15/152021北京北大附中高二（上）期中數(shù)學注意事項1.考試時間：90分鐘；滿分：100分.2.所有試題答案都寫在答題紙的規(guī)定位置，超出范圍無效.3.使用黑色字跡的簽字筆或鋼筆答題，不得使用鉛筆答題，不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶修改.4.只交答題紙，試卷自己留存.一、選擇題（共6小題，每小題3分，共18分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1．（3分）若向量，1，，，則的坐標可以為A．，， B．，1， C．，， D．，1，2．（3分）設等差數(shù)列前項和是，若，，則的通項公式可以是A． B． C． D．3．（3分）已知，，為空間向量，下列關于它們的說法正確的A．若，且，則 B．若，則，，共面 C． D．向量在向量方向上的投影的數(shù)量一定是正的4．（3分）已知，，則下列說法錯誤的是A．若分別是直線，的方向向量，則直線，所成的角的余弦值是 B．若分別是直線的方向向量與平面的法向量，則直線與平面所成的角的余弦值是 C．若分別是平面，的法向量，則平面，所成的角的余弦值是 D．若分別是直線的方向向量與平面的法向量，則直線與平面所成的角的正弦值是5．（3分）斐波那契數(shù)列又稱兔子數(shù)列．1202年，27歲的意大利數(shù)學家斐波那契在《算盤書》中從兔子問題得到了斐波那契數(shù)列，1，2，3，5，8，13，．斐波那契數(shù)列滿足，．斐波那契數(shù)列也被稱為黃金數(shù)列，因為隨著項數(shù)的增加，每一項與前一項的比值會越來越逼近黃金分割的數(shù)值．以斐波那契數(shù)列的項為半徑依次畫四分之一扇形，可以畫出斐波那契螺旋線，也成為黃金螺旋線．更有趣的是這樣一個完全由自然數(shù)構成的數(shù)列，其通項公式是用無理數(shù)來表示的，其通項公式為．關于斐波那契數(shù)列，下列說法正確的個數(shù)為①；②斐波那契數(shù)列是遞增數(shù)列；③；④．A．1 B．2 C．3 D．46．（3分）如圖，正方體中，，分別是線段，上的動點（不含端點），則下列各項中會隨著，的運動而變化的是A．異面直線與直線所成的角的大小 B．平面與平面所成的角的大小 C．直線到平面距離的大小 D．異面直線，之間的距離的大小二、填空題（共8小題，每小題3分，共24分）7．（3分）在空間直角坐標系中，已知，2，，，1，，則，，兩點間的距離為．8．（3分）在等比數(shù)列中，，，則的公比為，的前6項和為．9．（3分）若向量，，，，8，，且，則．10．（3分）等差數(shù)列前項和為，且，，則．11．（3分）已知數(shù)列前項和，則．12．（3分）已知二面角為銳角，平面的法向量為，0，，平面的法向量為，1，，則，，二面角的大小為．13．（3分）等差數(shù)列前項的和是，且，．下列關于的結論正確的有．①；②的公差為；③是遞減數(shù)列；④的最大值為10．14．（3分）無窮數(shù)列前項和為，若對任意的，，，則①；②數(shù)列中不同的項最多有個．請你寫出一個符合題意的數(shù)列．三、解答題（共4題，共58分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）15．（16分）已知等差數(shù)列的前項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式及；（2）設，求數(shù)列的前項和．16．（15分）已知數(shù)列中，，，設．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式及前項和．

17．（16分）如圖，是邊長為2的正方形，平面，且．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值；（3）求點到平面的距離．18．（11分）已知數(shù)列，，，的各項均為正整數(shù)，設集合，，記的元素個數(shù)為．（1）①若數(shù)列，2，4，5，求集合，并寫出的值；②若數(shù)列，3，，，且，，求數(shù)列和集合；（2）若是遞增數(shù)列，求證：“”的充要條件是“為等差數(shù)列”；（3）請你判斷是否存在最大值，并說明理由．

2021北京北大附中高二（上）期中數(shù)學參考答案一、選擇題（共6小題，每小題3分，共18分，在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1．【分析】根據(jù)題意，依次分析選項中向量是否滿足，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：對于，，，，，兩個向量不平行，不符合題意；對于，，1，，，兩個向量不平行，不符合題意；對于，，，，，兩個向量平行，符合題意；對于，，1，，，兩個向量不平行，不符合題意；故選：．【點評】本題考查空間向量平行的判斷，注意空間向量平行的判斷，屬于基礎題．2．【分析】設等差數(shù)列的公差為，從而，即，結合可得，進一步對選項進行逐項判斷即可．【解答】解：設等差數(shù)列的公差為，由，得，即，又，所以，滿足，的只有選項，故選：．【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前項和公式，考查學生的邏輯推理和運算求解的能力，屬于基礎題．3．【分析】利用平面向量的數(shù)量積的運算性質(zhì)對四個選項逐一分析可得答案．【解答】解：對于，若，且，則，不能得到，故錯誤；對于，，，共面，故正確；對于，，故錯誤；對于，若，則向量在向量方向上的投影的數(shù)量為0，故錯誤；故選：．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬于中檔題．4．【分析】根據(jù)直線與直線成角的定義判斷；根據(jù)直線與平面成角的概念判斷；根據(jù)平面與平面成角定義判斷；根據(jù)直線與平面成角的概念判斷．【解答】解：對于，分別是直線，的方向向量，直線，所成的角的余弦值是，，所以對；對于，分別是直線的方向向量與平面的法向量，直線與平面所成的角的正弦值是，，余弦值是，所以錯；對于，分別是平面，的法向量，則平面，所成的角的余弦值是，，所以對；對于，分別是直線的方向向量與平面的法向量，直線與平面所成的角的正弦值是，，所以對．故選：．【點評】本題以命題真假判斷為載體，考查了直線與平面成角問題，考查了異面直線成角問題，屬于中檔題．5．【分析】根據(jù)題中給出的斐波那契數(shù)列的定義，對選項中的等式逐一分析判斷，即可得到答案．【解答】解：由題設知：數(shù)列的前10項為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，故①正確；從第二項開始，斐波那契數(shù)列是遞增數(shù)列，故②錯誤；由，，，，，以上各式相加可得，，所以，故③錯誤．又，，，，，將以上各式相加可得，，故④正確；故選：．【點評】本題主要考查數(shù)列的遞推關系式在數(shù)列的項與和中的應用，屬于中檔題．6．【分析】建立空間直角坐標系，設，1，，，，，設正方體的棱長為1，求出兩條直線的方向向量，由向量的夾角公式求解，即可判斷選項，因為平面與平面所成的角的大小，即平面與平面所成的角的大小，即可判斷選項，連接，，，，證明平面平面，即可判斷選項，．【解答】解：對于，以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，設正方體的棱長為1，則，1，，，1，，設，1，，，，，所以，則不是定值，故選項正確．對于，平面與平面所成的角的大小，即平面與平面所成的角的大小，因為平面與平面是確定的兩個平面，所以所成角的大小是定值，故選項錯誤；對于，連接，，，，由正方體的幾何性質(zhì)可知，，，又，，所以平面平面，又平面，則直線到平面距離的大小為定值，故選項錯誤；對于，因為平面，平面，又平面平面，所以異面直線，之間的距離的大小為定值，故選項錯誤．故選：．【點評】本題以命題的真假判斷為載體，考查了空間角的理解與應用，空間中線線、線面、面面位置關系的判定，考查了邏輯推理能力、空間想象能力，屬于中檔題．二、填空題（共8小題，每小題3分，共24分）7．【分析】根據(jù)空間向量的坐標表示寫出，再計算、兩點間的距離即可．【解答】解：因為，2，，，1，，所以，，，，，，兩點間的距離為．故答案為：，，，3．【點評】本題考查了空間中的向量坐標表示，也考查了空間中兩點距離的計算問題，是基礎題．8．【分析】由和前項和公式可求得答案．【解答】解：，，；又，故答案為：2；63．【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式及前項和公式，屬于易做題．9．【分析】利用向量垂直的性質(zhì)直接求解．【解答】解：向量，，，，8，，且，，解得．故答案為：5．【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查向量垂直的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．10．【分析】設等差數(shù)列的公差為，由可得，結合即可求出值，最后利用進行求解即可．【解答】解：設等差數(shù)列的公差為，由，得，又，所以，所以．故答案為：7．【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式，考查學生基本運算求解的能力，屬于基礎題．11．【分析】根據(jù)數(shù)列前項和為，得出，利用，求出．【解答】解：數(shù)列前項和為，，；通項，；當時，，滿足；，．故答案為：，．【點評】本題考查了由數(shù)列前項和求通項公式的問題，通常用求得，但需要驗證是否滿足公式，是基礎題．12．【分析】利用空間向量的夾角公式求出，，由二面角為銳角，即可得到答案．【解答】解：因為平面的法向量為，0，，平面的法向量為，1，，所以，；因為二面角為銳角，所以二面角的大小為．故答案為：；．【點評】本題考查了空間法向量的理解與應用，空間向量夾角公式的應用，二面角的求解，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于中檔題．13．【分析】設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)可得，進一步求出與的值即可對結論進行逐個判斷．【解答】解：設等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以的公差，則是遞減數(shù)列，，結論①②③正確；又，結合二次函數(shù)性質(zhì)可知當或5時有最大值，且最大值為，結論④正確．故答案為：①②③④．【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前項和公式，考查學生的邏輯推理及運算求解的能力，屬于基礎題．14．【分析】①根據(jù)已知可得的前三項可以為1，1，0，也可以是1，，0；2，0，0，由此可以求解；②根據(jù)已知可得如果數(shù)列中含有“2”，則2必須是首項，如果數(shù)列中有“；0”，則，0一定不是首項，所以數(shù)列中不同的項最多有4個，進而可以求解；數(shù)列可以表示為．【解答】解：①因為無窮數(shù)列的前項和為，若對任意，，，數(shù)列的前三項可以為1，1，0，也可以是1，，0；2，0，0，②因為數(shù)列是無窮數(shù)列，若對任意的，，，所以如果數(shù)列中含有“2”，則2必須是首項，如果數(shù)列中有“；0”，則，0一定不是首項，所以數(shù)列中不同的項最多有4個，例如：2，，0，1，0，0，，故答案為：1，（答案不唯一）；4；．【點評】本題考查了數(shù)列的遞推式的應用，考查了學生的邏輯推理能力以及運算求解能力，屬于中檔題．三、解答題（共4題，共58分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程）15．【分析】（1）直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程組，求出首項和公差，再求出數(shù)列的通項公式；（2）利用（1）的結論，利用裂項相消法，求出數(shù)列的前項和．【解答】解：（1）設等差數(shù)列的首項為，公差為，由于數(shù)列滿足，且．所以，整理得，解得，所以，故；（2）由（1）得，故．【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法，裂項相消法在數(shù)列求和中的應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．16．【分析】（1）根據(jù)條件得到，結合，得到，從而證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）利用（1）的結論求出數(shù)列的通項公式，進一步求出數(shù)列的前項和．【解答】證明：（1）數(shù)列中，，，整理得，又，所以，即（常數(shù)），所以數(shù)列是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）可知，因為，所以；又，符合通項，所以；所以．【點評】本題考查的知識要點：等比數(shù)列的定義，等比數(shù)列的通項公式的求法，分組求和法，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于中檔題．17．【分析】（1）只要證明平行于平面內(nèi)直線即可；（2）用向量數(shù)量積計算直線與平面成角正弦值；（3）用向量數(shù)量積計算點到平面距離．【解答】（1）證明：因為是正方形，所以，又因為平面，平面，所以平面．（2）解：建系如圖，由題意知，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，，，2，，令，1，，因為，，所以是平面的法向量，所以直線與平面所成的角的正弦值為．（3）解：由（2）知，0，，平面的法向量是，1，，所以點到平面的距離為．【點評】本題考查了直線與平面的位置關系，考查了直線與平面的成角問題，考查了點到平面距離問題，屬于中檔題．18．【分析】（1）根據(jù)新定義列舉出集合的元素即可求；根據(jù)可知，求出，即可求解；（2）先假設數(shù)列是遞增數(shù)列，設公差為，則，可知的最大值，最小值，即可得，反之，是遞增數(shù)列，根據(jù)數(shù)列的新定義可得，可得為等差數(shù)列，由充分條件和必要條件的定義即可得求證；（3）假設存在最大值為，集合中的元素從小到大排列分別為，則，，則，且與假設矛盾即可求證．【解答】解：（1）①因為，，，，，，所以集合，2，3，，．②因為，3，，，且，所以，，均不相等，所以2，，都是集合中的元素，因為，所以．可得：，，所以數(shù)列，3，5，7，，4，；證明：（2）充分性；是遞增數(shù)列，若為等差數(shù)列，則，設的公差