中南大學(xué)拓?fù)鋵W(xué)考試試卷參考答案（）學(xué)拓?fù)鋵W(xué)，學(xué)分，閉卷，總分:分鐘,2008級(jí)一、選題(將正答案填題后的號(hào)內(nèi)每題，共15分)1、B2、C3、A4、D5、C二、簡題（每4，共20）1、空間1答案：一個(gè)拓?fù)淇臻g如果在它的每一點(diǎn)處有一個(gè)可數(shù)鄰域基，則稱這個(gè)拓?fù)淇臻g是一個(gè)滿足第一可數(shù)性公理的空間，簡稱為空間.12空間答案設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g如果中的任意兩個(gè)不相同的點(diǎn)中必有一個(gè)點(diǎn)有一個(gè)開鄰域不包含另一點(diǎn)，則稱拓?fù)淇臻gXT空間.3、列緊空間答案設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g如果的每一個(gè)無限子集都有凝聚點(diǎn)則稱拓?fù)淇臻gX是一個(gè)列緊空間.4、同胚映射答案：設(shè)XY是兩個(gè)拓?fù)淇臻g.如果f:X是一個(gè)一一映射，并且f和f:YX都是連續(xù)映射，則稱f是一個(gè)同胚映射或同胚.5、正則空間答案設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g如果中的任何一個(gè)點(diǎn)和任何一個(gè)不包含這個(gè)點(diǎn)的閉集都各自有一個(gè)開鄰域，它們互不相交，則稱X是正則空間三、判，并給理由（，每題5分，判，理由3分1、,是集合的兩個(gè)拓?fù)?，不一定是集合的拓?fù)?)122答案:理由：因(1),是的拓?fù)?，?12

，X

，從而

對(duì)任意的,T有,B且,,121

2/

d是的拓?fù)?，故BAT，從而BT；(3)對(duì)任意的TT，則T，由于T,是X的拓?fù)洌瑥亩?2

A

T,

A

T

A

T；2綜上也是的拓?fù)洌?22、從離散空間到拓?fù)淇臻g的任何映射都是連續(xù)映射)答案:√

理由：設(shè)X是離散空間，Y是拓?fù)淇臻g，f:X是連續(xù)映射，因?yàn)閷?duì)任意Y，都有f（AX,于X中的任何一個(gè)子集都是開集，從而f

()是中的開集，所以:XY是連續(xù).3、設(shè)為散拓?fù)淇臻gX的任意子集，則A（）答案:√理由：pX中的任何一點(diǎn)，因?yàn)殡x散空間中每個(gè)子集都是開集，所{p}是X的開子集，且

，即

(A4、若拓?fù)淇臻gX中存在一個(gè)既開又閉的非空真子集，則X是一個(gè)不連通空間()答案：√理由：這是因?yàn)槿粼O(shè)A是X中的一個(gè)既開又閉的非空真子集，令B

，B都是中的非空閉子集，它們滿AX，易A是隔離子集，所以拓?fù)淇臻gX是一個(gè)不連通空間.四、證題（共）1、{}T空X的一個(gè)收斂序列,證明{}極限點(diǎn)唯一(10分)ii證明：若極限點(diǎn)不唯一，不妨limx,limx,中y，由于X空i1i222ii間，故y和y各自的開鄰U，使U2limx存得iN時(shí)xU理存得ii111ii

時(shí)，x.令NNN},則i時(shí)，V，從U盾，i1i{}極限點(diǎn)唯一.i/

2、(X,T)為拓?fù)淇臻g，證明XT空間的充分必要條件是的每一獨(dú)點(diǎn)集都為閉集.(10分)證明性X{x}

(間有y的開領(lǐng)域VtxV，1所{}

，所{}

為開集，從{}為閉集。設(shè),y知{}{}故Uy}

，V{}U

y

，ty，所(X,T)間。3、設(shè),是兩個(gè)拓?fù)淇臻g，:X是一個(gè)連續(xù)映射.如X是一個(gè)緊致空間，證明(XY的一個(gè)緊致子集(10分)證明：A是f(X的一個(gè)Y中的開集構(gòu)成的覆蓋.對(duì)于任CAf中的一個(gè)開集，由于CX,從而有：(C)f()f(X))A

()是所A={1

)|CA}是的開覆蓋.由于是緊致空間所A有一個(gè)有限子覆蓋，設(shè){f

(),1

,f

()}.n因?yàn)閒()1

f)fn1

C)，從CCf)，即n{C

CA的一個(gè)子族并且覆蓋X)，因此(X)的一個(gè)緊致子集.4、設(shè)X為非空集合，令X,其余有限試證：(1)

T余限

空間；分)(2)若X為無限集T余限

是連通空間；(5分)/

(3)T余有限證明：

。(5分)余有限

，余有限

.，余有限

AAT2余限A則AT1余有限AAX,其中C，為有2222e有11余有限0設(shè)A,余有限其C為有則023知，X上的撲。余有限(2)注意212

AT余有限(3)對(duì)任意qX,p，U＝p

的開鄰域，U，U，因此

余限

間。為p

的任何開鄰域

的任何開鄰域＝X－UC，2均X的有限子集，并U

p

q1

X2

2所以

余有限

間。（4）A是