幾何復(fù)習(xí)題大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)解析幾培訓(xùn)講義第三章

平面與間線一本知脈框

點(diǎn)位式方程點(diǎn)法式方程平面的方程截距式方程方程直線的方程平面束的方程平面與點(diǎn)的位置關(guān)系兩平面的位置關(guān)系

一般式方程法線式方程對(duì)稱式方程參數(shù)式方程一般式方程射影式方程位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系兩直線的位置關(guān)系點(diǎn)與直線的位置關(guān)系度量關(guān)系

點(diǎn)與平面間的距離兩平面的交角空間直線與平面間的角-1-

幾空間兩直線的夾角二本重及點(diǎn)解析幾何最顯著的特點(diǎn)就是用代數(shù)方法來研究幾.因此學(xué)習(xí)解析幾何不僅要有良好空間圖形的認(rèn)知能力，而且更要有一些必要的代數(shù)知識(shí)，特別是向量代數(shù)知.作為最簡(jiǎn)單的曲面與曲線——平面與空間直線說形的認(rèn)知應(yīng)該是比較容易的鍵是要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用有關(guān)它們的一些數(shù)量向量以向量形式的方程比平面上或直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)面的法向量直線的方向向量面向量式方程以及直線的向量式參數(shù)方程等來解決有關(guān)幾何問題本章的重點(diǎn)是：平面的各種形式的方程及其相互轉(zhuǎn)換；直線的各種形式的方程及其相互轉(zhuǎn)換；點(diǎn)、平面及直線的關(guān)系本章的難點(diǎn)是：點(diǎn)與平面的離差，平面劃分空間問題；向量式方程的運(yùn)用；靈活運(yùn)用某些點(diǎn)、平面的法向量、直線的方向向量，平面束等來解決一些幾何問題.三本的本識(shí)點(diǎn)平面方在中學(xué)的立體幾何中者道一個(gè)公理間中不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定唯一的平面還知道兩個(gè)定理①空間的兩條相交直線可以確定準(zhǔn)一的平面垂于平面的直線同時(shí)垂直平面內(nèi)的一切直線過上述的知識(shí)和利用矢量運(yùn)算以到以下平面的方程．向式程ruao其中u,v為參數(shù)．

(3.1)在仿射坐標(biāo)系下，

ry,zooo

o

,YYZ2

將它們代人(．1)，可得到下參數(shù)式方程．參式程

XXo1zuv12

(3.2)由于向量

r,o

共面，可以得到下述混合積方程．混積程(ra,)o

（3.3）-2-

幾何復(fù)習(xí)題將對(duì)應(yīng)的向量的坐標(biāo)代入(3.中，可得到下述點(diǎn)位式方程．(4)點(diǎn)式或列)方12

o

Y1Y2

o

zZ1Z2

o

(3.4)將式3．中的行列式按第一行展開，可得到下述一般方程．(5)一方(或?yàn)楸榉?Ax

(3.5)這是一個(gè)三元一次方程．當(dāng)D不等于零時(shí)，可以得到下述截距式程．(6)裁式程yzabc

（）為了便于討論點(diǎn)到平面的距離和點(diǎn)與平面的位量關(guān)系方程的討論限制在直角坐標(biāo)系下．在空間直角坐標(biāo)系下．設(shè)平面上點(diǎn)Mo的矢

OMrz00

0

任意一點(diǎn)M的矢

OMrz

的法向量

nC

Mn0

，所以通過nr)00可以得到平面的點(diǎn)法式方程．(7)點(diǎn)式程x()z000

．7)（格式8)開整理后，仍可以得到與(．5)似的三元一次方程.為了計(jì)算點(diǎn)到平面距離和討論點(diǎn)與平面的相對(duì)位置，需要指定平面的法矢．將取自原點(diǎn)O出發(fā)，垂直于平面矢量指定為平面法，有了指定法矢的平面常被稱為有向平面．此時(shí)平面上任意點(diǎn)M的徑矢

OMz

與平面的單位法矢n

關(guān)：n

(3．其中是負(fù)的．是原點(diǎn)O到面距．將式9)中各矢量的坐標(biāo)代，可得到下述的法式方程．(8)法方xcos

ycos

cos

p

（3.10）將一般方程

AxCz

轉(zhuǎn)化為法式方程時(shí)，需要在方程兩邊同時(shí)乘上法化因子

112

2

2-3-

21幾何復(fù)習(xí)題21其中

的正負(fù)號(hào)選取應(yīng)滿足

D0

，即

時(shí)，取

與異，當(dāng)時(shí)，取

與第一個(gè)變量的系數(shù)同號(hào)．例如，

0

取

0(9)三式程1213

1213

z1z2z31

（3.11）這個(gè)方程可以看做與(．為同一類．．面點(diǎn)相位(1)點(diǎn)M與平面間離0

（3.12）其中

n

為原點(diǎn)指平面

的單位法矢

OMr0

p為點(diǎn)O到面

的距離．式3也可以寫成代數(shù)表達(dá)式co00

(3．原點(diǎn)

O(0,0,0)

與平面的差為

反映出原點(diǎn)O面其位法矢

n

之間的關(guān)系點(diǎn)與平面間的離差一個(gè)代數(shù)值的正負(fù)號(hào)反映出點(diǎn)在平面的側(cè)向在平面

同側(cè)的點(diǎn)，符相同對(duì)在平面仍點(diǎn)符相反平面的于零．點(diǎn)與平面向的離差公式可以將空間不在平面上的點(diǎn)分成兩部分．同理，兩個(gè)相交的平面將空間的點(diǎn)分成四部分．(2)點(diǎn)

M(xy,z)00

與平面

Ax

間的距離為d

AxCz022

（3.14）3.兩面相位置空間兩平面

:z011:z022有以下的關(guān)系：（1

與

相交

A::A::12

BCD(2)與行1111D22BCD111(3)與合12在空間直角坐標(biāo)系下平與的交角是用兩平面二面角的平面角

)-4-

2幾何復(fù)習(xí)題2來表示，并且常取其中的銳角來表示．根據(jù)平面與其法矢垂直的關(guān)系，記可以得到

)

，)cos2

nn2

2

AC21212212

(3.15)同時(shí)，兩平面與垂的充要條件是2C22．間線方在中學(xué)的立體幾何課程中有一個(gè)公理：空間不重合的兩點(diǎn)可以確定唯一的直線．讀者容易知道直線上任意兩個(gè)不重合的點(diǎn)可以確定一個(gè)直線的方向向量此空取定坐標(biāo)系設(shè)直線

l

上一定點(diǎn)Mo的矢

OMry,z00

0

l

上任意點(diǎn)M徑矢為r

l

的方向向量

，可以得到直線

l

的向量式方程“（1）量方rr其中為數(shù)．（2）數(shù)程

(3.16)

oz

(3.17)由式(3.17)梢去參數(shù)t，可以得直線l對(duì)稱式方程．對(duì)式程(稱線l的標(biāo)方)x0XZ

0

(3.18)在式(．18)中方向效如X0．時(shí)可以設(shè)x000Z

X,,

是一組不全為零的數(shù)．如果其中有一個(gè)為零，例如果其中有兩個(gè)數(shù)為零，例如xy

X

，此時(shí)．可以設(shè)這樣可以得到相對(duì)應(yīng)的直線方程．-5-

通過空間兩點(diǎn)

幾何復(fù)習(xí)題xy和M112

，可以得到直線的兩點(diǎn)式方程．兩式方y(tǒng)yz111y212

（3.19）空間直線可以看做是兩個(gè)相交平面的交線，所以可以得到直線一般方程．直的般程

AxByD11AxByD22

(3.20)其中系數(shù)

:::B:C12

?？梢酝ㄟ^式(3.20)求直線l方向向量的三個(gè)方向數(shù)，即

X:Y:Z

BB

:

AA

:

AA

BB雖然直線

l

上點(diǎn)無窮多，但我們只需求出一個(gè)點(diǎn)

M(xy,z)00

，當(dāng)其中兩個(gè)變量的系數(shù)所構(gòu)造的二階行列式不為零時(shí)如

AA

BB

那么第三個(gè)變量就可以任意取定數(shù)值z(mì)

(特地可取

z0

)．樣做可以保證得到的二元次方程組有唯一解，可以解出xx

0

，

y

，這時(shí)就解出直線

l

上一個(gè)點(diǎn)

M(,y)00

．有了直線

l

上的點(diǎn)

0

和方向矢量

v

，就可以得到直線

l

的向量式和參數(shù)式方.直線的標(biāo)淮方程也可以轉(zhuǎn)化為直線的一般方程，由式(3.18)以得到直線的射彤式方程．射式程y0YyzZ

00

（3.21）式3．中的兩個(gè)方程表示了個(gè)過直線l的殊平面，它們分別平于坐標(biāo)軸y軸和x軸．平束有平束若兩個(gè)平面

:z011:z22-6-

幾何復(fù)習(xí)題相交于一直線l，那么過直線l所有平面的方程可以表示為zD

(AxByzD)222

(3.22)為避免出現(xiàn)無窮的情況，也可以取

mn

，方程3．22)可以寫成n(

z)(AxByzD)0111222

(323)這是一個(gè)單參數(shù)的平面族，稱為有軸平面束，直l為面束的(中心軸．要個(gè)定解條件就可以求出的，或m：n的值平平束空間中平行于同一個(gè)平面的所有平面的集合稱為平行平面束，它們的方程可以表示為Ax

．24)其中A是參數(shù)，系數(shù)A，B，是已知的(324)也是一個(gè)單參數(shù)平面族．．直與面相位設(shè)直線l與面方程分別為l

：

x0XZ

0

：

Ax(1)直線l與平面以的關(guān)系：

l

與

相交

l

與平

AXAxCz00

l

在上

AXBYCZAxCz0(2)直線

l

與平面交，將直線

l

的方程改寫為參數(shù)式并將其代人平面

oz的方程中．解參數(shù)t的：t

AxD000AXBYCZ上式中分母

AXCZ0

t值代直線l的參數(shù)方程中可以得到交點(diǎn)坐標(biāo)．(3)在直角坐標(biāo)系下l與平的夾角可由的向矢量

和平面的法矢-7-

間的夾角來定，即nnv

A

幾何復(fù)習(xí)題AXBYCZ222直線

l

與平面垂

AX

．．空兩線相位設(shè)兩直線

l

與

l

的方程分別為l:1

yy11Y11l2

yy22Y222(1)空間兩直線

l

與

l

有以下的位置關(guān)系：

l與l異

2112

y2Y1Y2

z2Z1Z2

1

0

l

與l

相交

X:Y:Z::Z112

l與l平

0X:Y:ZX:Y:Zx):(y):z)112212

l

與l

重合

X:Y:ZX:Y:Zx)):()112(2)空間兩直線的夾角兩線的夾角與它們的方向矢量之間的夾角有以下的關(guān)系：ll)vv212ll)通常取為銳角．2

或

l,l)2

v)在直角坐標(biāo)系下，空間兩直線

l

與

l

的夾角余弦為cosl,l)

X

X222X2

直線

l

與

l

垂直

XZ012（）兩異面直線間的距離與公垂線方程．在直角坐標(biāo)系下，兩異面直線

與

l

之間-8-

幾何復(fù)習(xí)題的距離為d

v2兩異面直線l與l的垂線l的程為1z111Z0111Yxyz22XZ22XZ其中x，y，Z是垂線

l

0

的方向數(shù)．．空一到直的離在空間直角坐標(biāo)系下．設(shè)空間一點(diǎn)

M(,)00

和直線l

：

x111XZ的距離

vMMv四基例解點(diǎn)24【例】求空間圓xy

的半徑.【示的方程通常用球的方程和平面方程聯(lián)立方程組表示何上來說園可以看成球與平面的交線。利用球的半徑和球心到平面的距離就可求出園的半徑?！尽壳?yàn)樵c(diǎn)，半徑為2,球心到平面距離為d=r2■

3

,圓半徑為【例】求在直線

y34

上并且與原點(diǎn)相距5個(gè)位的點(diǎn)的坐標(biāo)【示用到直線上的點(diǎn)，一般可考慮用直線的參數(shù)【】所求點(diǎn)為

(,y,)

，則-9-

幾何復(fù)習(xí)題

t0t0z00又因?yàn)辄c(diǎn)原點(diǎn)相距5個(gè)位,所以xy0求出t所以所求點(diǎn)的坐標(biāo)為（34，）或（，-4，0■【例】求點(diǎn)

P(2,0,

關(guān)于直線l:

xyy

的對(duì)稱.【】知直線的方向向量為設(shè)所求點(diǎn)為（a，，）則PP中點(diǎn)在直線上且所以

PP

bc02bc02(2)c0求出標(biāo)

（，，）■

y【例】求通過直線

且與平面

xyz0

成角的平面方.【】用有軸平面束的方程的過已知直線的平面方程為n(xym(x4)即()xny)m0由于所求平面與已知平面的交角為

，所以利用兩平面間的交角公式得-10

幾何復(fù)習(xí)題(n)n)(n)2n))

81

cos

4計(jì)算并化簡(jiǎn)得

0求出0或::所以所求平面為0

或

xz【提及評(píng)

注意如果有軸平面束的方程是用

()

(

，那么

會(huì)有無窮的情況.學(xué)好數(shù)學(xué)要有良好的計(jì)算能【例】求過點(diǎn)P（2，）且與直線

l:

z21

■垂直相交的直線方程.【】所求直線l的向數(shù)為

X,,

，利用兩直線共面的充要條件得0

Y

Z

0即

（）再利用

l

與

l

0

垂直得XY0由（1）得X:Y:所以所求直線方程為

（2l:

z1【知擴(kuò)提】用直線作為兩個(gè)平面交線，上述問題能轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)平面的問題。一個(gè)平面是

l

與

l

0

所在的平面，另一個(gè)平面是過點(diǎn)垂直

l

0

的平面也可以考慮用兩點(diǎn)確定直

■【例】過

(,)

作三個(gè)坐標(biāo)面的射影，求過這三個(gè)射影點(diǎn)的平面方.【】P在個(gè)標(biāo)面上的射影分別為故由平面的三點(diǎn)式方程得

(a,,0),(0,b,c),(a,0,c

-11

幾何復(fù)習(xí)題

zc0c所求平面為yz2ab

■【例】已知平面

:

及平面

:4xy0證原點(diǎn)在這兩平面構(gòu)成的銳角二面角內(nèi)；求分角面方程，并判定哪一個(gè)平分鈍角二面【】(1)設(shè)點(diǎn)向平面和所的平面法向量的角。如角，那2末含原點(diǎn)的二面角是銳角.為此求出平面

及平面

的法線式方程

;

1y03:

43y1313所以

12()()031313313這表示

是鈍角．因此，合原點(diǎn)的二面角是銳.(2)平和交的二面角的平分角面就是到和的距離相等的點(diǎn)的軌跡。1因此，所求平分角面的方程為1(xyzxy313即xz1560或yz由于含原點(diǎn)的二面角內(nèi)的點(diǎn)到和的差異號(hào)，而由本題(可，含原點(diǎn)的二面角是銳角，因此平面為yz0是平分銳角二面角，另一個(gè)平面平分鈍角二面.■【例】決參數(shù)k的值使面

xky

分別滿足下列條件：(1)與面(2)與面

2z02

垂直交成45度角-12

幾何復(fù)習(xí)題(3)與點(diǎn)的距離為3【】(1)要平面

xky0

與平畫

2z

垂直，必須這兩個(gè)平面的法向量垂直，即l×2十k×一2)×＝從而k=1（）兩平面的交角公式得cos

4

11(2)22從而解得

12

70（）面

xky

的法線式方程為15

2

(xz9)從而，由平面法線式方程中常數(shù)項(xiàng)的幾何意義得95

2

解得k【例9.與平面；2xyz0

■平行的平面使P(0一到

與

的距離相等.【】的程為2yD0過P作行于軸的直線交于P(0,2,)1

，交于P(0,2,)由

，

方程可得z

，

1(D3由P為

2

的中點(diǎn)，求出D=-42所以

的方程為2z0

■-13

00幾何復(fù)習(xí)題00【例10一平面與空間四邊形ABCD的AB，，，分別交于，，R，則

APCRDSPBQCRDSA【明設(shè)四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為平面的方程為

Ax),Bx,y,),xy,z),D(,y,z1122344AxCz0

（）它與AB的點(diǎn)（坐標(biāo)設(shè)為

,00

分線段的為

APPB則由定比分點(diǎn)公式得x

0

x12,y1

z1

2此點(diǎn)應(yīng)在平面（1）上，因此()(y)()2112解得

ByCzD11ByD22同理可求得2QC3CRAxByCz3RDAxByCz44DSAx4SAByCz1上面四式兩邊相乘可得APCRDSPBQCRDSA五擴(kuò)例解點(diǎn)

■-14

幾何復(fù)習(xí)題【例1若直線

l:

y21

繞

l:

旋轉(zhuǎn)，直線l上的定點(diǎn)4，2，1）所生成的緯圓方程.【】園既在過點(diǎn)垂直

l

的平面上又在以

l

上的點(diǎn)

O(0,0,0)

為球心，O到P的距離為半徑長(zhǎng)的球面上用平面的點(diǎn)法式求出平面的方程為xy0

到P的距離為

所以球的方程為x

2

2

2

因此所生成的緯圓方程是

xy0x22221

■【例】已知一正方體二側(cè)面的程分別為:xz，其中心為M(1，，一2)，求其它各面方程

:xy0【】正體二側(cè)面

:xz，

:xy0

為相鄰的側(cè)面，求出到M的距離為由此得與相對(duì)側(cè)面為

73xy與相的側(cè)面為2易知第三對(duì)側(cè)面法向量為可設(shè)第三對(duì)側(cè)面之一方程為2yD則由

17233

解得或D=10，-15

幾何復(fù)習(xí)題故第三對(duì)側(cè)面為2y

與

2y

■【例3】過點(diǎn)M。

,00

作OM的直平面設(shè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A，B，C求證三角形ABC的積為d

2y0其中

為

O

與

M

的距離.【明由已知條件，平面

的法向量可取為

M

于是由平面的點(diǎn)法式方程得平面方程為x()y((z0000000即xyyz20它與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(,0,0),BCxy

)于是S

1d11()22yz2xy0

d2

x

y20xz0

d52xy0【例】已知不在坐標(biāo)平面上一點(diǎn)

()

■.在x軸、y軸z上分別求AB，C，使它們與的線兩兩互相垂直，并證明平面ABC平分原點(diǎn)與P的連線【明】因點(diǎn)A，B，C在坐軸故可設(shè)它們的坐標(biāo)分別為(x,0,0),Cz)于是可得c,CPc

-16

333幾何復(fù)習(xí)題333由已知條件，這三個(gè)向量?jī)蓛纱怪?，于是有AP即a222)0aczax

22

22

22

由此解得

a222

aa

22

b2c

22故A,B,C的坐標(biāo)分別為(

a

2

22a2,0),C(0,0,2a2

2

)根據(jù)平面的截距式，得到平面ABC的程為2by2a2而的點(diǎn)為ab(,)222此點(diǎn)的坐標(biāo)滿足上述平面的方程，故平面ABC平分0P.

■【例5

過四面體三個(gè)面的重心所作的平面必與第四面平行，試證【明

設(shè)四面體的四頂點(diǎn)為

i

，i=，，3，

三個(gè)側(cè)面的重心分別為

P1

，P2

，

.則1P(AA)31P(AA)31P(AA)1-17

273442幾何復(fù)習(xí)題273442過三個(gè)面重心的平面方程為PPPP)01即()PP)212123因此此平面的法向量為PP2331

(1)而第四面

AAA2

的法向量為即將

N)AA32A)2P的表達(dá)式代入（1）得12

(2)1N(AAA)A)A)31412(AA)A)A)334=

1(AA)27于是過面體三個(gè)面的重心，1

P，所的平面必與第四面平.■23【例】一面與坐標(biāo)軸交于A，，三點(diǎn)，則從原點(diǎn)向這平面所引垂線之垂足H是三角形ABC的心，試證明.【明設(shè)已知平面與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為這個(gè)平面的方程為yzab

(a,0,0),Bbc

于原點(diǎn)

O(0,0,0)

在這個(gè)平面上的投影為p2p2pH(,)ac其中p為點(diǎn)到平面的離，而且11ap于是-18

幾何復(fù)習(xí)題AH

p2p22,,a

而BC

由于ppp2AHabc所以同理可證BHCA，CHAB，H點(diǎn)是三角形的心【例】求兩相交直線yl:01yl:1的交角平分線的方程.【】根據(jù)腰三角形底邊上的中線就是頂角平分線的性質(zhì)來考

■由于所給直線的交點(diǎn)為

O(0,0,0)

，直

l

與

l

的方向向量分別為沿直線

l

1

及

l

2

取三點(diǎn)

M

1

，

M

2

，

使OMOM1為此取

3M1

，M

，

于是

M1

2

，

M

的中點(diǎn)分別為11M(,,1)，M(,22從而OM及OM是求的角平分，它們的方程分別為yyz和111

■【例】設(shè)動(dòng)平面在三個(gè)坐標(biāo)軸的截距的倒數(shù)和為一非零常數(shù)，則動(dòng)平面必過定點(diǎn)，試證之-19

A幾何復(fù)習(xí)題A【明設(shè)動(dòng)平面在三個(gè)標(biāo)軸的截距分別為

a,,c

，由題設(shè)

a,,c

都不等于零，故動(dòng)平面的方程為ya又11Aabc所以

（非零常數(shù)）1a由此知?jiǎng)悠矫孢^定點(diǎn)

11(,,)A

.■【例】在平面

0

上，求過點(diǎn)1，1，）與

面有最大角的直線【】直線的方向數(shù)為zl:X1

:

,則直線的方程為由于直線在平面所以

0

上0設(shè)直線與xoy面交為，則

（）sin

12

(2)由（1）得1Y(2X4)3把它代入（）得要

sin最大，只有

X

22(24)129

最小，也就是要

1(2X9

最小.由二次函數(shù)的性質(zhì)求得X

81時(shí)，X(22139

最小.-20

幾何復(fù)習(xí)題從此解得Y

1213因此所求直線的方程為l:

z812

■【例10】設(shè)直線l:

AxByzD01AxByzD0222

與

軸異面，求證

l與

軸之間的距離d

ADD221(ABA)C)21【明由于l與x軸面，所以

,A2

不全為零.設(shè)與軸公垂線為，其P,Q別在l軸上由與軸直，所以PQ的一分量為零.過直線

l

的平面束為(AxByD)(AxByD)1122其中有唯一一個(gè)平面垂直于令nAmA2求出:m:1

.因此垂直于PQ的面方程是(BA)yAA)DAA)1211212顯然即Q到個(gè)平面的距離，設(shè)

Q(x,0,0)由點(diǎn)到平面的距離公式就得d

ADD221(ABA)C)21

■六本訓(xùn)題提