.1第第十三 動(dòng)量矩定 剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)§13-2剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng) 質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng) 動(dòng)量矩 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分 質(zhì)點(diǎn)系相對于質(zhì)心的動(dòng)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分2動(dòng)量定理

動(dòng)量的改 外力（外力系主矢質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)外力（外力系主矢物體在移動(dòng)時(shí)動(dòng)量的變化率與受力之間的關(guān)系－動(dòng)量定理C C上C vC0,動(dòng)量：pMvC 質(zhì)心無運(yùn)而：F(e)

所以，動(dòng)量不能反應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)的問物體在轉(zhuǎn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)的量與受力之間的關(guān)系－動(dòng)量矩定32§13-1剛體對軸的2一．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義：J

mi z2mr若剛 z2mrkgm 4二．轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì) ．積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用[例1]勻質(zhì)細(xì)直桿長為l,質(zhì)量為m。求：1）對z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)Jz；2）對z'軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣Jz'l解：J

x2m 2

2Jz'20

mdxl

ml35[例2]勻質(zhì)細(xì)圓盤半徑為R質(zhì)量為m求：1）對O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JO；2）對x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jx y解

2m2 R

2 2R02 22 y2mdA, x2m

R

R (y2x2)mdA

/

RJxJy

mR Jm由Jm

2zz 2zz

稱為剛體對z軸的回轉(zhuǎn)半對于均質(zhì)剛

僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)（轉(zhuǎn)半徑是相同的。剛體的Jzz，以供參考。7平行移軸同一個(gè)剛體對不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般是不相同JJz'JzCmd8i證明：設(shè)質(zhì)量為m的剛體，質(zhì)心為C，i∵m∵mim,miyimyC

mr

mi(xi

y2iJzi

mr'2

m(x'2y'2i ∵xixi',yi'i J

m[x2(yd)2 mi( yi)(mi)dJz

J

md

2dmi剛體對通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有最小值例如，對于例1中均質(zhì)細(xì)桿z'軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣J' m(l)21ml21ml21ml

9計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的物體有空心部分,要把此部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量視為負(fù)值來處理[例2]鐘擺質(zhì)直桿m1,l均質(zhì)圓盤：m2RJO

1ml21mR2m(lR) 1ml21m(3R22l2 §13-2剛體對軸的轉(zhuǎn)動(dòng)Jx

(y2z2 Jy(z xJz(x

y2JLJxcos2Jycos2Jzcos22Jyzcoscos2Jzxcoscos2JxycoscosJyz

Z軸為剛體在O點(diǎn)處的一根§§13- 質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)一．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量復(fù)習(xí)：力對點(diǎn)O之

GMO(F)r MO(F)(xiyjzk)(FxiFyjFzk MO(F)[MO(F)]xi[MO(F)]yj[MO(F)]zGMO(Fo

力對點(diǎn)O之矩在z軸上的投影G[MO(F)]zxFy力對z的之G：Mz(F

x x Mz(F)[MO(F 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對點(diǎn)O之矩：MO(mv)r

MO(mv)(xiyjzk)(mvximvyjmvzk MO(mv)[MO(mv)]xi[MO(mv)]yj[MO(mv)]z 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對點(diǎn)O之矩在z軸上的GMO(mvo

[MO(mv)]zxmvy質(zhì)點(diǎn)對軸z的動(dòng)量矩GMz(mv)xmvy Mz(mv)[MO(mv

動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)(軸)轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱單位：kg·ｍ2/s二．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系對點(diǎn)O動(dòng)量矩

G GLO

MO(mivi

：剛體動(dòng)量矩計(jì)算

Lz

Mz

[LO]z平動(dòng)剛體對點(diǎn)O的動(dòng)量矩：LO

GGGMO(mvC)rCGGGG平動(dòng)剛體z動(dòng)量矩LzMz(mvC平動(dòng)剛體對固定點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩等于剛體質(zhì)心的動(dòng)量點(diǎn)（軸）的動(dòng)量剛體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)L G

mr2J Mz(mivi

i 平面運(yùn)動(dòng)GLzMz(mvC)JC剛體隨同質(zhì)心作平動(dòng)時(shí)質(zhì)心的動(dòng)量對該軸的動(dòng)量矩與繞質(zhì)心動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩之和 P[例1]滑輪A：m1，R1，R1=2R2，J1，1滑輪B：m2，R2，J2；物體C：m3求:系統(tǒng)對O軸的動(dòng)量矩。P定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：A2平動(dòng)：C2平面運(yùn)動(dòng)：B

v3v2R2 1J11(J22m2v2R2)m3v3O ( J m)RO

注意方向RR RR

§13-一．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定

d(mv F

Gd(mv G兩邊叉乘矢徑r

rG可寫

rd(mv)

(rmv) 而dr

G Gmvvmv0,rFMO(F)

m)

d[M

O(m)]

MO(FF質(zhì)點(diǎn)對任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在F點(diǎn)上的力對同一點(diǎn)之矩。這就是質(zhì)點(diǎn)對固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。將上式在通過固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，ddMm)M( dMm)M( dMm)m(xxyyzz 若MO(F) (Mz(F)稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒

則MO(mv常矢則G(Mz(mv)常量注：計(jì)算動(dòng)量矩與力矩時(shí)，符號規(guī)定應(yīng) 質(zhì)點(diǎn)繞某心（軸）二．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩對質(zhì)點(diǎn)Md

)

MO )MO

對質(zhì)點(diǎn)系

MO(mivi)

MO

)MO (i1,2,3,,G左邊交換求和與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的順序 LO

O(mivi GMO((i

)

MO

) 一質(zhì)點(diǎn)系對固) z將上式在通過固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，zxM(F(e)xM(F(e))

(e)y(e)y

M M

))MM）。動(dòng)量矩定理說明內(nèi)力不會改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩，只有外才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 MO(e)z (e)z

[例3]APB P r。求 解:研究對象：取整個(gè)受力分析PAPBP,XOAOM AO

r

r

PB)運(yùn)動(dòng)分v PAvrPBvrJ 將 1Pr2代入,得 2

r2( P 由動(dòng)量矩定

d[r2(

PP)](PP)

dg

PA PAPBP/2G[例4]已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相對繩速度

上爬r猴ABA）r。。解 )0,所以，系統(tǒng)的動(dòng)量矩守0mBvBrmAvAr,

vB(vrvA0mB(vrvA)rmAvAr (vv)

vr

猴A與猴B向上的絕對速度是一樣的,均為 2§13-5§13-5剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分對于一個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體LzJ

d(J)

(e).zJzMz(e)或z

d2

M —?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)M解決兩類問題 已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律 特殊情況1）．

(F(e則0恒量，剛體動(dòng)或保持靜2）．若Mz(e)常量，則=常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)將J

ma

F比較，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jz是剛轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量[例 提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1、P2,可視為均圓盤物體C的重量為P3輪A上作用常力矩M1。求體C上升的加速度。Pr解1輪

11 1M1Tr1 2輪B與物體d(1P2

2

P3

)T'

P

2

補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)條件r22v,r22a

P2化簡(2)2

3aT'化簡(1)P1aM12 aM1/r1

§§13- G

G dLCdLCCG(Fi)C.

Cr

(LCLCr二．質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動(dòng)三．剛體平面運(yùn)設(shè)有一平面運(yùn)動(dòng)剛體具有質(zhì)量對稱平面F1,F2,,可以簡化為該平面內(nèi)的一個(gè)力系。取質(zhì)量對稱平面為平S，質(zhì)心一定位于S內(nèi)取質(zhì)心C為動(dòng)系原點(diǎn)，則此平面運(yùn)動(dòng)可分解隨質(zhì)心C的平繞質(zhì)心C的平

(xC,yC（∵ J

dLCr

JC

G G maC F JC 寫成投影形 F, F,J

m

(e) 或

Fx,myC

Fy,

MC(Fi(e)C上式稱為平面運(yùn)動(dòng)微分方程CCmaC

F,ma

Fy,JC

MC(Fi(e)]m滑動(dòng)摩擦系數(shù)為、f′解：研究對mg運(yùn)動(dòng)分析aCy=0，aCx一般情況下輪作平面運(yùn)動(dòng)平面運(yùn)動(dòng)微分方maCmgsin 0mgcos 1，3兩式中含知數(shù)aC、F、a充附加條件

JC 由2式得：Nmgcos 設(shè)接觸面絕對光滑。F0aCgsin0常量因?yàn)檩営伸o止開始運(yùn)動(dòng)，故＝0，輪沿斜面平動(dòng)下設(shè)接觸面足夠粗糙。輪作純滾動(dòng)，aCr所以可 2gsin,2gsin;F1mgsin 設(shè)輪與斜面間有滑動(dòng)，輪又滾又滑。F=f′N，可解 (sinf'cos)g,2f'gcos,Fmgfcos. 輪作純滾動(dòng)的條件F1mgsin

fNfmgcos. f tgf1tg

時(shí)，解答表明：

適用f3tg時(shí)，解答2適用；f0時(shí)解答1適用第第十二章動(dòng)量矩定理習(xí)一．基本概動(dòng)量矩：某瞬時(shí)物體繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的一種度量G 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩：MO(mv 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩：

mivi轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度剛體動(dòng)量矩

rCmvC Lz

Mz(mvC定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

LzJ 平面運(yùn)動(dòng)LzMz(mvCJC二．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理及質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩 F zFd (m)] F zF

(m)M(質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩 1 2Mz(F0mz(mv三．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 (G) O

F

M(e)

z

z

(e))

OOz質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩

，M ，

LO常矢量2

MzM

0，則Lz四．質(zhì)點(diǎn)系相對質(zhì)心的動(dòng)dLC

dLC

MC 五．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程和剛體平面運(yùn)動(dòng)微剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方Jzmz(F JzMz(F剛體平面運(yùn)動(dòng)微maCxXmaCyY

mxCXC myCCJC

(F(e)

JC

MC(F(e)六．動(dòng)量矩定理的應(yīng)用動(dòng)量矩定理，一般可以處理下列一些問題：（對單傳動(dòng)系統(tǒng)尤為方便已知質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，求系統(tǒng)所受的外力或 GXO 兩根質(zhì)量各為8kg的均質(zhì)細(xì)桿固連成T字型，可繞通過O點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)OA處于水平位置時(shí),T形GXO=4rad/s。求該瞬時(shí)軸承O的反力解：一、T”字型二、受力分析mg, , 三、運(yùn)動(dòng)分析：定軸 1ml21ml2ml217ml 四、由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方20.75rad/s2

dO

O (F(e)OJ