5/5均值不等式求值的十種方法均值不等式求最值的十種方法

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用均值不等式求最值的方法和技巧

一、幾個(gè)重要的均值不等式

①，、)(2

22

22

2

Rbabaababba∈+≤?≥+當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”號(hào)成立；②，

、)(222

+

∈??

???+≤?≥+Rbabaababba當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，“=”號(hào)成立；③，、、)(3

33

333

3

3

+∈++≤?≥++Rcbacbaabcabccba當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),“=”號(hào)成立；

④)(333

3+

∈??

???++≤?≥++Rcbacbaabcabccba、、,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),“=”號(hào)成立.

注：①注意運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)的條件：一“正”、二“定”、三“等”；

②熟悉一個(gè)重要的不等式鏈：b

a112

+2ab

ab+≤≤≤

2

2

2ba+。一、拼湊定和

通過因式分解、納入根號(hào)內(nèi)、升冪等手段，變?yōu)椤胺e”的形式，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn)，均分系數(shù)，拼湊定和，求積的最大值。例１(1)當(dāng)

時(shí)，求(82)yxx=-的最大值。

(2)已知01x=。

二、拼湊定積

通過裂項(xiàng)、分子常數(shù)化、有理代換等手段，變?yōu)椤昂汀钡男问?，然后以均值不等式的取等條件為出發(fā)點(diǎn)，配項(xiàng)湊定積，創(chuàng)造運(yùn)用均值不等式的條件。

例4(1)已知5

4x-，求函數(shù)()()521

xxyx++=

+的最小值。

解：()()()

141144

152

15911

1

xxyxxxxx++++????????=

=+++≥++=+++g。當(dāng)且僅當(dāng)1x=時(shí)，上式取“=”。故min9y=。

評(píng)注：有關(guān)分式的最值問題，若分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，則可考慮裂項(xiàng)，變?yōu)楹偷男问?，然后“拼湊?/p>

積”，往往是十分方便的。

例5已知1x>-，求函數(shù)()

()

2

2413xyx+=

+的最大值。

解：1,10xx>-∴+>Q，()

()

()()2

24124

24

34

224

1414

141

xyxxxx+∴=

=

≤

=?+++++++

++。

當(dāng)且僅當(dāng)1x=時(shí)，上式取“=”。故max3y=。

評(píng)注：有關(guān)的最值問題，若分子的次數(shù)低于分母的次數(shù)，可考慮改變?cè)降慕Y(jié)構(gòu)，將分子化為常數(shù)，再設(shè)法

將分母“拼湊定積”。

例6已知0xπ+=，求xy的最小值。

解：2

22846446413223264yxyx

xyxyxyxyxyxy??==+=++≥+=?

??

ggg。當(dāng)且僅當(dāng)

281

2

xy==時(shí)，即4.16xy==，上式取“=”，故()min64xy=。例13已知01x。

所以()()41414

1159111xxyxxxxxxxx-??=

+=+-+=++≥???????

。當(dāng)且僅當(dāng)

()411xxxx-=-時(shí)，即2

3

x=，上式取“=”，故min9y=。例14若,,abcR+

∈，求證

()2221

2

abcabcbccaab++≥+++++。分析：注意結(jié)構(gòu)特征：要求證的不等式是關(guān)于,,abc的輪換對(duì)稱式，當(dāng)abc==時(shí)，等式成立。

此時(shí)

22

aa

bc=+，設(shè)()2ambc+=，解得14m=，所以2abc+應(yīng)拼湊輔助式4

bc

+為拼湊的需要而添，解題可見眉目。

證

明

：

2222222,2,2444444

abcabcbcabcacabcab

abcbcbccacaabab+++++++≥=+≥=+≥=++++++Qggg()2221

2

abcabcbccaab∴++≥+++++。當(dāng)且僅當(dāng)abc==時(shí)，上述各式取“=”，故原不等式得證。七、引入?yún)?shù)拼湊

某些復(fù)雜的問題難以觀察出匹配的系數(shù)，但利用“等”與“定”的條件，建立方程組，解地待定系數(shù)，可開辟解題捷徑。

例15已知,,xyzR+∈，且1xyz++=，求149

xyz

++的最小值。

解：設(shè)0λ>，故有()10xyzλ++-=。

()1491491491xyzxxxxyzxyzxyz

λλλλλ??????

∴++=+++++-=+++++-?????????24612λλλλλλ≥++-=-。當(dāng)且僅當(dāng)

149

,,xyzxyz

λλλ===同時(shí)成立時(shí)上述不等式取“=”，即1

2

3

,,xyzλ

λ

λ

=

=

=

，代入1xyz++=，解得36λ=，此時(shí)1236λλ-=，故

149

xyz

++的最小值為36。

八、引入對(duì)偶式拼湊

根據(jù)已知不等式的結(jié)構(gòu)，給不等式的一端匹配一個(gè)與之對(duì)偶的式子，然后一起參與運(yùn)算，創(chuàng)造運(yùn)用均值不等式的條件。

例16設(shè)12,,,naaa???為互不相等的正整數(shù)，求證

3122222

1111

123123naaaann

+++???+≥+++???+。證明：記3

122222

123nnaaaabn

=

+++???+，構(gòu)造對(duì)偶式1231111nndaaaa=+++???+，則

3122222

1231111111

12123123nnnnaaaabdaaanan??????????+=++++++???++≥+++???+???????????????

，當(dāng)且僅當(dāng)(

)

,iaiiNin+

=∈≤時(shí)，等號(hào)成立。又因?yàn)?2,,,naaa???為互不相等的正整數(shù)，

所以1111123ndn≤+

++???+，因此1111

123nbn

≥+++???+。評(píng)注：本題通過對(duì)式中的某些元素取倒數(shù)來構(gòu)造對(duì)偶式。

九、確立主元拼湊

在解答多元問題時(shí)，如果不分主次來研究，問題很難解決；如果根據(jù)具體條件和解題需要，確立主元，減少變?cè)獋€(gè)數(shù)，恰當(dāng)拼湊，可創(chuàng)造性地使用均值不等式。

例17在ABC?中，證明1coscoscos8

ABC≤

。分析：coscoscosABC為輪換對(duì)稱式，即,,ABC的地位相同，因此可選一個(gè)變?cè)獮橹髟?，將其它變?cè)醋鞒Ａ浚ü潭ǎ瑴p少變?cè)獋€(gè)數(shù)，化陌生為熟悉。

證明：當(dāng)cos0A≤時(shí)，原不等式顯然成立。

當(dāng)cos0A>時(shí)，()()1

coscoscoscoscoscos2

ABCABCBC=

++-????()1

coscoscos2

ABC=--??

[]co11cos1cos22AA?≤-≤??

。

當(dāng)且