2014

屆高三數(shù)學總復習

11.2擺列與組合教學設計新人教

A版考情剖析

考點新知近幾年高考擺列與組合在理科加試部分考查，此后將會聯(lián)合概率統(tǒng)計進行命題，考察擺列組合的基礎知識、思想能力，以實質問題為背景，考察學生學習基礎知識、應用基礎知識、解決實質問題的能力，難度將不太大．

①理解擺列、組合的觀點，能利用計數(shù)原理推導擺列數(shù)公式、組合數(shù)公式，并能解決簡單的實質問題.②以實質問題為背景，正確劃分擺列與組合，合理采用擺列與組合公式進行解題

.(選修23P17練習2改編)5人站成一排照相，共有________種不一樣的站法．答案：120分析：5人站成一排照相，相當于五個元素的一個全擺列，所以共有A55＝5×4×3×2×1＝120種不一樣的站法．72.(選修23P18習題3改編)已知9?。?62880，那么A9＝________________．答案：181440分析：9！＝A99＝2A79，所以A79＝181440.(選修23P24習題7改編)從5名女同學和4名男同學中選出4人參加演講競賽，男、女同學分別起碼有1名，則有________種不一樣選法．答案：120分析：C15·C34＋C25·C24＋C35·C14＝120.4.(選修23P24練習2改編)計算：C37＋C47＋C58＋C69＝________．答案：2104565664＝210.分析：原式＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝C889991010有4張分別標有數(shù)字1、2、3、4的紅色卡片和4張分別標有數(shù)字1、2、3、4的藍色卡片，從這8張卡片中拿出4張卡片排成一行．假如拿出的

4張卡片所標數(shù)字之和等于

10，則不一樣的排法共有

________種．答案：

432分析：分三類：第一類，

4張卡片所標數(shù)字為

1、2、3、4

有442×A4＝384種不一樣的排法；第二類，4張卡片所標數(shù)字為1、1、4、4有24種不一樣的排法；第三類，4張卡片所標數(shù)字為2、2、3、3有24種不一樣的排法．所以，共有384＋24＋24＝432種不一樣的排法．1.擺列(1)擺列的定義：從n個不一樣的元素中拿出m(m≤n)個元素，依據(jù)必定的次序排成一列，叫做從n個不一樣元素中拿出m個元素的一個擺列．擺列數(shù)的定義：從n個不一樣的元素中拿出m(m≤n)個元素的所有擺列的個數(shù)，叫做從n個不一樣元素中拿出m個元素的擺列數(shù)，m用符號An表示．擺列數(shù)公式①當m＜n時，擺列稱為選擺列，擺列數(shù)為Amn＝n(n－1)(n－2)(n－m＋1)；②當m＝n時，擺列稱為全擺列，擺列數(shù)為n－An＝n(n－1)(n3·2·1．上式右側是自然數(shù)1到n的連乘積，把它叫做n的階乘，并用nmn！表示，于是An＝n?。M一步規(guī)定0?。?，于是，An＝n(n－1)(n－2)(n－m＋1)＝[n（n－1）（n－m＋1）][（n－m）（n－m－1）3·2·1]＝（n－m）（n－m－1）3·2·1n！，即（n－m）！

mn！An＝（n－m）！.組合組合的定義：從n個不一樣的元素中拿出m(m≤n)個元素并成一組，叫做從n個不一樣元素中拿出m個元素的一個組合．組合數(shù)的定義：從n個不一樣的元素中拿出m(m≤n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不一樣元素中拿出m個元素的組合m數(shù)，用符號Cn表示．組合數(shù)公式Cm＝Anmn（n－1）（n－2）（n－m＋1）＝nm＝m！Amn！m?。╪－m）?。?guī)定：

0Cn＝1．n－m組合數(shù)的兩個性質：①Cn＝Cn；mm－1m②Cn＋1＝Cn＋Cn．差別擺列與組合擺列與組合的共同點，就是都要“從n個不一樣元素中，任取m個元素”，而不一樣點就是前者要“次序”，爾后者倒是“并成一組”．所以，“有序”與“無序”是差別擺列與組合的重要標記．題型1擺列與擺列數(shù)例1用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，能夠構成多少個分別切合以下條件的無重復數(shù)字的四位數(shù)：①奇數(shù)；②偶數(shù)；③大于3125的數(shù)．解：①先排個位，再排首位，共有A31·A41·A42＝144個；②以0結尾的四位偶數(shù)有3112A，以2或4結尾的四位偶數(shù)有A·A·A，共52443112個；③要比3125大，4、5作千位時有3有A5＋A2A4A4＝1562A5個；3作千位，2、4、5作百位時有213A個；3作千位1作百位時有2A個，43所以共有2A53＋3A42＋2A31＝162個．變式訓練用0到9這10個數(shù)字，能夠構成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？解：(解法1)用分步計數(shù)原理：所求的三位數(shù)的個數(shù)是12A·A＝999×9×8＝648.(解法2)從0到9這10個數(shù)字中任取3個數(shù)字的擺列數(shù)為A103，2此中以0為排頭的擺列數(shù)為A9，所以切合條件的三位數(shù)的個數(shù)是32A10－A9＝648.題型2組合與組合數(shù)例2一個口袋內有4個不一樣的紅球，6個不一樣的白球．(1)從中任取4個球，紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？若取一個紅球記2分，取一個白球記1分，從中任取5個球，使總分許多于7分的取法有多少種？解：(1)將拿出4個球分紅三類狀況：第一類：取4個紅球，沒有白球，有4C種；4第二類：取3個紅球1個白球，有C43C61種；第三類：取2個紅球2個白球，有C42C62種．43122∴C＋CC＋CC＝115種．44646設取x個紅球，y個白球，x＋y＝5（0≤x≤4），x＝2x＝3x＝4，則得或或切合條2x＋y≥7（0≤y≤6），y＝3y＝2y＝1，233241種．件的取法有CC＋CC＋CC＝186464646備選變式（教師專享）有6個球，此中3個黑球，紅、白、藍球各1個，現(xiàn)從中拿出個球排成一列，共有多少種不一樣的排法？解：分三類：若取1個黑球，和另三個球排4個地點，有4A4＝24；若取2個黑球，從另三個球中選2個排4個地點，2個黑球是同樣的，自動進入，不需要擺列，即有C23A24＝36；若取3個黑球，從另三個球中選1個排4個地點，3個黑球是同樣的，自動進入，不需要擺列，即有11C3A4＝12；所以有24＋36＋12＝72種．題型3組合數(shù)的性質例3(1)化簡：1×1?。?×2?。?×3！＋＋n×n??；123n－1化簡：2！＋3?。?！＋＋n?。唤夥匠蹋篊x13＋1＝C132x－3；(4)解方程：

x－2x－313Cx＋2＋Cx＋2＝10Ax＋3.解：

(1)

由階乘的性質知

n×n?。?/p>

(n

＋1)

?。璶！，所以，原式＝(n＋1)?。?.111111原式＝1！－2?。?！－3?。??。?！＋＋（n－1）！11n?。?－n！.由原方程得x＋1＝2x－3，或x＋1＋2x－3＝13，∴x＝41≤x＋1≤13，或x＝5，又由1≤2x－3≤13，得2≤x≤8且x∈N*，x∈N*，原方程的解為x＝4或x＝5.x－213513(4)原方程可化為Cx＋3＝10Ax＋3，即Cx＋3＝10Ax＋3，∴（x＋3）?。剑▁＋3）！，∴1＝5！（x－2）！10·x！120（x－2）！1，∴x2－x－12＝0，解得x＝4或x10·x（x－1）·（x－2）?。剑?.經(jīng)查驗：x＝4是原方程的解．備選變式（教師專享）設x∈N＋，求

x－12x－3C2x－3＋Cx＋1的值．2x－3≥x－1，解：由題意可得解得2≤x≤4.∵x∈N＋，∴x＋1≥2x－3，x＝2或x＝3或x＝4.當x＝2時原式值為4；當x＝3時原式值為7；當x＝4時原式值為11.∴所求值為4或7或11.變式訓練規(guī)定Cxm＝x（x－1）··（x－m＋1），此中x∈R，m是正整m！數(shù)，且0＝1這是組合數(shù)mCC(n、m是正整數(shù)，且m≤n)的一種推行．xn(1)5求C－15的值；(2)mn－mmm－1m組合數(shù)的兩個性質：C＝C，C＋C＝C能否都能推行nnnnn＋1到Cmx(x∈R，m∈N*)的情況？若能推行，則寫出推行的形式并賜予證明；若不可以，則說明原因；m(3)已知組合數(shù)Cn是正整數(shù)，求證：當x∈Z，m是正整數(shù)時，mCx∈Z.(1)5（－15）（－16）（－19）5＝－11解：C－15＝＝－C195！628.(2)解：Cnm＝Cnn－m不可以推行，比如x＝2時，C12有定義，但C22-1無心義；Cmn＋Cmn－1＝Cmn＋1能推行，它的推行形式為Cmx＋Cmx－1＝Cmx＋1，x∈R，m∈N*.101；證明以下：當m＝1時，有C＋C＝x＋1＝C＋1xxx當m≥2時，有mm－1＝x（x－1）（x－m＋1）＋Cx＋Cxm！x（x－1）（x－m＋2）x（x－1）（x－m＋2）x－m＋1（－）?。剑ǎ?！m＋1m1m1x（x－1）（x－m＋2）（x＋1）m＝m?。紺x＋1.(3)證明：當x≥0時，組合數(shù)m時，C∈Z；當x<0x∵－x＋m－1>0，∴mx（x－1）（x－m＋1）Cx＝m！(－1)m（－x＋m－1）（－x＋1）（－x）m！m(－1)C－x＋m－1∈Z.(2013·浙江)將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A、B在C的同側，則不一樣的排法共有________種．(用數(shù)字作答)答案：480分析：按C的地點分類，在左1，左2，左3，或許在右1，右2，右3，由于左右是對稱的，所以只看左的狀況最后乘以2即可．當C在左側第5231個地點時，有A；當C在左側第2個地點時AA，當543C在左側第3個地點時，有A32A33＋A22A33，共為240種，乘以2，得480.則不一樣的排法共有480種．(2013·重慶理)從3名骨科、4名腦外科和5名內科醫(yī)生中選派5人構成一個抗震救災醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內科醫(yī)生都起碼有1人的選派方法種數(shù)是________．(用數(shù)字作答)答案：590分析：骨科、腦外科和內科醫(yī)生都起碼有1人，則名額分派為：1，1，3；1，3，1；3，1，1或1，2，2；2，1，2；2，2，1.所以共有C13C14C35＋C13C34C15＋C33C14C15＋C13C24C25＋C23C14C25＋C23C24C15＝590.(2013·北京理)將序號分別為1、2、3、4、5的5張觀光券所有分給

4人，每人起碼

1張，假如分給同一人的

2張觀光券連號，那么不一樣的分法種數(shù)是

________．答案：

96分析：5張觀光券所有分給4人，分給同一人的2張觀光券連號，方法數(shù)為：1和2，2和3，3和4，4和5，四種連號，其余號4碼各為一組，分給4人，共有4×A4＝96種．(2013·綱領版理)6個人排成一行，此中甲、乙兩人不相鄰的不一樣排法共有________種．(用數(shù)字作答)答案：480分析：6個人排成一行，此中甲、乙兩人不相鄰的不一樣排法：4擺列好甲、乙兩人外的4人，有A4種方法，而后把甲、乙兩人插入4個人的5個空位，有242A種方法，所以共有A·A＝480.545用1、2、3、4、5、6構成六位數(shù)(沒有重復數(shù)字)，要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不一樣，

且1和

2相鄰，這樣的六位數(shù)的個數(shù)是________．(用數(shù)字作答

)答案：

40分析：由題先清除1和2的節(jié)余224個元素有2A·A＝8種方案，22再向這排好的4個元素中插入1和2捆綁的整體，有A51種插法，∴不一樣的安排方案共有2A22·A22·A51＝40種．2.有4個不一樣的小球放入編號為1，2，3，4的4個盒中，則只有1個空盒的放法共有_________種．(用數(shù)字作答)答案：144分析：切合條件的放法是：有一個盒中放

2個球，有

2個盒中各放1個球．所以可先將球分紅即結構了球的“堆”)，而后從

3堆(一堆24個盒中選出

個，其余3個盒放

2堆各1個，3堆球，依分步計算原理，切合條件的放法有

C24A34＝144

種．3.某?，F(xiàn)有男、女學生黨員共

8人，學校黨委從這

8人中選男生2人、女生1人分別擔當學生黨支部的支部書記、組織委員、宣傳委員，共有90種不一樣方案，那么這8人中男、女學生的人數(shù)分別是________、______．答案：35分析：設有男生213x人，女生8－x人，則有CCA＝90，即x(xx8－x31)(8－x)＝30，解得x＝3.從不一樣號碼的5雙鞋中任取4只，此中恰巧有1雙的取法種數(shù)為_________．答案：1201，再從8只鞋中任取2只，分析：先從5雙鞋中任取1雙，有C524種成雙的狀況，即212即C8，但需要清除C8－4，則合計C5(C8－4)＝120.擺列問題的幾種題型：題型1解無拘束條件的擺列問題；題型2解有拘束條件的擺列問題；題型3重復擺列問題．關于題型1、2的擺列應用問題最常用、最基本的方法是特別地點(元素)優(yōu)先法、捆綁法、插空法等等．如特別地點(元素)優(yōu)先法：若以地點(元素)為主，需先知足特別地點(元素)的要求，再辦理其余地點(元素)；如有兩個特別地點(元素)，則以此中一個地點(元素)為主進行分類議論，注意做到有條有理．相鄰問題捆綁法：關于幾個元素要求相鄰的擺列問題，可先將這幾個相鄰元素“捆