6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.1平面向量基本定理1.平面向量基本定理(1)定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的向量a,實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=.

(2)基底:的向量{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.

2.平面向量基本定理敘述了平面內(nèi)一個(gè)怎樣的理論事實(shí)?3.基底有哪些性質(zhì)?一、單選題1.如圖,在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在AD上,且=3,則= ()A.QUOTE+QUOTEB.QUOTE+QUOTEC.QUOTE+QUOTE D.QUOTE+QUOTE2.已知A,B,D三點(diǎn)共線,且對(duì)任一點(diǎn)C,有=QUOTE+λ,則λ等于 ()A.QUOTEB.QUOTEQUOTEQUOTE3.向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),則QUOTE= ()A.2 B.4 C.5 D.74.A,B,O是平面內(nèi)不共線的三個(gè)定點(diǎn),且=a,=b,點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為Q,點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為R,則等于 ()A.a-b B.2(b-a)C.2(a-b) D.b-a二、多選題5.如圖所示,設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn),下列向量組可作為該平面內(nèi)所有向量的基底的是 ()A.與 B.與C.與 D.與6.(教材改編題)如圖,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=QUOTE,E,F分別為CD,BC的中點(diǎn),則正確的是 ()A.=QUOTE+B.=+QUOTEC.·=25D.·=·三、填空題7.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量),則c=.(用a,b表示)

8.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)M,N分別為DC,BC邊上的中點(diǎn),已知=a,=b,用基底{a,b}表示=.

四、解答題9.如圖所示,在?ABCD中,點(diǎn)E,F分別為BC,DC邊上的中點(diǎn),DE與BF交于點(diǎn)G,若=a,=b,試用基底{a,b}表示向量,.10.如圖,在平行四邊形ABCD中,AD=QUOTEAB,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),AF=QUOTEAD,BG=QUOTEBC,判斷EF與EG的位置關(guān)系并用向量方法證明.一、選擇題1.如圖所示,平面內(nèi)的兩條直線OP1和OP2將平面分割成四個(gè)部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括邊界),若=a+b,且點(diǎn)P落在第Ⅰ部分,則實(shí)數(shù)a,b滿足 ()A.a>0,b>0 B.a>0,b<0C.a<0,b>0 D.a<0,b<01題圖2題圖2.如圖,在等腰梯形ABCD中,DC=QUOTEAB,BC=CD=DA,DE⊥AC于點(diǎn)E,則= ()A.QUOTE-QUOTE B.QUOTE+QUOTEC.QUOTE-QUOTE D.QUOTE+QUOTE二、填空題3.如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量,,,其中與的夾角為120°,與的夾角為30°,且||=||=1,||=2QUOTE,若=λ+μ(λ,μ∈R),則λ+μ的值等于.

4.若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足:=QUOTE+QUOTE.則△ABM與△ABC的面積之比為.

三、解答題5.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,M,N分別為DC,BC的中點(diǎn),已知=c,=d,試用c,d表示,.6.如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),DM=QUOTEDE,若=a,=b.(1)用a,b表示;(2)若N為線段BC上的點(diǎn),且BN=QUOTEBC,利用向量方法證明:A,M,N三點(diǎn)共線.6.3.1平面向量基本定理必備知識(shí)·落實(shí)1.(1)不共線任一有且只有一對(duì)λ1e1+λ2e2(2)不共線2.平面向量基本定理告訴我們,平面內(nèi)任何一個(gè)向量都可以沿著兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量的和,并且這種分解是唯一的.3.基底的性質(zhì)(1)不共線性平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量才可以作為一個(gè)基底,基底不同,表示也不同.(2)不唯一性對(duì)基底的選取不唯一.平面內(nèi)任一向量a都可被這個(gè)平面的一個(gè)基底{e1,e2}線性表示,且在基底確定后,這樣的表示是唯一的.(3)若基底選取不同,則表示同一向量的實(shí)數(shù)λ1,λ2可以不同,也可以相同.知能素養(yǎng)·進(jìn)階【基礎(chǔ)鞏固組】1.C在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),則=QUOTE(+),又=3,所以=QUOTE,所以=QUOTE×QUOTE(+)=QUOTE+QUOTE.2.C因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù)t,使=t,則-=t(-).所以=+t(-)=(1-t)+t.所以QUOTE解得λ=-QUOTE.3.B根據(jù)題意不妨取如圖所示的兩個(gè)互相垂直的單位向量e1,e2,則a=-e1+e2,b=6e1+2e2,c=-e1-3e2.因?yàn)閏=λa+μb(λ,μ∈R),所以-e1-3e2=λ(-e1+e2)+μ(6e1+2e2)=(-λ+6μ)e1+(λ+2μ)e2,所以QUOTE解得QUOTE所以QUOTE=4.4.B如圖,a=QUOTE(+),b=QUOTE(+),相減得b-a=QUOTE(-),所以=2(b-a).5.ACB中與共線,D中與共線,AC中兩向量不共線.6.ABD由題意可知,=+=+QUOTE,=+=+QUOTE,故A,B正確;·-·=(-)·=·=QUOTE·=0,故D正確;·=(QUOTE+)·(+QUOTE)=QUOTE+QUOTE·+QUOTE=QUOTE×42+QUOTE×4×4×QUOTE+QUOTE×4×4=26,故C不正確.7.【解析】設(shè)c=λa+μb,則-2e1+4e2=λ(e1+e2)+μ(2e1-e2)=(λ+2μ)e1+(λ-μ)e2,因?yàn)閑1,e2不共線,所以QUOTE解得QUOTE故c=2a-2b.答案:2a-2b8.【解析】方法一:=-=-QUOTEb--QUOTEa=QUOTEa-QUOTEb.方法二:=QUOTE=QUOTE(a-b).答案:QUOTE(a-b)9.【解析】=++=-++QUOTE=-++QUOTE=a-QUOTEb.=++=-++QUOTE=b-QUOTEa.10.【解析】EF⊥EG,證明如下:設(shè)=a,=b,由題意,=-=QUOTE-QUOTE=QUOTEb-QUOTEa,=+=QUOTE+QUOTE=QUOTEa+QUOTEb,所以·=QUOTE-QUOTE=QUOTE×QUOTE-QUOTE=0,所以⊥,即EF⊥EG.【素養(yǎng)提升組】1.C當(dāng)點(diǎn)P落在第Ⅰ部分時(shí),按向量與分解時(shí),一個(gè)與反向,一個(gè)與同向,故a<0,b>0.2.A因?yàn)镃D=DA,DE⊥AC,所以E是AC的中點(diǎn),所以=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE=-QUOTE,又因?yàn)镈C∥AB,DC=QUOTEAB,所以=QUOTE,所以=QUOTE-QUOTE.3.【解析】如圖,以O(shè)A,OB所在射線為鄰邊,OC為對(duì)角線作平行四邊形ODCE,則=+.因?yàn)椤螮OA=120°,∠AOC=30°.所以∠EOC=90°,所以∠DCO=90°.在Rt△OCD中,因?yàn)閨|=2QUOTE,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以||=4,||=2,故=4,=2,即λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.答案:64.【解析】由=QUOTE+QUOTE可知M,B,C三點(diǎn)共線,如圖,令=λ,則=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ?λ=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,即△ABM與△ABC面積之比為1∶4.答案:1∶45.【解析】設(shè)=a,=b,則=+=+QUOTE=QUOTEa+b,①=+=+QUOTE=a+QUOTEb,②由①②得QUOTE解得QUOTE即=-QUOTEc+QUOTEd,=QUOTEc-QUOTEd.6.【解析】(1)根據(jù)條件,=+=QUOTE+QUOTE=-QUOTE+