相似多邊形及位似一.選擇題

1.下面給出了相似的一些命題：

（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；

（5）正六邊形都相似；其中正確的有（）

A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)

2.下列說法錯(cuò)誤的是（）.

A.位似圖形一定是相似圖形.B.相似圖形不一定是位似圖形.

C.位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.

D.位似圖形中每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線必相互平行.

3.下列說法正確的是（）

A.分別在ABC的邊AB、AC的反向延長線上取點(diǎn)D、E，使DE∥BC，則ADE是ABC放大后的圖形.

B.兩位似圖形的面積之比等于相似比.C.位似多邊形中對應(yīng)對角線之比等于相似比.

D.位似圖形的周長之比等于相似比的平方.

4.平面直角坐標(biāo)系中，有一條“魚，它有六個(gè)頂點(diǎn)”，則（）

A.將各點(diǎn)橫坐標(biāo)乘以2，縱坐標(biāo)不變，得到的魚與原來的魚位似.

B.將各點(diǎn)縱坐標(biāo)乘以2，橫坐標(biāo)不變，得到的魚與原來的魚位似.

C.將各點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)都乘以2，得到的魚與原來的魚位似.

D.將各點(diǎn)橫坐標(biāo)乘以2，縱坐標(biāo)乘以，得到的魚與原來的魚位似.

5.下列命題：①兩個(gè)正方形是位似圖形；②兩個(gè)等邊三角形是位似圖形；③兩個(gè)同心圓是位似圖形；④平行于三角形一邊的直線截這個(gè)三角形的兩邊，所得的三角形與原三角形是位似圖形.其中正確的有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

6．如果點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)，且AC＞BC，則下列各式不正確的是（）

A.AB：AC=AC：BCB.AC=C.AB=D.BC≈0.618AB

7.已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點(diǎn)E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點(diǎn)落在AD上的F點(diǎn)，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=（）

A.B.C.D.2

二.填空題

8.如果兩個(gè)位似圖形的對應(yīng)線段長分別為3cm和5cm，且較小圖形周長為30cm，則較大圖形周長為______.

9.已知ABC，以點(diǎn)A為位似中心，作出ADE，使ADE是ABC放大2倍的圖形，則這樣的圖形可以作出___個(gè)，它們之間的關(guān)系是__________.

10．如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形，已知OA=10cm，OA′=20cm，則五邊形ABCDE的周長與五邊形的周長的比值是__________．

11.△ABC中，D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC縮小后的圖形.若DE把△ABC的面積分成相等的兩部分，則AD：AB=________.

12.把一矩形紙片對折，如果對折后的矩形與原矩形相似，則原矩形紙片的長與寬之比為_______.

13.如圖（1），將一個(gè)正六邊形各邊延長，構(gòu)成一個(gè)正六角星形AFBDCE，它的面積為1，取△ABC和△DEF各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖（2）中陰影部分，取△A1B1C1和△D1E1F1各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如圖（3）中陰影部分，如此下去…，則正六角星形A4F4B4D4C4E4的面積為________.

14.如圖，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分線與AC邊的交點(diǎn)D為邊AC的黃金分割點(diǎn)（AD＞DC），則BC=______________.

三．綜合題

15.如圖，D、E分別AB、AC上的點(diǎn).

(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似圖形嗎？為什么？

(2)如果△ADE和△ABC是位似圖形，那么DE∥BC嗎？為什么？

16.善于學(xué)習(xí)的小敏查資料知道：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)梯形，叫做相似梯形．他想到“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似”，提出如下兩個(gè)問題，你能幫助解決嗎？

問題一：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的小梯形和原梯形是否相似？

（1）從特殊情形入手探究．假設(shè)梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，MN是中位線（如圖①）．根據(jù)相似梯形的定義，請你說明梯形AMND與梯形ABCD是否相似；

（2）一般結(jié)論：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的梯形與原梯形_____________；（填“相似”或“不相似”或“相似性無法確定”．不要求證明）

問題二：平行于梯形底邊的直線截兩腰所得的兩個(gè)小梯形是否相似？

（1）從特殊平行線入手探究．梯形的中位線截兩腰所得的兩個(gè)小梯形______________；

（填“相似”或“不相似”或“相似性無法確定”．不要求證明）

（2）從特殊梯形入手探究．同上假設(shè)，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到與梯形底邊平行的直線PQ（點(diǎn)P，Q在梯形的兩腰上，如圖②），使得梯形APQD與梯形PBCQ相似嗎？請根據(jù)相似梯形的定義說明理由；

（3）一般結(jié)論：對于任意梯形（如圖③），一定_____________（填“存在”或“不存在”）平行于梯形底邊的直線PQ，使截得的兩個(gè)小梯形相似．若存在，則確定這條平行線位置的條件是．（不妨設(shè)AD=a，BC=b，AB=c，CD=d．）

17.如圖1，矩形ODEF的一邊落在矩形ABCO的一邊上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比為1：4，矩形ABCO的邊AB=4，BC=4．

（1）求矩形ODEF的面積；

（2）將圖1中的矩形ODEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，連接EC、EA，△ACE的面積是否存在最大值或最小值？

若存在，求出最大值或最小值；若不存在，請說明理由．

【答案與解析】一、選擇題

1．【答案】B

【解析】（1）菱形的角不一定對應(yīng)相等，故錯(cuò)誤；

（2）（3）（5）符合相似的定義，故正確；

（4）對應(yīng)邊的比不一定相等．故錯(cuò)誤．

故正確的是：（2）（3）（5）．故選B．

2．【答案】D.

3．【答案】C.

4．【答案】C.

5．【答案】B

【解析】由位似圖形的概念可知③和④對，故選B.

6．【答案】D.

【解析】∵AC＞BC，∴AC是較長的線段，

根據(jù)黃金分割的定義可知：AB：AC=AC：BC，AC=,AB=AC≈0.618AB．故選D．

7.【答案】B.

【解析】∵AB=1，

設(shè)AD=x，則FD=x-1，F(xiàn)E=1，

∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似，

∴，即，

解得,,（負(fù)值舍去），

經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．故選B．

二、填空題

8.【答案】50cm.

9.【答案】2個(gè)；全等.

10.【答案】1：2．

【解析】∵五邊形ABCDE與五邊形A′B′C′D′E′位似，OA=10cm，OA′=20cm，

∴五邊形ABCDE∽五邊形A′B′C′D′E′，且相似比為：OA：OA′=10：20=1：2，

∴五邊形ABCDE的周長與五邊形A′B′C′D′E′的周長的比為：OA：OA′=1：2．

故答案為：1：2．

11.【答案】；

【解析】由BC∥DE可得△ADE∽△ABC，所以，故.

12.【答案】；

【解析】矩形ABCD對折后所得矩形與原矩形相似，則矩形ABCD∽矩形BFEA，設(shè)矩形的長為a，寬為b．

則AB=CD=b，AD=BC=a，BF=AE=，根據(jù)矩形相似，對應(yīng)邊的比相等得到：

即：，則b2=

∴∴

13.【答案】.

【解析】∵A1、F1、B1、D1、C1、E1分別是△ABC和△DEF各邊中點(diǎn)，

∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比為2：1，

∵正六角星形AFBDCE的面積為1，

∴正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積為，

同理可得，第三個(gè)六角形的面積為：=，

第四個(gè)六角形的面積為：，

故答案為：.

14.【答案】；

【解析】∵AB=AC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

又BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD=36°，

∴∠BDC=72°，

∴BC=BD=AD，

∵D點(diǎn)是AC的黃金分割點(diǎn)，

∴BC=AD=4×=.

三．解答題

15.【答案與解析】

(1)△ADE和△ABC是位似圖形.理由是：DE∥BC，

所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.

又因?yàn)辄c(diǎn)A是△ADE和△ABC的公共點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)B是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)E和點(diǎn)C

是對應(yīng)點(diǎn)，直線BD與CE交于點(diǎn)A，所以△ADE和△ABC是位似圖形.

(2)DE∥BC.理由是：

因?yàn)椤鰽DE和△ABC是位似圖形，

所以△ADE∽△ABC

所以∠ADE=∠B

所以DE∥BC.

16.【答案與解析】

問題一：

（1）不相似.

因?yàn)閮蓚€(gè)梯形的腰相等，即腰的比是1：2，而上底的比是1：1，因而這兩個(gè)梯形一定不相似；

（2）相似性無法確定．

問題二：

（1）不相似；

（2）梯形APQD與梯形PBCQ相似，

∴，即

解得：PQ=4．

∵

又∵AP+PB=6，

∴AP=2

（3）存在.

如果梯形APQD∽梯形PBCQ，

則,，

∵AD=a，BC=b，

∴PQ=，

∴

17.【答案與解析】

（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比為1：4，

∴