1.1.3空間向量的坐標與空間直角坐標系選題明細表知識點、方法題號空間直角坐標系2,3空間向量的坐標表示5,10空間向量平行與垂直1,4,9空間向量夾角6,12兩點間距離或向量的模7,8,11基礎鞏固1.在空間直角坐標系中,已知點A(1,0,1),B(3,2,2),點D滿足AD→2AB→A.(5,4,3) B.(3,4,3)C.(4,3,2) D.(1,2,3)解析:設點D的坐標為(x,y,z),則AD→=(x-1,y,z-1),AB因為AD→=2AB所以x-所以點D的坐標為(5,4,3).故選A.2.已知i,j,k分別是空間直角坐標系Oxyz中x軸、y軸、z軸的正方向上的單位向量,且OB→A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k)C.(1,-1,-1) 解析:由空間直角坐標系中點的坐標的定義可知點B的坐標為(-1,1,-1).故選A.3.(2021·湖北武漢高二期中)在空間直角坐標系中,點P(1,3,-5)關于坐標平面yOz對稱的點的坐標是(C)A.(1,3,5) B.(1,-3,5)C.(-1,3,-5) D.(-1,-3,5)解析:兩點關于坐標平面yOz對稱,則縱坐標相同,豎坐標相同,橫坐標互為相反數(shù),所以點P(1,3,-5)關于坐標平面yOz對稱的點的坐標是(-1,3,-5).故選C.4.(2021·湖南長沙一中高二檢測)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b與2a-b互相垂直,則k的值是(D) B.15C.35 D.解析:依題意(ka+b)·(2a-b)=0,所以2k|a|2-ka·b+2a·b-|b|2=0,而|a|2=2,|b|2=5,a·b=-1,所以4k+k-2-5=0,解得k=755.如圖所示,在正方體ABCDA1B1C1D1中建立空間直角坐標系,若正方體的棱長為1,則AB→的坐標為,DC1→的坐標為,B解析:DC1→=AA1→+AB→,B1D→=B1答案:(1,0,0)(1,0,1)(-1,1,-1)6.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),則向量AB→與AC→的夾角為解析:因為AB→=(0,3,3),AC所以|AB→|=32,|AC→|=AB→·AC→=0×(-1)+3×1+3所以cos<AB→,AC→>=AB→又因為<AB→,AC所以<AB→,AC→>=答案:π能力提升7.(多選題)在x軸上滿足到點P1(0,2,3)的距離是到點P2(0,1,-1)的距離的兩倍的點P的坐標可以為(AB)A.(1,0,0) B.(-1,0,0)C.(0,-1,0) D.(0,0,-1)解析:因為點P在x軸上,所以設點P的坐標為(x,0,0).由題意,知|PP1|=2|PP2|,所以(x-0解得x=±1.所以點P的坐標為(1,0,0)或(-1,0,0).故選AB.8.在空間直角坐標系Oxyz中,點A(3,4,5)在坐標平面xOy,xOz內的射影分別為點B,C,則|BC→ B.34 C.41 2解析:在空間直角坐標系Oxyz中,點A(3,4,5)在坐標平面xOy,xOz內的射影分別為點B,C,則B(3,4,0),C(3,0,5),所以BC→所以|BC→|=0+16+25=419.已知點A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),則滿足DB∥AC,DC∥AB的點D的坐標為.

解析:設點D(x,y,z),則DB→=(-x,1-y,-z),ACDC→=(-x,-y,2-z),AB因為DB∥AC,DC∥AB,所以DB→∥AC→,DC→有-解得x所以D的坐標為(-1,1,2).答案:(-1,1,2)10.(2021·A′B′C′D′的棱長為1,頂點A位于坐標原點.(1)若E是棱B′C′的中點,F是棱B′B的中點,G是側面CDD′C′的中心,則分別求出向量OE→,OG→,(2)在(1)的條件下,分別求出(OE→+OG→)·FG→解:(1)因為E是棱B′C′的中點,F是棱B′B的中點,G是側面CDD′C′的中心,所以O(0,0,0),E(1,12,1),F(1,0,12),G(12,1,所以OE→=(1,12,1),OF→=(1,0,12),OG→=(12,1,12),FG→=OG→(2)由(1)可得(OE→+OG→)·FG→=(32,32,32)·(-12,1,0)=321+32×0=3又EG→=(-12,12,-所以|EG→|=(-111.在空間直角坐標系中,已知A(3,0,1)和B(1,0,-3).試問:(1)在y軸上是否存在點M,滿足MA=MB?(2)在y軸上是否存在點M,使△MAB為等邊三角形?若存在,試求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.解:(1)假設在y軸上存在點M,滿足MA=MB.因為M在y軸上,所以可設M(0,y,0).由MA=MB,得32+(-顯然,此式對任意y∈R恒成立,即y軸上所有點都滿足MA=MB.(2)假設在y軸上存在點M,使△MAB為等邊三角形.由(1)可知,y軸上任一點都有MA=MB,所以只要MA=AB就可以使得△MAB是等邊三角形.因為MA=(3-0AB=(1-3所以10+y2=25,解得y=±10,故y軸上存在點M使△MAB是等邊三角形,點M的坐標為(0,10,0)或(0,-應用創(chuàng)新12.如圖所示,在空間直角坐標系中,BC=2,原點O是BC的中點,點A的坐標是(32,12,0),點D在平面yOz上,且∠BDC=90°,∠DCB=30(1)求向量OD→(2)設向量AD→和BC解:(1)過點D作DE⊥BC,垂足為E,在Rt△BDC中,∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2得BD=1,CD=3,所以DE=CD·sin30°=32OE