第三章多維隨機(jī)變量及其分布關(guān)鍵詞： 二維隨機(jī)變量 分布函數(shù)分布律概率密度 邊緣分布函數(shù)邊緣分布律邊緣概率密度 條件分布函數(shù)條件分布律條件概率密度 隨機(jī)變量的獨(dú)立性

Z=X+Y的概率密度

M=max(X,Y)的概率密度

N=min(X,Y)的概率密度1§1二維隨機(jī)變量問題的提出例1：探討某一地區(qū)學(xué)齡兒童的發(fā)育狀況。僅探討身 高H的分布或僅探討體重W的分布是不夠的。需 要同時考察每個兒童的身高和體重值，探討身 高和體重之間的關(guān)系，這就要引入定義在同一 樣本空間的兩個隨機(jī)變量。例2：探討某種型號炮彈的彈著點(diǎn)分布。每枚炮彈的 彈著點(diǎn)位置須要由橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)來確定，而 它們是定義在同一樣本空間的兩個隨機(jī)變量。2定義：設(shè)E是一個隨機(jī)試驗，樣本空間S={e}； 設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)是定義 在S上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的 向量(X,Y)叫做二維隨機(jī)向量 或二維隨機(jī)變量。定義：設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量,對于隨意實數(shù)x,y， 二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)。0Se3分布函數(shù) 的性質(zhì)x1x2(x1,y)(x2,y)yy2xy1(x,y1)(x,y2)4x2y1x1y25二維離散型隨機(jī)變量定義：若二維隨機(jī)變量(X,Y)全部可能取到的不同值是有 限對或可列無限對，則稱(X,Y)是離散型隨機(jī)變量。y1y2…yj…XYp11…p12p1j…p21…p22p2j…pi1…pi2pij………………………離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布：為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布?？梢杂萌缬冶砀癖硎荆?

分布律的性質(zhì)

例1：設(shè)隨機(jī)變量X在1、2、3、4四個整數(shù)中等可能地取 一個值，另一個隨機(jī)變量Y在1~X中等可能地取一 整數(shù)值，試求(X,Y)的聯(lián)合概率分布。YX123440001??20?300解：(X=i,Y=j)的取值狀況為：i=1,2,3,4； j取不大于i的正整數(shù)。即(X,Y)的聯(lián)合概率分布為：7

8

二維連續(xù)型隨機(jī)變量9

10

例3：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度：

解：

11

例：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度：

1213

例4：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度

(1)

求常數(shù)k；(2)

求概率解：114§2邊緣分布二維隨機(jī)變量(X,Y)作為整體，有分布函數(shù) 其中X和Y都是隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù) 記為： 稱為邊緣分布函數(shù)。事實上，15對于離散型隨機(jī)變量(X,Y)，分布律為…………………………p11…p12p1j…p1·p21…p22p2j…p2·pi1…pi2pij…pi

·XYy1y2…yj…p·1p·2p.j……1X,Y的邊緣分布律為：留意：16對于連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)，概率密度為事實上， 同理：X,Y的邊緣概率密度為：17

00.0250.350.04YX0102010.02520.0200.100.250.150.04X0210.3700.4150.215pY020100.3150.3950.290p18

例2：(X,Y)的聯(lián)合分布律為 求：(1)a,b的值； (2)X,Y的邊緣分布律； (3)YX-1100.20.1a120.10.2bX10.420.6Y0.30.5-1100.2(2)解：(1)由分布律性質(zhì)知a+b+0.6=1即a+b=0.419例3：設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A，若二維隨機(jī) 變量(X,Y)具有概率密度 則稱(X,Y)在G上聽從勻整分布。 現(xiàn)設(shè)(X,Y)在有界區(qū)域 上勻整分布，其概 率密度為 求邊緣概率密度解：20

2122§3條件分布 由條件概率公式可得： 當(dāng)i取遍全部可能的值，就得到了條件分布律。23定義：設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量， 對于固定的yj，同樣，對于固定的xi，24

例1：盒子里裝有3只黑球，4只紅球，3只白球，在其中任取2球，以X表示取到黑球的數(shù)目，Y表示取到紅球的只數(shù)。求（1）X，Y的聯(lián)合分布律；（2）X=1時Y的條件分布律；

(3)Y=0時X的條件分布律。

解：X,Y的聯(lián)合分布律為XY01201/154/152/1513/154/15021/150025故在X=1的條件下，Y的分布律為： 同理P(Y=0)=1/3，故在Y=0的條件下，X的分布律為：XY01201/154/152/1513/154/15021/1500X0121/53/51/5Y0123/74/7026

例2：一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率為 射擊直中目標(biāo)兩次為止，設(shè)以X表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù)，以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù)，試求X和Y的聯(lián)合分布律和條件分布律。解：

2728例3：設(shè)參與考研的學(xué)生，正常發(fā)揮的概率為a,超常發(fā)揮的概率為b，發(fā)揮失常的概率為c，a+b+c=1。設(shè)某班有10人參與考研，發(fā)揮正常的人數(shù)為X，發(fā)揮超常的人數(shù)為Y。求（1）（X,Y)的聯(lián)合分布律；（2）P(X+Y>1)；（3）在Y=3的條件下，X的分布律。解:(1)X,Y的聯(lián)合分布律為2930聯(lián)合分布回顧:(X,Y)31二維離散型隨機(jī)變量y1y2…yj…XYp11…p12p1j…p21…p22p2j…pi1…pi2pij………………………離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布：為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布。可以用如右表格表示：32

二維連續(xù)型隨機(jī)變量33邊緣分布二維隨機(jī)變量(X,Y)作為整體，有分布函數(shù) 其中X和Y都是隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù) 記為： 稱為邊緣分布函數(shù)。34對于離散型隨機(jī)變量(X,Y)，分布律為…………………………p11…p12p1j…p1·p21…p22p2j…p2·pi1…pi2pij…pi

·XYy1y2…yj…p·1p·2p.j……1X,Y的邊緣分布律為：留意：35對于連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)，概率密度為X,Y的邊緣概率密度為：36定義：設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量， 對于固定的yj，同樣，對于固定的xi，條件分布37

定義：條件分布函數(shù)38定義：條件概率密度39

40也就是，由事實上，另一種說明41條件概率密度的直觀意義：42例4：設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域內(nèi)勻整分布，求條件概率密度二維勻整分布的條件分布仍為勻整分布解：依據(jù)題意，(X,Y)的概率密度為：Y的邊緣概率密度為：于是給定y(-1<y<1)，X的條件概率密度為：4344說明聯(lián)合分布、邊緣分布、條件分布的關(guān)系如下聯(lián)合分布條件分布函數(shù)與條件密度函數(shù)的關(guān)系邊緣分布條件分布聯(lián)合分布45§4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量

46例1：§1例2中X和Y是否相互獨(dú)立？即(X,Y)具有概率密度請問：連續(xù)型隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，其密度函數(shù)有何特征？計算得，X和Y的邊緣概率密度分別為：47XY01P(X=j)12P(Y=i)XY01P(X=j)12P(Y=i)

48

49

505152

一般n維隨機(jī)變量的一些概念和結(jié)果

53

54

邊緣分布

如：55

相互獨(dú)立

56

定理1：

定理2：57

§5兩個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布58

59

60

61例3：設(shè)X和Y是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量，求 的概率密度。 解：由卷積公式：一般：設(shè)X,Y相互獨(dú)立，62例4：X,Y相互獨(dú)立，同時聽從[0,1]上的勻整分布，求 的概率密度。xx=zz120x=z-1解：依據(jù)卷積公式：易知僅當(dāng)參考圖得：63例5：設(shè)X,Y相互獨(dú)立、聽從相同的指數(shù)分布，概率密度 為： 求 的概率密度。解：依據(jù)卷積公式：64一般的，可以證明：若X,Y相互獨(dú)立，且分別聽從參數(shù)為X,Y的概率密度分別為證明：這是例3的推廣，由卷積公式由此可知：65

66推廣到n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的狀況設(shè)X1,X2,…,Xn是n個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為： 則：6768例7：設(shè)系統(tǒng)L由兩個相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1,L2聯(lián)結(jié)而成，聯(lián) 結(jié)的方式分別為：(1)串聯(lián)；(2)并聯(lián)； (3)備用(當(dāng)系統(tǒng)L1損壞時，系統(tǒng)L2起先工作)。 如圖，設(shè)L1,L2的壽命分別為X,Y，已知它們的概率 密度分別為：試分別就以上三種聯(lián)結(jié)方式寫出L的壽命Z的概率密度。XYL1L2XYL2L1XYL2L169串聯(lián)的狀況由于當(dāng)L1,L2中由一個損壞時，系統(tǒng)L就停止工作，所以L的壽命為Z=min(X,Y)；而X,Y的分布函數(shù)分別為：故Z的分布函數(shù)為：于是Z的概率密度為：即Z仍聽從指數(shù)分布L1L270并聯(lián)的狀況

由于當(dāng)且僅當(dāng)L1,L2都損壞時，系統(tǒng)L才停止工作，所以這時L的壽命為Z=max(X,Y)，Z的分布函數(shù)為：于是Z的概率密度為：L1L271備用的狀況

由于這時當(dāng)系統(tǒng)L1損壞時，系統(tǒng)L2才起先工作，因此整個系統(tǒng)L的壽命Z是L1,L2壽命之和，即Z=X+Y；因此：L1L272復(fù)習(xí)思索題31.設(shè)(X,Y)為二維向量，則P{x1<X≤x2,y1<Y≤y