一致.但它們能粗略估計(jì)其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).2.利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征:(1)眾數(shù)是最高小長方形的底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo);(2)中位數(shù)使得在它左、右兩側(cè)直方圖的面積相等;(3)平均數(shù)等于每個(gè)小長方形的面積乘小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.11.樣本(x1,x2,…,xn)的平均數(shù)為,樣本(y1,y2,…,ym)的平均數(shù)為)（）,若樣本(x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym)的平均數(shù)為=a+(1-a),其中0<a<1/2,則n,m的大小關(guān)系為()A.n<m B.n>mC.n=m D.不能確定A12.(2021河南鄭州期末)已知角α,β,γ滿足0<α<β<γ<π,若sinα,sinβ,sinγ這三個(gè)數(shù)中的某個(gè)數(shù)是其他兩個(gè)數(shù)的平均數(shù),則這個(gè)數(shù)()A.不可能等于sinαB.不可能等于sinβC.不可能等于sinγD.可能等于sinα,sinβ或sinγD解析設(shè)0<t<1/3,當(dāng)0<α<β<γ<π時(shí),因?yàn)閟inα,sinβ,sinγ這三個(gè)數(shù)中的某個(gè)數(shù)是其他兩個(gè)數(shù)的平均數(shù),如圖①,2s